常微分方程

刘兵

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刘兵，鞍山师范学院数学与信息科学学院院长、教授，鞍山师范学院重点建设学科应用数学学科的责任教授。获得省优秀教师1人次，入选辽宁省“百千万人才工程”百人层次人选1人，获辽宁省青年科技奖1人、辽宁省优秀科技工作者1人、校级青年教师教学优秀奖2人次、校级教学质量优秀奖1次，1人被认定为鞍山市“钢都英才计划”C类领军人才，指导学生参加全国数学建模大赛、全国大学生数学竞赛、全国和省级大学生创新创业大赛等，多次获得国家、省级一等奖，二等奖。主持教育部产学合作协同育人项目：金课背景下“常微分方程”课程建设研究，“常微分方程”获批辽宁省本科一流课程（线下），获批鞍山师范学院教学建设与改革网络资源建设与专项1项校(“常微分方程”视频课（专业课））。

刘双

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刘双，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程教学，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。

刘敬娜

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刘敬娜，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程教学，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。

第一章 绪论 …………………………………………………………………………………… 1

§1.1 常微分方程模型 ………………………………………………………………… 1

§1.2 微分方程的基本概念 …………………………………………………………… 8

1.2.1 常微分方程和偏微分方程 ……………………………………………… 8

1.2.2 线性和非线性微分方程 ………………………………………………… 9

1.2.3 显式解和隐式解 ………………………………………………………… 9

1.2.4 通解和特解 ……………………………………………………………… 9

1.2.5 积分曲线 ……………………………………………………………… 10

习题1.2 ………………………………………………………………………… 11

§1.3 常微分方程发展历史 …………………………………………………………… 12

本章学习要点 …………………………………………………………………………… 13

第二章 一阶微分方程的初等积分法 ……………………………………………………… 14

§2.1 变量分离方程 …………………………………………………………………… 14

2.1.1 变量分离方程 ………………………………………………………… 14

2.1.2 显式形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 15

2.1.3 微分形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 17

习题2.1 ………………………………………………………………………… 17

§2.2 齐次微分方程与变量变换法 …………………………………………………… 18

2.2.1 齐次微分方程 ………………………………………………………… 18

2.2.2 形如dy

dx=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0)的方程 …………………… 20

2.2.3 形如dy

dx=f

a1x+b1y+c1

a2x+b2y+c2 的方程 ………………………………… 21

2.2.4 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 …………………………… 23

习题2.2 ………………………………………………………………………… 24

§2.3 线性微分方程与常数变易法 …………………………………………………… 24

2.3.1 一阶非齐次线性微分方程的通解 …………………………………… 25

2.3.2 伯努利方程 …………………………………………………………… 28

习题2.3 ………………………………………………………………………… 30

§2.4 恰当微分方程与积分因子 ……………………………………………………… 31

2.4.1 恰当微分方程 ………………………………………………………… 31

2.4.2 积分因子 ……………………………………………………………… 36

习题2.4 ………………………………………………………………………… 40

§2.5 一阶隐式微分方程与参数表示 ………………………………………………… 41

2.5.1 可解出y的方程 ……………………………………………………… 41

2.5.2 可解出y(或x)的方程 ……………………………………………… 41

2.5.3 不显含y(或x)的方程 ……………………………………………… 45

习题2.5 ………………………………………………………………………… 47

§2.6 一阶微分方程的应用 …………………………………………………………… 47

2.6.1 人口问题 ……………………………………………………………… 47

2.6.2 雪球融化问题 ………………………………………………………… 48

2.6.3 动力学问题 …………………………………………………………… 49

2.6.4 化学反应问题 ………………………………………………………… 50

2.6.5 流体混合问题 ………………………………………………………… 51

习题2.6 ………………………………………………………………………… 53

本章学习要点 …………………………………………………………………………… 53

本章自测题 ……………………………………………………………………………… 54

第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理 ……………………………………………… 55

§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 …………………………………………… 55

3.1.1 存在唯一性定理 ……………………………………………………… 55

3.1.2 近似计算和误差估计 ………………………………………………… 61

习题3.1 ………………………………………………………………………… 62

§3.2 解的延拓 ………………………………………………………………………… 63

3.2.1 解的延拓定理 ………………………………………………………… 63

3.2.2 比较定理 ……………………………………………………………… 66

习题3.2 ………………………………………………………………………… 67

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 ……………………………………………… 68

习题3.3 ………………………………………………………………………… 71

§3.4 奇解与包络 ……………………………………………………………………… 72

3.4.1 奇解 …………………………………………………………………… 72

3.4.2 不存在奇解的判别法 ………………………………………………… 73

3.4.3 奇解的求法及包络 …………………………………………………… 73

3.4.4 克莱罗微分方程 ……………………………………………………… 75

习题3.4 ………………………………………………………………………… 77

本章学习要点 …………………………………………………………………………… 78

本章自测题 ……………………………………………………………………………… 78

第四章 高阶微分方程 ……………………………………………………………………… 80

§4.1 线性微分方程的一般理论 ……………………………………………………… 80

4.1.1 线性微分方程的概念和解的存在唯一性定理 ……………………… 80

4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构 ……………………………… 81

4.1.3 非齐次线性微分方程的解结构和常数变易法 ……………………… 86

习题4.1 ………………………………………………………………………… 90

§4.2 常系数线性微分方程的解法 …………………………………………………… 91

4.2.1 复值函数与复值解 …………………………………………………… 91

4.2.2 常系数齐次线性微分方程 …………………………………………… 93

4.2.3 欧拉方程 ……………………………………………………………… 97

习题4.2 ………………………………………………………………………… 98

§4.3 常系数非齐次线性微分方程的待定系数法 …………………………………… 99

4.3.1 类型Ⅰ:非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 ……………… 99

4.3.2 类型Ⅱ:非齐次项为多项式与指数函数、 三角函数乘积的情形 …… 102

习题4.3 ……………………………………………………………………… 104

§4.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 104

4.4.1 拉普拉斯变换的定义和性质 ………………………………………… 105

4.4.2 用拉普拉斯变换求解初值问题 ……………………………………… 107

习题4.4 ……………………………………………………………………… 109

§4.5 高阶微分方程的降阶解法 …………………………………………………… 109

4.5.1 方程不显含未知函数y ……………………………………………… 110

4.5.2 不显含自变量x 的方程……………………………………………… 110

4.5.3 恰当微分方程和积分因子 …………………………………………… 111

4.5.4 齐次线性微分方程 …………………………………………………… 112

习题4.5 ……………………………………………………………………… 114

*§4.6 幂级数解法大意 ……………………………………………………………… 114

习题4.6 ……………………………………………………………………… 119

*§4.7 高阶微分方程的应用 ………………………………………………………… 119

4.7.1 数学摆运动 ……………………