常微分方程
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作者刘兵,刘双,刘敬娜 主编 著
出版社北京大学出版社
ISBN9787301353837
出版时间2024-08
装帧平装
开本16开
定价42元
货号1203368493
上书时间2024-09-13
商品详情
- 品相描述：全新
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作者简介
刘兵
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刘兵，鞍山师范学院数学与信息科学学院院长、教授，鞍山师范学院重点建设学科应用数学学科的责任教授。获得省优秀教师1人次，入选辽宁省“百千万人才工程”百人层次人选1人，获辽宁省青年科技奖1人、辽宁省优秀科技工作者1人、校级青年教师教学优秀奖2人次、校级教学质量优秀奖1次，1人被认定为鞍山市“钢都英才计划”C类领军人才，指导学生参加全国数学建模大赛、全国大学生数学竞赛、全国和省级大学生创新创业大赛等，多次获得国家、省级一等奖，二等奖。主持教育部产学合作协同育人项目：金课背景下“常微分方程”课程建设研究，“常微分方程”获批辽宁省本科一流课程（线下），获批鞍山师范学院教学建设与改革网络资源建设与专项1项校(“常微分方程”视频课（专业课））。
刘双
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刘双，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程教学，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。
刘敬娜
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刘敬娜，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程教学，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。
目录
第一章 绪论 …………………………………………………………………………………… 1
§1.1 常微分方程模型 ………………………………………………………………… 1
§1.2 微分方程的基本概念 …………………………………………………………… 8
1.2.1 常微分方程和偏微分方程 ……………………………………………… 8
1.2.2 线性和非线性微分方程 ………………………………………………… 9
1.2.3 显式解和隐式解 ………………………………………………………… 9
1.2.4 通解和特解 ……………………………………………………………… 9
1.2.5 积分曲线 ……………………………………………………………… 10
习题1.2 ………………………………………………………………………… 11
§1.3 常微分方程发展历史 …………………………………………………………… 12
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 13
第二章 一阶微分方程的初等积分法 ……………………………………………………… 14
§2.1 变量分离方程 …………………………………………………………………… 14
2.1.1 变量分离方程 ………………………………………………………… 14
2.1.2 显式形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 15
2.1.3 微分形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 17
习题2.1 ………………………………………………………………………… 17
§2.2 齐次微分方程与变量变换法 …………………………………………………… 18
2.2.1 齐次微分方程 ………………………………………………………… 18
2.2.2 形如dy
dx=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0)的方程 …………………… 20
2.2.3 形如dy
dx=f
a1x+b1y+c1
a2x+b2y+c2 的方程 ………………………………… 21
2.2.4 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 …………………………… 23
习题2.2 ………………………………………………………………………… 24
§2.3 线性微分方程与常数变易法 …………………………………………………… 24
2.3.1 一阶非齐次线性微分方程的通解 …………………………………… 25
2.3.2 伯努利方程 …………………………………………………………… 28
习题2.3 ………………………………………………………………………… 30
§2.4 恰当微分方程与积分因子 ……………………………………………………… 31
2.4.1 恰当微分方程 ………………………………………………………… 31
2.4.2 积分因子 ……………………………………………………………… 36
习题2.4 ………………………………………………………………………… 40
§2.5 一阶隐式微分方程与参数表示 ………………………………………………… 41
2.5.1 可解出y'的方程 ……………………………………………………… 41
2.5.2 可解出y(或x)的方程 ……………………………………………… 41
2.5.3 不显含y(或x)的方程 ……………………………………………… 45
习题2.5 ………………………………………………………………………… 47
§2.6 一阶微分方程的应用 …………………………………………………………… 47
2.6.1 人口问题 ……………………………………………………………… 47
2.6.2 雪球融化问题 ………………………………………………………… 48
2.6.3 动力学问题 …………………………………………………………… 49
2.6.4 化学反应问题 ………………………………………………………… 50
2.6.5 流体混合问题 ………………………………………………………… 51
习题2.6 ………………………………………………………………………… 53
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 53
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 54
第三章 一阶微分方程解的存在唯一性定理 ……………………………………………… 55
§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 …………………………………………… 55
3.1.1 存在唯一性定理 ……………………………………………………… 55
3.1.2 近似计算和误差估计 ………………………………………………… 61
习题3.1 ………………………………………………………………………… 62
§3.2 解的延拓 ………………………………………………………………………… 63
3.2.1 解的延拓定理 ………………………………………………………… 63
3.2.2 比较定理 ……………………………………………………………… 66
习题3.2 ………………………………………………………………………… 67
§3.3 解对初值的连续性和可微性定理 ……………………………………………… 68
习题3.3 ………………………………………………………………………… 71
§3.4 奇解与包络 ……………………………………………………………………… 72
3.4.1 奇解 …………………………………………………………………… 72
3.4.2 不存在奇解的判别法 ………………………………………………… 73
3.4.3 奇解的求法及包络 …………………………………………………… 73
3.4.4 克莱罗微分方程 ……………………………………………………… 75
习题3.4 ………………………………………………………………………… 77
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 78
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 78
第四章 高阶微分方程 ……………………………………………………………………… 80
§4.1 线性微分方程的一般理论 ……………………………………………………… 80
4.1.1 线性微分方程的概念和解的存在唯一性定理 ……………………… 80
4.1.2 齐次线性微分方程的解的性质与结构 ……………………………… 81
4.1.3 非齐次线性微分方程的解结构和常数变易法 ……………………… 86
习题4.1 ………………………………………………………………………… 90
§4.2 常系数线性微分方程的解法 …………………………………………………… 91
4.2.1 复值函数与复值解 …………………………………………………… 91
4.2.2 常系数齐次线性微分方程 …………………………………………… 93
4.2.3 欧拉方程 ……………………………………………………………… 97
习题4.2 ………………………………………………………………………… 98
§4.3 常系数非齐次线性微分方程的待定系数法 …………………………………… 99
4.3.1 类型Ⅰ:非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 ……………… 99
4.3.2 类型Ⅱ:非齐次项为多项式与指数函数、 三角函数乘积的情形 …… 102
习题4.3 ……………………………………………………………………… 104
§4.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 104
4.4.1 拉普拉斯变换的定义和性质 ………………………………………… 105
4.4.2 用拉普拉斯变换求解初值问题 ……………………………………… 107
习题4.4 ……………………………………………………………………… 109
§4.5 高阶微分方程的降阶解法 …………………………………………………… 109
4.5.1 方程不显含未知函数y ……………………………………………… 110
4.5.2 不显含自变量x 的方程……………………………………………… 110
4.5.3 恰当微分方程和积分因子 …………………………………………… 111
4.5.4 齐次线性微分方程 …………………………………………………… 112
习题4.5 ……………………………………………………………………… 114
*§4.6 幂级数解法大意 ……………………………………………………………… 114
习题4.6 ……………………………………………………………………… 119
*§4.7 高阶微分方程的应用 ………………………………………………………… 119
4.7.1 数学摆运动 …………………………………………………………… 119
4.7.2 质点振动 ……………………………………………………………… 122
习题4.7 ……………………………………………………………………… 127
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 127
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 128
第五章 微分方程组 ………………………………………………………………………… 129
§5.1 微分方程组的概念及解的存在唯一性定理 ………………………………… 129
习题5.1 ……………………………………………………………………… 132
§5.2 线性微分方程组的一般理论 ………………………………………………… 133
5.2.1 齐次线性微分方程组解的结构 ……………………………………… 135
5.2.2 非齐次线性微分方程组解的结构和常数变易法 …………………… 141
习题5.2 ……………………………………………………………………… 143
§5.3 常系数线性微分方程组的解法 ……………………………………………… 145
5.3.1 矩阵指数函数的定义和性质 ………………………………………… 145
5.3.2 常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵 …………………………… 146
5.3.3 基解矩阵的求法 ……………………………………………………… 147
5.3.4 常系数非齐次线性微分方程组的求解 ……………………………… 155
习题5.3 ……………………………………………………………………… 157
§5.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 158
习题5.4 ……………………………………………………………………… 161
§5.5 微分方程组的消元法和首次积分法 ………………………………………… 162
5.5.1 微分方程组的消元法 ………………………………………………… 162
5.5.2 微分方程组的首次积分法 …………………………………………… 164
习题5.5 ……………………………………………………………………… 166
本章学习要点 …………………………………………………………………………… 166
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 167
第六章 定性和稳定性理论简介 …………………………………………………………… 168
§6.1 稳定性概念和例子 …………………………………………………………… 168
习题6.1 ……………………………………………………………………… 173
§6.2 李雅普诺夫第二方法 ………………………………………………………… 173
习题6.2 ……………………………………………………………………… 178
§6.3 平面定性理论简介 …………………………………………………………… 178
6.3.1 相平面、 轨线与相图 ………………………………………………… 178
6.3.2 平面自治系统的基本性质 …………………………………………… 180
6.3.3 常点、 奇点、 闭轨 …………………………………………………… 181
6.3.4 平面线性系统初等奇点附近的轨线分布 …………………………… 181
6.3.5 平面非线性系统初等奇点附近的轨线分布 ………………………… 187
6.3.6 平面自治系统的极限环 ……………………………………………… 188
习题6.3 ……………………………………………………………………… 194
习题和自测题参考答案 ……………………………………………………………………… 195
参考文献 ……………………………………………………………………………………… 197
内容摘要
本书是由鞍山师范学院数学与信息科学学院《常微分方程》课程组三位教师经多年课程教学实践，结合当前现有的《常微分方程》教材编写而成。依据数学与应用数学专业《常微分方程》课程教学要求，参照近年来《常微分方程》课程教学改革实践经验和教学成果，在课程内容，模型背景介绍，方法的应用，知识点归纳梳理，例题习题分级等方面做了细心的安排，全书结构清晰，注重定理的叙述和证明的思想方法和知识延拓，内容通俗易懂，同时坚持以学生产出为导向，关注学科发展沿革，体现学科的先进性、前沿性和时代性，持续创新教学内容，拓展课程教学资源，增强课程内容的亲和力、感染力和说服力，适应当前的本科《常微分方程》课程的教学。
本书内容主要包括绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程的初等积分法、一阶常微分方程解的基本定理，高阶微分方程和微分方程组理论（重点是高阶常系数线性方程和方程组的求解方法）、非线性方程的定性和稳定性理论简介六个模块共六章内容。 每小节配有知识点讲解的视频和适量不同难度系数的习题；每章配有根据教学大纲编制的不同类型题目的自测题；同时还编写了习题和章节自测题详细的参考答案以及配套的作业本和思考题本，用于线下教学过程中教师及时检测学生的学生情况使用。
本书可供师范院校和综合性高等院校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业等常微分方程课程的教材，也可作为各高校数学模型课程的参考资料。
主编推荐
本书涵盖常微分方程课程大纲全部内容，难度适中。配有全套习题解答，以及重点难点内容的课程视频。
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