[正版]流体动力学的格子玻尔兹曼方程及拓展9787523220726

◎序言

本书所介绍的格子玻尔兹曼（Boltzmann）方程（the Lattice Boltzmann Equation，简称 LBE）是玻尔兹曼方程极为独特的一种形式，专门用于解决流体动力学及其他学科中的问题。

LBE 最初由格子气元胞自动机（Lattice Gas Cellular Automata，简称 LGCA）衍生而来，迅速发展成为统计力学、特别是（离散）动理学理论框架下的独立研究对象。

大约十年前，主要在格子气元胞自动机的影响下，人们意识到，利用相空间可以对动量空间进行非常大胆的、在物理上又很合理的离散化处理，并且只要适当选择为数不多的几个离散动量，就能在连续介质极限下得到流体动力学方程。

这个发现不仅天然散发着智慧之光，还一举扫清了“真正的” 玻尔兹曼方程所涉及的计算障碍，为基于离散动理学理论的一系列相当高效的流体动力学（及其他学科中的）数值模拟方案铺平了道路。

无论是从分析角度还是从计算角度来说，玻尔兹曼方程的数学结构（“移动–碰撞”）是 LBE 成功的关键。

计算无小事。

LBE 计算中的大部分运算来自碰撞算子。因为粒子之间的碰撞在本质上是点状的，所以碰撞算子在位形空间中是完全局部的，这意味着可以同时处理物理空间的不同区域，而这正是并行计算的理想场景，也是 LBE 的关键优势。

这种内在的计算特性使 LBE 在某种程度上有别于更早的离散动理学理论模型，即 Broadwell 离散速度模型。

LBE 的主要关注点在于深刻理解复杂流动（通常通过数值模拟），而不是简化模型方程的精确解析解。因此，它的目标是流体动力学（以及更广泛学科）中最紧迫的一些问题，例如湍流、无序介质中的多相流以及含有悬浮物的流动。

这与近年来动理学理论的复兴完美契合，见 M. Ernst、E. van Beijeren 和 F. Rochelle 的优美表述（Dynamics: models and kinetic methods for non-equilibrium many-body systems, STATPHYS 20 Satellite Meeting, Leiden, July, 1998）：“现代动理学理论提供了一个统一的理论框架，使我们能够一并研究各种看似毫无关联，并且表现出复杂动力学行为的物理系统。例如，这些方法被应用于胶体悬浮液动力学、颗粒流、介观系统中的电子输运等各种领域，还可用来计算经典多体系统的李雅普诺夫（Lyapunov）指数以及其他一些混沌特征，可谓包罗万象，异彩纷呈。”

没有词汇能更好地概括本书的“其他学科”部分。考虑到所有这些情况后自然会问，与现有的数值技术相比，LBE 应该带来哪些真正的优势呢？这个问题本身就带来了一小章——谁需要 LBE？我在这一章中（非常主观地）划分了LBE 的四类应用：DU、CU、SU、MU，分别代表“勿用（Don’t Use）”、“可用（Can Use）”、“该用（Should Use）”和“必用（Must Use）”。DU 类应用包含那些（在本书作者看来）更适合用其他现有技术处理的问题。（每一种值得尊敬的数值格式都必然有自己的 DU 类应用！）相反，MU 类应用是突破的摇篮，其中所包含的问题无法用任何其他方法解决。就目前而言，我相信 SU 类应用已经初具规模，而备受期待的 MU 类应用虽然尚显“稀薄”，但可能也并非一无所有。这个主题已经发展得足够成熟了，值得汇总成书，但是其研究前沿仍然不断涌现出新的进展。因此，希望读者在阅读本书后能充满自信地迎接挑战，在 MU类应用中留下自己的身影。

本书更多依赖于物理直觉和启发性论证，而不是数学上的详细分析，其目的是为更广泛的读者群体提供一份轻松的“入门”，而不是为希望在该领域深入钻研的专业人士提供全面的论述[1]。后一种类型的读者可以持续关注当前的文献，而本书没有取代这些文献的打算。

本书可供物理学、数学、工程技术和计算机科学等学科的研究生和高年级本科生参考。更广泛地说，我们希望格子气领域以外的研究者也能在本书中找到足够多的材料，从而自行判断是否值得在他们自己的研究项目中尝试这种方法。为了让他们对这种方法的态度偏向积极的一面，本书还提供一个正在开发的入门性质的初级计算机程序。

对统计力学和动理学理论的基础知识有所了解的读者不必阅读第 1 章。类似地，熟悉格子气元胞自动机的读者不必阅读第 2 章。撰写这两章的唯一目的是为了保证本书内容完备。

致谢

本书汇集了我十年以来关于格子玻尔兹曼方程这一主题的愉快研究。这十年让我有幸与许多杰出的同行建立了个人联系，他们给我诸多教益，多到远远超出我能够用语言表达的范围。对于以下致谢名单中的无意疏漏，我深表歉意：F. Abraham、B. Alder、G. Amati、M. Anile、G. Bella、R. Benzi、M. Bernaschi、J. Bernsdorf、M. Bertsch、B. Boghosian、J. P. Boon、A. Brandt、G. Brenner、H. Cabannes、N. Cabibbo、P. Carnevali、F. Castiglione、C. Cercignani、H. Chen、S. Chen、Y. Chen、M. L. Chiofalo、B. Chopard、G. Ciccotti、S. Ciliberto、E. Cohen、P. Coveney、J. Dongarra、G. Doolen、M. Droz、D. d’Humi`eres、T. Dupont、M. Ernst、B. Favini、O. Filippova、P. Franchi、D. Frenkel、U. Frisch、R. Gatignol、I. Ginzbourg、D. Gosman、P. Grosfils、J. Jimenez、F. Hayot、X. He、M. Henon、F. Higuera、A. Hoekstra、W. Hoover、L. Kadano、R. Kapral、I. Karlin、E. Kaxiras、W. Kohn、M. Krafczyk、A. Ladd、P. Lallemand、J. Lebowitz、L. S. Luo、M. Mareschal、N. Margolus、E. Marinari、F. Massaioli、W. Miller、P. Moin、K. Molvig、B. Nadiga、R. Natalini、H. C. Oettinger、I. Ohashi、S. Orszag、G. Parisi、L. Pietronero、R. Piva、Y. Pomeau、E. Presutti、M. Pulvirenti、Y. H. Qian、A. Quarteroni、C. Rebbi、S. Remondi、D. Rothman、D. Ruelle、P. Santangelo、G. Smith、J. Somers、D. Stauffer、C. Teixeira、T. Toffoli、F. Toschi、M. Tosi、R. Tripiccione、C. Tsallis、M. Vergassola、A. Vulpiani、V. Yakhot、J. Yeomans、J. Yepez、S. Zaleski、P. Zanella和 G. Zanetti。

特别感谢 Piero Sguazzero 博士，他建议我使用 HPP 自动机作为学习 IBM- 370 汇编语言的试验平台，从而开启了我的 LBE 探索之旅，这段旅程比预期更加趣味盎然。特别感谢 Roberto Benzi 教授，他分享了 LBE 早期研究中充满乐趣和兴奋的“欢乐时光”。

Hudong Chen（陈沪东）博士与我进行了无数次令人振奋的讨论，他与 EXA公司、波士顿大学和哈佛大学的其他多位朋友让波士顿成为了我的第二故乡，我向他们致以深深的谢意。我还要特别感谢 E. Kaxiras 教授，他为我安排的哈佛大学访问学者奖学金令我受益匪浅。

Steven Orszag 教授和 R. Piva 教授多年以来一直提供友好的支持，Carlo Cercignani 教授在本书得以面世的过程中发挥了至关重要的作用，我向他们致以最真挚的谢意。我也非常感谢 B. Boghosian 教授、J. P. Boon 教授、C. Cercignani 教授、P. Coveney 教授、U. Frisch 教授和 L. S. Luo 教授对本书初稿的批判性审阅。

在这份致谢名单中还必须补充我在动理学理论方面最早的几位老师，即 V. Boffi 教授、V. Molinari 教授和 G. Spiga 教授，多年以前从他们那里学到的基本知识至今仍然很有用。我同样要感谢 K. Appert 博士和 J. Vaclavik 博士，他们教会了我怎样把优美的理论转化为同样优美的数值方法，以便解决相关问题。

我要感谢 M. Adamo 博士负责本项目的图形处理，感谢我的同事 G. Amati、Y. Chen、O. Filippova、O. Inamuro、I. Karlin、A. Ladd、L. S. Luo、A. Masselot 和 J. Yeomans 慷慨提供了其图形的原始 postscript 文件，也非常感谢牛津大学出版社的 Soenke Adlung 博士和 Anja Tschoertner、R. Lawrence 和 J. Harris 在整个项目中的鼎力协助。

我还要向我的妻子 Claudia 和女儿 Caterina 致以深深的谢意，这或许是一种标准态度，但我是真心实意的。

即使是薄薄的一本书也难免出错，而这本书不算……

预先感谢指出书中各种漏洞、错误和其他任何不妥之处的热心读者，请使用以下电子邮件地址：succi@iac.rm.cnr.it。

1. S.

罗马

2000 年 9 月

[1] 在最后校对本书清样的过程中，我注意到由 D. A. Wolf-Gladrow 撰写的一本非常好的书：Lattice Gas Cellular Automata and Lattice Boltzmann Models. Lecture Notes in Mathematics. Berlin: Springer, 2000. 这本书对更侧重数学的读者来说是对本书的有益补充。

本书是一部深入探讨流体动力学计算模拟前沿技术的专著，系统地介绍了格子玻尔兹曼方程（Lattice Boltzmann Equation, LBE）的理论基础、发展历程及其在复杂流体系统模拟中的广泛应用。本书从流体动力学的基本原理出发，首先回顾了纳维-斯托克斯方程、玻尔兹曼方程等传统流体动力学模型，进而引出格子玻尔兹曼方法作为一种新兴且强大的计算流体动力学工具。通过详细的数学推导和物理解释，阐述了格子玻尔兹曼方程的基本原理、离散化方法以及边界条件处理策略，使读者能够深入理解该方法的本质和优势。此外，本书还探讨了格子玻尔兹曼方法在多相流、多孔介质、微纳米流体等特定领域的应用，展示了该方法在解决这些复杂流体问题中的独特魅力。本书适合流体力学、计算物理、计算机科学等领域的科研人员、工程师及研究生阅读参考，是一本深入了解格子玻尔兹曼方法及其在流体动力学模拟中应用的宝贵资料。

索罗·苏奇（Sauro Succi）是一位物理学家，1987年博士毕业于洛桑联邦理工学院等离子体物理研究中心，现任意大利理工学院首席研究员。他在物理学领域取得了诸多成就，特别是在流体物理和计算物理方面。他的研究广泛涉及非平衡统计力学，从核聚变等离子体到工业设计的湍流，以及多孔介质、微纳米流体等。他还发表了多篇高引用率论文，并获得了包括Alexander von Humboldt奖、Gordon Bell超级计算竞赛入围奖在内的多项国际奖项。他不仅在学术界享有盛誉，还积极参与科学传播，为高中生讲授复杂系统科学。他现任多个国际科研机构的科学顾问，并在欧洲科学界发挥着重要作用。

第一部分 理论

第 1 章 动理学理论 3

1.1 原子动力学 3

1.2 向局部平衡的弛豫过程 7

1.3 H 定理 9

1.4 长度的各种尺度与输运问题 10

1.5 查普曼–恩斯库格（Chapman-Enskog）展开 11

1.6 纳维–斯托克斯方程 13

1.7 Bhatnagar-Gross-Krook 模型方程 15

1.8 习题 15

第 2 章 格子气元胞自动机 17

2.1 格子流体：Frisch-Hasslacher-Pomeau 自动机 17

2.2 格子流体的作用：格子气元胞自动机的微观动力学演化 19

2.3 从格子气元胞自动机到纳维–斯托克斯方程 27

2.3.1 离散局部平衡 28

2.4 实际操作 30

2.5 格子气的异常状态及其解决方法 33

2.5.1 统计噪声 34

2.5.2 低雷诺（Reynolds）数 34

2.5.3 指数增长复杂性 36

2.5.4 伪不变量 38

2.6 总结 38

2.7 习题 38

第 3 章 基于底层布尔微观动力学的格子玻尔兹曼模型 40

3.1 非线性格子玻尔兹曼方程 40

3.1.1 格子量子流体 43

3.2 伪线性格子玻尔兹曼方程 44

3.3 散射矩阵 Aij 46

3.4 数值实验 49

3.5 习题 50

第 4 章 不基于底层布尔微观动力学的格子玻尔兹曼模型 51

4.1 增强碰撞的格子玻尔兹曼方程 51

4.2 流体动力学场与幽灵场 55

4.2.1 场论比拟 58

4.2.2 维度紧致化 59

4.2.3 幽灵场的消除 60

4.3 通向纳维–斯托克斯方程之路：绝热假设 61

4.4 零黏度的幻象 62

4.5 数值实验 63

4.6 习题 64

第 5 章 格子 Bhatnagar-Gross-Krook 模型 65

5.1 单时间弛豫 65

5.2 LBGK 平衡 66

5.3 LBGK 与 LBE 的对比 68

5.4 与连续动理学理论的关系 70

5.5 与一些离散速度模型的关系 72

5.6 LBE 家族 72

5.7 入门程序 73

5.8 习题 73

第二部分 流体动力学应用与理论进阶

第 6 章 边界条件 77

6.1 格子玻尔兹曼方程边界条件的一般形式 77

6.2 各种边界条件概述 78

6.2.1 周期边界条件 79

6.2.2 无滑移边界条件 82

6.2.3 自由滑移边界条件 84

6.2.4 摩擦滑移 86

6.2.5 切向移动壁面 87

6.2.6 Inamuro 方法 88

6.2.7 运动壁面 89

6.3 开放边界 90

6.4 复杂的（未与网格线对齐的）边界 91

6.4.1 锯齿形边界 92

6.4.2 外推格式 92

6.4.3 琐碎的细节 92

6.4.4 面元法 93

6.5 精确不可压缩的 LBE 格式 94

6.6 习题 96

第 7 章 中等雷诺数流 97

7.1 简单几何条件下的中等雷诺数流 97

7.2 LBE 模拟的实现 99

7.3 边界条件 102

7.4 绕流 103

7.5 关于压强场的进一步讨论: 不必求解泊松（Poisson）方程 106

7.6 习题 109

第 8 章 无序介质中的 LBE 流 110

8.1 通过多孔介质的流动 110

8.2 通过多孔介质的 LBE 流 112

8.3 LBE 模拟的设置 114

8.4 沉积算法 119

8.5 数值模拟 121

8.6 人工合成物质与多尺度建模 122

8.7 习题 123

第 9 章 湍流 124

9.1 流体的湍流 124

9.1.1 二维湍流 126

9.1.2 湍流与动理学尺度 126

9.2 二维湍流的 LBE 模拟 127

9.2.1 揭示隐藏的信息：亚网格尺度与数值稳定性 131

9.3 三维湍流：并行性能 134

9.4 三维槽道湍流 136

9.5 亚网格尺度建模 137

9.5.1 二方程模型 139

9.5.2 非局部涡黏度模型 140

9.5.3 壁面与湍流之间的相互作用 140

9.6 总结 141

9.7 习题 141

第 10 章 走出乐高世界：提高格子玻尔兹曼方程的几何适应性 142

10.1 LBE 在粗网格上的格式 142

10.2 LBE 的有限体积格式 143

10.2.1 分段常数插值 144

10.2.2 分段线性插值 145

10.2.3 分段线性碰撞算子 146

10.2.4 分段抛物线插值 148

10.3 LBE 的有限差分方法 149

10.4 LBE 的插值辅助格式 149

10.5 LBE 的有限元格式 150

10.6 LBE 在不规则网格上的本地格式 151

10.7 LBE 的隐式格式 151

10.8 LBE 的多尺度格式 152

10.9 总结 153

10.10 习题 154

第 11 章 计算流体动力学框架下的 LBE 方法 155

11.1 LBE 与 CFD 155

11.1.1 局部性 156

11.1.2 精度 158

11.1.3 稳定性 159

11.1.4 一致性 162

11.1.5 效率 169

11.1.6 灵活性 170

11.2 与完全拉格朗日方法的联系 172

11.3 LBE 方法简述 175

11.4 习题 176

第三部分 经典流体动力学以外的学科

第 12 章 复杂流体的 LBE 方法 179

12.1 广义流体动力学的 LBE 理论 179

12.2 化学反应流的 LBE 方法 181

12.2.1 化学反应流 LBE 方法的一些应用 183

12.3 多相流的 LBE 方法 186

12.3.1 表面张力与界面动力学 188

12.3.2 含界面流动的数值方法 190

12.3.3 两相流动力学模型 190

12.3.4 赝势方法 192

12.3.5 自由能方法 194

12.3.6 有限密度模型 197

12.3.7 多相流 LBE 方法的多种应用 199

12.4 含有运动物体的流动的 LBE 方法 201

12.5 胶体流 201

12.5.1 考虑涨落的格子玻尔兹曼方程 202

12.5.2 固体颗粒与流体之间的运动边界 203

12.5.3 数值测试 205

12.5.4 考虑涨落的格子玻尔兹曼方程的计算成本 208

12.5.5 热平衡 209

12.6 LBE 与分子动力学的融合：LBE 流中的聚合物 209

12.7 雪的输运与堆积 211

12.8 非平衡统计力学的一种新范式？ 212

12.9 新的前景 213

12.10 习题 213

第 13 章 量子力学的格子玻尔兹曼方程 214

13.1 量子力学与流体 214

13.2 薛定谔（Schr¨odinger）方程的