考研数学常考题型解题方法技巧归纳（数学二）（毛纲源）

本书是笔者在制定的考研数学二考试大纲的指导下，经过多年的教学实践精心编写而成的，完整的知识体系，更加符合当前考生复习备考的需求.全书共分为两篇：第1篇为高等数学，第2篇为线性代数.书中附录给出了与相应章节配套的经典常考题型同步测试题及参考答案.书中重点讲述与考试大纲中基本概念、基本理论、基本方法有关的经典试题，内容丰富，题型广泛、全面，任何一年的真题均可在本书中找到对应的题型；同时作者还对各类重点常考题型的解题思路、方法和技巧进行归纳、总结，对容易出错的地方以“注意”的形式作了详尽的注解加以强调，讲解的方法通俗易懂，由浅入深，富于启发.这是一本广度、深度及难度均适合广大考生使用的考研辅导书.本书有以下几个特点：首先，本书根据考研数学大纲的要求，将历年考研数学试题按题型分类，对各类题型的解法进行了归纳总结，使考生能做到举一反三.数学试题是无限的，而题型是有限的，掌握好这些题型及其解题方法与技巧，会减少解题的盲目性，从而提高解题效率，考生的应试能力自然就得到了提高.本书特别强调对考研数学大纲划定的基本概念、基本定理、基本方法和基本公式的正确理解.为此针对每一题型在讲解例题前常对上述“四个基本”进行剖析，便于考生理解、记忆，避免常犯错误.本书另一特点是总结了许多实用快捷的简便算法，这些算法新颖、独特，它们是作者多年来教学经验的总结，会大大提高考生的解题速度和准确性，使考生节省大量的答题时间.本书还注重培养提高综合应用多个知识点解决问题的能力，对综合型题型进行了较多的分析，以期提高考生在这方面的能力.与此同时，本书注重一题多解，以期开阔考生的解题思路，使所学知识融会贯通，能灵活地解决问题.本书的讲述方法由浅入深，适于自学，选用的例题精而易懂、全而不滥.为使考生具有扎实的数学基础知识，也为了更好地阅读本书，特向读者一套可以指导你全面、系统、深入复习考研数学的参考书，这就是本人编写的理工类数学学习指导、硕士研究生备考指南丛书：《高等数学解题方法技巧归纳》（上、下册）、《线性代数解题方法技巧归纳》.这套丛书自出版以来一直受到全国广大读者的一致好评，长销不衰.很多已考取理工类硕士研究生的学生都受益于这套丛书.本人在撰写本书时，多处引用了这套丛书的内容和方法，如果能把这套丛书结合起来学习，必将达到事半功倍的效果.另外，考生在做真题时可结合本人编写的《考研数学历年真题分题型详解(数学二)》来复习，这本书对历年真题进行了详细解答，且大部分一题多解，不同于其他的真题解析书.承蒙读者多年来对本书的厚爱，笔者很欣喜地从网络评论中看到，有人把本书誉为“研究性的考研数学辅导书”“考研数学中的大百科全书”“考研数学中的神书”.他们中有的登门拜访，有的通过出版社编辑转发电子邮件来与我联系，为本书的勘误提供了大量的信息，甚至有的对本书知识点及题型的安排提出了很多宝贵的建议，在此向他们无私的帮助表示衷心的感谢！由于笔者精力和水平有限，书中错误、疏漏之处在所难免，恳请专家、读者指正！*后，预祝考生复习顺利，圆入名校之梦!

全书共分为两篇：篇为高等数学，第二篇为线性代数。本书重点讲述考纲中与基本概念、基本理论、基本方法有关的经典试题，内容丰富，题型广泛、全面，任何一年的真题均可在本书中找到对应的题型。　　 本书对各类重点常考题型的解题思路、方法和技巧进行归纳总结，对容易出错的地方以“注意”的形式作了详尽的注解加以强调。各类题型的解法除给出一般的套路外还给出简便的解法，能激发读者阅读此书的兴趣。本书在讲解各类题型的解法时，尽量做到通俗易懂、由浅入深、富于启发，便于自学，是一本广度、深度及难度均适合广大考生使用的辅导书。

毛纲源教授是我社的特约作者，先后编著并在我社出版的图书品种达20余种，其出书数量在国内实属罕见，不论是数学辅导书（经济类、理工类）的编写，还是考研数学辅导书的编写，都体现了老一辈教师严谨治学的工作作风，作为毛老师系列图书的责任编辑也从中受益匪浅.同时，毛老师的系列图书十几年来一直作为我社的畅销书和常销书，在读者心目中赢得了良好的口碑，已有数十万学子从中受益。

第1篇高 等 数 学

1.1函数(2)

1.1.1求两类函数的表达式(2)

题型1.1.1.1已知一函数求其反函数的表达式(2)

题型1.1.1.2求与复合函数有关的函数表达式(2)

1.1.2函数的奇偶性(3)

题型1.1.2.1判别(证明)几类函数的奇偶性(3)

题型1.1.2.2奇、偶函数性质的应用(6)

1.1.3判别(证明)函数的周期性(7)

1.1.4判定函数的有界性(8)

题型1.1.4.1判定在有限开区间内连续函数的有界性(9)

题型1.1.4.2判定无穷区间内连续函数的有界性(9)

题型1.1.4.3判定分段连续函数的有界性(10)

1.2极限、连续(11)

1.2.1极限的概念与基本性质(11)

题型1.2.1.1正确理解极限定义中的“ε N”“ε δ”“ε X”语言的含义(11)

题型1.2.1.2正确区别无穷大量与无界变量(11)

题型1.2.1.3正确运用极限的保序性、保号性(13)

题型1.2.1.4正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限(14)

题型1.2.1.5正确理解乘积极限的存在性(15)

题型1.2.1.6正确理解复合函数极限的存在性(16)

1.2.2求未定式极限(16)

题型1.2.2.1求00型或∞∞型极限(16)

题型1.2.2.2求0·∞型极限(21)

题型1.2.2.3求∞-∞型极限(22)

题型1.2.2.4求幂指函数型(00型、∞0型、1∞型)极限(22)

1.2.3求数列极限(27)

题型1.2.3.1求数列通项为n项和的极限(27)

题型1.2.3.2求无穷多项积的极限(31)

题型1.2.3.3求有限项之和或之积的数列极限(32)

题型1.2.3.4求由递推关系式给出的数列的极限(32)

1.2.4求几类子函数形式特殊的函数极限(35)

题型1.2.4.1求需先考察左、右极限的函数极限(35)

题型1.2.4.2求含根式差的函数极限(37)

题型1.2.4.3求含或可化为含指数函数差的函数极限(37)

题型1.2.4.4求含lnf(x)的函数极限，其中limx→□f(x)=1(38)

题型1.2.4.5求含有界变量因式的函数极限(39)

题型1.2.4.6求含取整函数的函数极限(39)

1.2.5求含参变量x的函数极限limn→∞φ(n,x)(40)

题型1.2.5.1求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)或可化为指数函数型F(x)g(n)(40)

题型1.2.5.2求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)或可化为幂函数型g(n)F(x)(41)

题型1.2.5.3求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)或可化为F(x)g(t)型或g(t)F(x)型(41)

题型1.2.5.4求limn→∞φ(n,x)=limn→∞F(n,x)g(x,n)或limt→t0φ(t,x)=limt→t0F(t,x)g(x,t)(42)

1.2.6已知一极限求其待定常数或另一极限(42)

题型1.2.6.1已知极限式的极限，求其待定常数(42)

题型1.2.6.2由含未知函数的一(些)极限，求含该函数的另一极限(49)

1.2.7比较和确定无穷小量的阶(50)

题型1.2.7.1比较无穷小量的阶(51)

题型1.2.7.2确定无穷小量的阶数(53)

题型1.2.7.3正确运用无穷小量阶的运算法则(54)

1.2.8讨论函数的连续性及间断点的类型(55)

题型1.2.8.1判断函数的连续性(55)

题型1.2.8.2求函数的间断点并判断其类型(59)

1.2.9连续函数性质的两点应用(61)

题型1.2.9.1证明中值等式命题(62)

题型1.2.9.2证明方程实根的存在性(64)

1.3一元函数微分学(67)

1.3.1导数定义的两点应用(67)

题型1.3.1.1判断函数在某点的可导性(67)

题型1.3.1.2求分式函数的极限(71)

题型1.3.1.3讨论函数性质(73)

题型1.3.1.4利用导数定义求函数表达式(75)

1.3.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性(75)

题型1.3.2.1讨论分段函数的可导性(75)

题型1.3.2.2讨论分段函数导函数的连续性(76)

题型1.3.2.3讨论一类特殊分段函数的连续性、可导性及其导函数的连续性(77)

1.3.3讨论含值函数的可导性(78)

题型1.3.3.1讨论｜f(x)｜的可导性(78)

题型1.3.3.2讨论f(x)=｜φ(x)｜g(x)的可导性(78)

1.3.4求一元函数的导数和微分(80)

题型1.3.4.1求复合函数的导数(80)

题型1.3.4.2求反函数的导数(81)

题型1.3.4.3求隐函数的导数(82)

题型1.3.4.4求由参数方程确定的函数的导数(84)

题型1.3.4.5求分段函数的导数(86)

题型1.3.4.6求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数(87)

题型1.3.4.7求某些简单函数的高阶导数(87)

题型1.3.4.8求一元函数的微分(90)

1.3.5利用连续性、可导性确定待定常数(92)

题型1.3.5.1利用连续性确定待定常数(92)

题型1.3.5.2利用可导性确定待定常数(93)

1.3.6利用微分中值定理的条件及其结论解题(95)

1.3.7利用罗尔定理证明中值等式(96)

题型1.3.7.1证明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0(97)

题型1.3.7.2证明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=dg′(ξ)，其中c,d为常数(98)

题型1.3.7.3证明存在ξ∈(a,b)，使g(ξ)f′(ξ) h(ξ)f(ξ)=Q(ξ)(98)

题型1.3.7.4证明存在ξ∈(a,b) ，使f(ξ)g′(ξ) f′(ξ)g(ξ)=0(99)

题型1.3.7.5证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0(100)

题型1.3.7.6证明存在ξ∈(a,b)，使f″(ξ)g(ξ)-f(ξ)g″(ξ)=0(100)

题型1.3.7.7证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)f(ξ)=0(101)

题型1.3.7.8证明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ) ξf′(ξ)=0(n为正整数)(101)

题型1.3.7.9证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b(102)

题型1.3.7.10证明含两端点(及其函数值)的中值等式(103)

题型1.3.7.11证明与定积分有关的中值等式(104)

1.3.8拉格朗日中值定理的应用(105)

题型1.3.8.1证明与函数差值(改变量)有关的中值（不）等式(106)

题型1.3.8.2证明函数与其导函数的关系(107)

题型1.3.8.3求解与函数差值有关的问题(109)

题型1.3.8.4求中值的极限位置(110)

1.3.9利用柯西中值定理证明中值等式(111)

题型1.3.9.1证明两函数差值(增量)比的中值等式(112)

题型1.3.9.2证明两函数导数比的中值等式(112)

1.3.10证明多个中值所满足的中值等式(114)

1.3.11泰勒定理的几点应用(116)

题型1.3.11.1求函数的泰勒展开式(116)

题型1.3.11.2应用泰勒公式(麦克劳林公式)求极限(117)

题型1.3.11.3证明含高阶导函数的中值命题(118)

题型1.3.11.4应用泰勒公式(麦克劳林公式)证明不等式(119)

题型1.3.11.5求函数在某点处的高阶导数值(121)

1.3.12利用导数证明不等式(122)

题型1.3.12.1证明与函数改变量有关的不等式(123)

题型1.3.12.2利用函数的导数不等式证明函数不等式(124)

题型1.3.12.3证明含有或可化为含有均值变量（自变量或函数）的不等式(124)

题型1.3.12.4已知F(a)≥0(或F(b)≥0)，证明x＞a(或x＜b)时F(x)＞0(125)

题型1.3.12.5证明含常数加项的不等式(127)

题型1.3.12.6证明含两个变量(常数)的函数(数值)不等式(128)

题型1.3.12.7利用函数和导数的几何意义证明函数不等式(129)

1.3.13讨论函数性态(130)

题型1.3.13.1证明函数在某区间上是常数(130)

题型1.3.13.2证明(判别)函数的单调性(130)

题型1.3.13.3利用极限式讨论函数是否取得极值(132)

题型1.3.13.4利用方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点(133)

题型1.3.13.5利用导数不等式讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点(134)

题型1.3.13.6利用极值点或拐点讨论函数性质(135)

题型1.3.13.7求曲线的凹、凸区间与拐点(135)

题型1.3.13.8求函数的单调区间、极值、值(139)

题型1.3.13.9求曲线的渐近线(141)

1.3.14函数性态与函数图形(143)

题型1.3.14.1利用函数性态作函数图形(143)

题型1.3.14.2已知函数图形，确定函数或其导函数性质(或图形)(144)

题型1.3.14.3已知导函数图形，确定原来函数的性态(145)

1.3.15利用函数性态讨论方程的根(145)

题型1.3.15.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数(145)

题型1.3.15.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数(146)

题型1.3.15.3已知方程根的个数，求其参数的取值范围(148)

1.3.16一元函数微分学的几何应用(149)

题型1.3.16.1求平面曲线的切线方程和法线方程(149)

题型1.3.16.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题(152)

题型1.3.16.3求解与两曲线相切的有关问题(152)

题型1.3.16.4求解与平面曲线的曲率有关的问题(153)

题型1.3.16.5求解与变化率有关的问题(155)

1.4一元函数积分学(157)

1.4.1原函数与不定积分的关系(157)

题型1.4.1.1原函数的概念及其判定(157)

题型1.4.1.2求分段函数的原函数或不定积分(158)

题型1.4.1.3利用积分与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题(159)

1.4.2各类被积函数不定积分的算法(160)

题型1.4.2.1计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分(160)

题型1.4.2.2计算简单无理函数的不定积分(161)

题型1.4.2.3求∫1(ax b)kf1(ax b)k-1dx，其中k(k≠1)为正实数(165)

题型1.4.2.4求∫f(x)g(x)dx(165)

题型1.4.2.5求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的不定积分(167)

题型1.4.2.6求三角函数有理式的不定积分(168)

题型1.4.2.7求被积函数含反三角函数的积分(170)

题型1.4.2.8有理分式函数的积分∫P(x)Q(x)dx(其中P(x),Q(x)为多项式)的算法(171)

题型1.4.2.9用留数法求有理分式函数的不定积分(172)1.4.3利用定积分性质计算定积分(174)

题型1.4.3.1利用其几何意义计算定积分(174)

题型1.4.3.2计算对称区间上的定积分(175)

题型1.4.3.3计算周期函数的定积分(177)

题型1.4.3.4利用定积分的常用计算公式求定积分(178)

题型1.4.3.5计算被积函数含函数导数或已知其导数的函数的积分(180)

题型1.4.3.6比较和估计定积分的大小(180)

题型1.4.3.7求解含积分值为常数的函数方程(182)

题型1.4.3.8计算几类需分子区间积分的定积分(183)

题型1.4.3.9计算含参变量的定积分(186)

题型1.4.3.10求需换元计算的定积分(186)

题型1.4.3.11求由定积分表示的变量极限(189)

1.4.4求解与变限积分有关的问题(190)

题型1.4.4.1计算含变限积分的极限(190)

题型1.4.4.2求变限积分的导数(194)

题型1.4.4.3求变限积分的定积分(197)

题型1.4.4.4讨论变限积分函数的性态(198)

1.4.5证明定积分等式(199)

题型1.4.5.1证明定积分的变换公式(199)

题型1.4.5.2证明含定积分的中值等式(201)

1.4.6证明积分不等式(201)

题型1.4.6.1证明积分限相等时不等式两端为零的积分不等式(201)

题型1.4.6.2证明函数f(x)在a,b上的定积分满足不等式，其中f(x)在a,b

上满足拉格朗日中值定理的条件，且在区间端点处取零值(202)

题型1.4.6.3证明∫baf(x)dx或∫baf(x)dx≤k(或≥k)，k为常数(204)

题型1.4.6.4证明被积函数或其主要部分高阶可导的定积分不等式(204)

1.4.7计算反常积分(205)

题型1.4.7.1计算无穷区间上的反常积分(205)

题型1.4.7.2判别∫ ∞adxxp (a>1)与∫ ∞adxx(lnx)p (a>1)的敛散性(209)

题型1.4.7.3判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛，计算其值(209)

题型1.4.7.4判别∫badx(b-x)p与∫badx(x-a)p的敛散性，如收敛，计算其值(212)

题型1.4.7.5判别混