【现货速发】几何奇观

我们知道几何无处不在。然而，还有许多人没有机会欣赏到令人惊奇的几何关系和它们的美。美国高中课程通常规定用一年的时间来学习几何，模仿数学家的工作方式，从公理和假设开始建立一个研究领域，然后以逻辑推理来证明各条定理。不过，这种注重定理证明的做法忽视了许许多多不寻常的关系。本书试图在不让这些证明使人“分心”的情况下展示那些几何奇观。
英语中对几何学的理解始于18世纪，当时苏格兰数学家西姆森(Robert Simson)用英语出版了欧几里得(Euclid)的《几何原本》(Elements)中的大部分内容。到了19世纪，法国数学家勒让德(Adrien-Marie Legendre,1752—1833)进一步完善了这些知识。首先将几何学引入美国的则是美国的数学家戴维斯(Charles Davies,1798—1876),他编写了一本教科书，该书以定义、公理和假设为起点，进而引出定理。这原本是一门大学课程，而从20世纪开始，这一课程通常在高中十年级教授。在大多数人的记忆中，这门课都是在证明定理，而这些定理最终会以数学家研究数学的方式建立起一个知识体系。
在建立起一个环环相扣的知识体系的过程中，有着显而易见的美。不过，这种做法往往不能让学生充分体会渗透在平面几何这一学科中的种种令人惊叹的关系。在完全出乎意料的情况下，你能发现三条或多条线共点或者三个或多个点共线。或者，如果你知道任意三个非共线点确定一个唯一的圆，那么在什么情况下四个或更多的点会在同一个圆上?这些例子只是一些经常被忽视的、令人惊讶的几何元素。我希望在本书中能弥补这种疏忽。
除了这些不同寻常的特性之外，由于受表达方式的限制，几何学的许多方面可能在无意中被忽略了。在处理直线图形时，三角形自然是占主导地位的。不过，四边形也值得考虑，我们将在适当的时候介绍四边形。为了激起你的兴趣，请画一个四边形，它没有任何平行边，也没有任何边等长。如果你将这个不规则的四边形的各边中点相继连起来，从而画出另一个四边形，那么你最后得到的总是一个平行四边形(如图0.1所示)。这显然不在意料之中，但却是事实!在我们的几何学之旅中，你将会看到，除此之外还有许许多多类似的新奇的几何事物在等待着我们。
几何学知识不仅是许多有趣的发现，也是几个世纪以来杰出的数学家们辛勤工作的结果。本书基于他们所研究的几何关系，探究其中的意义。
几何中存在着美，黄金矩形就是一例。在本书中，我们将同时从美学和数学的角度欣赏它。当然，黄金矩形也遍布在数学的许多分支中，因此我们将顺便关联其中的几个分支，以突出其重要性。
几何也具有趣味性，有些错误往往在不知不觉间产生，直到演变出一个荒谬的结果才被发现。然后我们就会充满兴趣，并试图去纠正在研究或假设中可能出现错误的地方。
本书从直线的共点性出发，开启我们的几何之旅，并带你领略各种几何奇观。我们感兴趣的主要是那些既定事实的关系，因此本书的阐述不会受到证明过程的干扰。如前所述，高中几何课程主要是在几何体系内部建立起一个逻辑系统，它对证明过程的重视多于由证明得出的结果。相比之下，本书着眼于这些结果，并欣赏那些令人惊叹的关系。这将贯穿始终。本书的目标是让作为读者的你能欣赏几何学，而不必分心去证明每一个发现。
当你看到这些意想不到的、相当有趣的关系时，你可能会忍不住到你的几何工具箱里去挖掘一番，并试图证明它们。或者你也许会用一把没有刻度的直尺和一副圆规来作出一个几何图形。不过，如今我们可以通过使用动态几何软件来验证这种关系确实成立，如几何画板或Geogebra。简而言之，通过使用这些软件来演示本书中出现的许多意想不到的关系，几乎可以像一个严格意义上的逻辑证明一样令人信服。坦率地说，在探究本书中所展示的这些奇迹时，你应该会经常惊呼：“哇，真是一个惊人的结果啊!”我们现在邀请你与我们一起通过这种相当不寻常的方法，不受证明拖累地来充分领会几何学的力量和美。

几何图形往往能够带给人们简洁、优美的直观感受，这也是几何学的魅力之所在。本书将带领读者体验一场别开生面的几何之旅，领略各种美妙的几何奇观。首先展示共点、共线、共圆等神奇的几何现象，然后介绍圆形、黄金矩形等赏心悦目的几何图形，最后揭秘令人眼花缭乱的几何错觉。为了让读者充分领略这些几何奇观的美妙之处，享受优美的几何图形所带来的愉悦心情，而不被复杂的证明过程所打扰，本书将大部分证明过程一笔带过，留待那些热衷于钻研问题的读者去慢慢思考、仔细琢磨。

阿尔弗雷德·S·波萨门蒂博士现任纽约长岛大学国际学术事务首席联络官，曾任纽约城市大学梅西学院教育学院院长，数学教育荣誉教授，是1994年美国年度教育家。他在数学教育方面的名声远播欧洲，是60多本数学书籍的作者和合著者，也经常在报纸和杂志上发表与教育有关的话题。

引言/1
第1章  共点性/1
第2章  共线性/49
第3章  圆和共圆点/59
第4章  四边形/68
第5章  关于圆/81
第6章  欣赏其他几何现象/87
第7章  黄金矩形/97
第8章  几何错觉/112

几何图形往往能够带给人们简洁、优美的直观感受，这也是几何学的魅力之所在。本书将带领读者体验一场别开生面的几何之旅，领略各种美妙的几何奇观。首先展示共点、共线、共圆等神奇的几何现象，然后介绍圆形、黄金矩形等赏心悦目的几何图形，最后揭秘令人眼花缭乱的几何错觉。为了让读者充分领略这些几何奇观的美妙之处，享受优美的几何图形所带来的愉悦心情，而不被复杂的证明过程所打扰，本书将大部分证明过程一笔带过，留待那些热衷于钻研问题的读者去慢慢思考、仔细琢磨。

阿尔弗雷德·S·波萨门蒂博士现任纽约长岛大学国际学术事务首席联络官，曾任纽约城市大学梅西学院教育学院院长，数学教育荣誉教授，是1994年美国年度教育家。他在数学教育方面的名声远播欧洲，是60多本数学书籍的作者和合著者，也经常在报纸和杂志上发表与教育有关的话题。