【现货速发】微积分学习指导:下册齐淑华，王金芝主编清华大学出版社

王金芝，博士学位，副教授，大连民族大学理学院教师。从事教学工作二十余年，主要数学类从事公共基础课教学工作。主持或参加过多项省部级科研项目和教改项目，发表过近20篇学术论文。

第1章

多元函数微分学

1.1大纲要求及重点内容

1. 大纲要求

（1 理解二元函数的概念,了解多元函数的概念,会求二元函数的定义域。

（2 了解二元函数的极限与连续性的概念,了解有界闭区域上连续函数的性质。

（3 理解二元函数偏导数与全微分的概念,了解全微分存在的必要条件和充分条件。

（4 掌握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数。

（5 会求隐函数（包括由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶和二阶偏导数。

（6 理解二元函数极值与条件极值的概念,会求二元函数的极值,了解求条件极值的拉格朗日乘数法,会求一些比较简单的值与值的应用问题。

2. 重点内容

（1 偏导数和全微分的概念。

（2 求多元复合函数的一阶、二阶偏导数。

（3 求隐函数的一阶、二阶偏导数。

（4 多元函数的极值，包括无条件极值和条件极值。

（5 利用多元函数解决实际应用中的值、值问题以及在一定条件下的值、值问题。

1.2内容精要

1. 基本概念

（1 二元函数的定义设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点(x,y ，按照某种法则f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在(x,y 处的函数值记为f(x,y ，即z=f(x,y ，其中x，y称为自变量，z称为因变量。点集D称为该函数的定义域，数集{z|z=f(x,y ,(x,y ∈D}称为该函数的值域。

类似地，可定义三元及三元以上函数。当n≥2时,n元函数统称为多元函数。

（2 二元函数的几何意义设函数z=f(x,y 的定义域为D，对于任意取定的P(x,y ∈D，对应的函数值为z=f(x,y ，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z ，当P(x,y 取遍D上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z |z=f(x,y ,(x,y ∈D}，这个点集称为二元函数的图形。二元函数z=f(x,y 的图形就是空间中区域D上的一张曲面，定义域D是该曲面在xOy面上的投影。

（3 二元函数的极限设函数z=f(x,y 在点P0(x0,y0 的某一去心邻域内有定义，如果当点P(x,y 无限趋于点P0(x0,y0 时，函数f(x,y 无限趋于一个常数A，则称A为函数z=f(x,y 当(x,y →(x0,y0 时的极限，记为

limx→x0

y→y0f(x,y =A，

或

f(x,y →A（(x,y →(x0,y0 ），

也记作

limP→P0f(P =A或f(P →A(P→P0 。

二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述。为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限。

第1章多元函数微分学

1.2内容精要

说明：

① 定义中P→P0的方式是任意的；

② 二元函数的极限运算法则与一元函数类似。

(4 二元函数的连续性设二元函数z=f(x,y 在点(x0,y0 的某一邻域内有定义，如果

limx→x0

y→y0f(x,y =f(x0,y0 ,

则称z=f(x,y 在点(x0,y0 处连续。如果函数z=f(x,y 在点(x0,y0 处不连续，则称函数z=f(x,y 在(x0,y0 处间断。

如果z=f(x,y 在区域D内每一点都连续,则称该函数在区域D内连续。在区域D上连续的二元函数的图形是区域D上的一张连续曲面,曲面上没有洞,也没有撕裂的地方。

（5 偏导数的定义设函数z=f(x,y 在点(x0,y0 的某一邻域内有定义,当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时,相应地函数有增量f(x0+Δx,y0 －f(x0,y0 。如果

limΔx→0f(x0+Δx,y0 －f(x0,y0 Δx

存在,则称此极限为函数z=f(x,y 在点(x0,y0 处对x的偏导数,记为

zxx=x0

y=y0，

fxx=x0

y=y0，

zxx=x0

y=y0或fx(x0,y0 。

例如，有

fx(x0,y0 =limΔx→0f(x0+Δx,y0 －f(x0,y0 Δx=limx→x0f(x,y0 －f(x0,y0 x－x0。

类似地，函数z=f(x,y 在点(x0,y0 处对y的偏导数为

fy(x0,y0 =limΔy→0f(x0,y0+Δy －f(x0,y0 Δy=limy→y0f(x0,y －f(x0,y0 y－y0,

记为

zyx=x0

y=y0，

fyx=x0

y=y0，

zyx=x0

y=y0或fy(x0,y0 。

实际上,偏导数本质上是一元函数的导数，f′x(x0,y0 就是一元函数φ(x =f(x,y0 在x=x0处的导数，即

fx(x0,y0 =φ′(x0 =df(x,y0 dxx=x0=(f(x,y0 ′x|x=x0;

而偏导数fy(x0,y0 是一元函数ψ(y =f(x0,y 在y=y0处的导数，即

fy(x0,y0 =ψ′(y0 =df(x0,y dyy=y0=(f(x0,y ′y|y=y0。

如果函数z=f(x,y 在区域D内任一点(x,y 处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y的函数，它就称为函数z=f(x,y 对自变量x的偏导数，记作zx，fx，zx或fx(x,y 。同理可以定义函数z=f(x,y 对自变量y的偏导数，记作zy，fy，zy或fy(x,y 。

偏导数的概念可以推广到二元以上函数。

与作者编写的微积分教材配套的学习指导书，是对教材内容的补充与诠释。