微积分
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作者刘迎东 编
出版社科学出版社
ISBN9787030537560
出版时间2017-08
装帧平装
开本16开
定价37元
货号1201562868
上书时间2024-12-17
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目录
第8章多元函数微分法及其应用1
8.1多元函数的基本概念1
8.1.1平面点集1
8.1.2多元函数概念2
8.1.3多元函数的极限5
8.1.4多元函数的连续性7
习题8.19
8.2偏导数11
8.2.1偏导数的定义及其计算法11
8.2.2高阶偏导数14
习题8.216
8.3全微分18
8.3.1全微分的定义18
8.3.2全微分在近似计算中的应用21
习题8.323
8.4多元复合函数的求导法则24
8.4.1复合函数微分法24
8.4.2一阶全微分形式的不变性28
习题8.429
8.5隐函数的求导公式32
8.5.1一个方程的情形32
8.5.2方程组的情形35
习题8.537
8.6多元函数微分学的几何应用39
8.6.1空间曲线的切线与法平面39
8.6.2曲面的切平面与法线42
习题8.645
8.7方向导数与梯度46
8.7.1方向导数46
8.7.2梯度48
习题8.753
8.8多元函数的极值及其求法54
8.8.1多元函数的极值及优选值、很小值54
8.8.2条件极值拉格朗日乘子法58
习题8.862
8.9很小二乘法64
第9章重积分69
9.1二重积分的概念与性质69
9.1.1二重积分的概念69
9.1.2二重积分的性质71
习题9.172
9.2二重积分的计算法73
9.2.1利用直角坐标计算二重积分73
9.2.2用极坐标计算二重积分78
9.2.3二重积分的换元法81
习题9.285
9.3三重积分90
9.3.1三重积分的概念90
9.3.2三重积分的计算91
习题9.397
9.4重积分的应用100
9.4.1曲面的面积100
9.4.2质心104
9.4.3转动惯量106
9.4.4引力107
习题9.4108
靠前0章曲线积分与曲面积分111
10.1靠前型曲线积分111
10.1.1靠前型曲线积分的概念和基本性质111
10.1.2靠前型曲线积分的计算113
习题10.1115
10.2第二型曲线积分116
10.2.1第二型曲线积分的概念和基本性质116
10.2.2第二型曲线积分的计算119
10.2.3两类曲线积分之间的联系122
习题10.2123
10.3格林公式及其应用126
10.3.1格林公式126
10.3.2平面上曲线积分与路径无关的条件131
10.3.3全微分方程136
习题10.3137
10.4靠前型曲面积分140
10.4.1靠前型曲面积分的概念140
10.4.2靠前型曲面积分的计算142
习题10.4143
10.5第二型曲面积分144
10.5.1第二型曲面积分的概念和性质144
10.5.2第二型曲面积分的计算148
习题10.5150
10.6高斯公式通量与散度152
10.6.1高斯公式152
10.6.2沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件156
10.6.3通量与散度156
习题10.6159
10.7斯托克斯公式环流量与旋度161
10.7.1斯托克斯公式161
10.7.2空间曲线积分与路径无关的条件165
10.7.3环流量与旋度166
习题10.7168
靠前1章无穷级数169
11.1常数项级数的概念和性质169
11.1.1常数项级数的概念169
11.1.2级数的基本性质172
11.1.3柯西收敛原理(柯西准则)175
习题11.1176
11.2常数项级数的审敛法177
11.2.1正项级数及其审敛法177
11.2.2交错级数及其审敛法187
11.2.3保证收敛与条件收敛188
11.2.4保证收敛级数的性质191
习题11.2194
11.3幂级数197
11.3.1函数项级数的概念197
11.3.2幂级数及其收敛性198
11.3.3幂级数的运算203
习题11.3207
11.4函数展开成幂级数209
习题11.4217
11.5函数的幂级数展开式的应用218
11.5.1近似计算218
11.5.2微分方程的幂级数解法222
11.5.3欧拉公式224
习题11.5225
11.6傅里叶级数226
11.6.1三角级数三角函数系的正交性226
11.6.2函数展开成傅里叶级数228
11.6.3正弦级数和余弦级数234
习题11.6240
11.7一般周期函数的傅里叶级数242
习题11.7248
习题答案250
内容摘要
本书对传统的微积分内容的写作次序作了较大调整，贯彻把数学建模思想融人大学数学基础课程教学的想法，强调微分的概念和应用，叙述精炼，选材及示例经典，习题丰富．本书分上、下两册，本部分是上册，上册内容包括一元函数微积分学和常微分方程．包括函数、极限与连续、导数与微分、定积分与不定积分、微分方程、微分中值定理与导数的应用和定积分的应用等内容。
精彩内容
第8章 多元函数微分法及其应用
在此以前，本书讨论的函数都是只依赖于一个自变量的函数，即一元函数。但是，在许多问题中，经常会遇到多个自变量的情形，因此需要研究多元函数。
多元函数微分学是一元函数微分学的推广和发展，这两者既有许多类似之处，又有不少本质差别。这里着重讨论二元函数，因为从一元函数发展到二元函数，许多方法和结论有着本质的不同，但是从二元函数到三元函数或更多元函数，却没有重大差别。
8.1 多元函数的基本概念
8.1.1 平面点集
当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(x，y)之间就建立了一一对应关系。于是，常把有序实数组(x，y)与平面上的点P看成是等同的。这种建立了坐标系的平面称为坐标平面。
设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，δ是某一正数。与点P0(x0，y0)距离小于δ的点P(x，y)的全体，称为点P0的δ邻域，记作U(P0，δ)，即
也就是
点P0的去心δ邻域，记作(P0，δ)，即
(P0，δ)={P|0<|PP0|<δ}。
在几何上，U(P0，δ)就是xOy平面上以点P0(x0，y0)为中心、δ>0为半径的圆内部的点P(x，y)的全体。
如果不需要强调邻域的半径δ，则用U(P0)表示点P0的某个邻域，点P0的去心邻域记作(P0)。
任意一点P∈R2与任意一个点集E*R2之间必有以下三种关系中的一种：
(1) 内点 如果存在点P的某个邻域U(P)，使得U(P)*E，则称P为E的内点(如图8.1中，P1为E的内点)；
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域U(P)，使得，则称P为E的外点(如图8.1中，P2为E的外点)；
(3) 边界点 如果点P的任一邻域内既含有属于E的点，又含有不属于E的点，则称P为E的边界点(如图8.1中，P3为E的边界点)。
图8.1
E的边界点的全体，称为E的边界，记作E。
E的内点必属于E；E的外点必不属于E；而E的边界点既可能属于E，也可能不属于E。
任意一点P∈R2与任意一个点集E*R2之间也可以用另外一种关系来刻画，即聚点。
聚点 如果对于任意给定的δ>0，点P的去心邻域(P，δ)内总有E中的点，则称P是E的聚点。点集E的聚点P本身，可以属于E，也可以不属于E。
例如，设平面点集E={(x，y)|1≤x2+y2<2}。满足1<x2+y2<2的一切点(x，y)都是E的内点；满足x2+y2=1的一切点(x，y)都是E的边界点，它们都属于E；满足x2+y2=2的一切点(x，y)也都是E的边界点，它们都不属于E；点集E以及它的边界E上的一切点都是E的聚点。
下面再定义一些平面点集的概念。
开集 如果点集E的点都是E的内点，则称E为开集。
闭集 如果点集E的边界E*E，则称E为闭集。
例如，集合{(x，y)|1<x2+y2<2}是开集；集合{(x，y)|1≤x2+y2≤2}是闭集；而集合{(x，y)|1≤x2+y2<2}既非开集，也非闭集。
连通集 如果点集E内任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集。
区域(或开区域) 连通的开集称为区域(或开区域)。
闭区域 开区域连同其边界一起所构成的点集称为闭区域。
例如，集合{(x，y)|1<x2+y2<2}是区域；而集合{(x，y)|1≤x2+y2≤2}是闭区域。
有界集 对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得E*U(O，r)，其中O是坐标原点，则称E为有界集。
无界集 一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集。
例如，集合{(x，y)|1≤x2+y2≤2}是有界闭区域；集合{(x，y)|x+y>0}是无界开区域，集合{(x，y)|x+y≥0}是无界闭区域。
8.1.2 多元函数概念
在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，举例如下：
例8.1 一定质量的理想气体，其压强p和容积V以及热力学温度T之间满足关系式(称为气态方程)
R是摩尔气体常数。
当T，V的值分别给定时，按照这个关系式，p就有一个确定的值与它们对应。
例8.2 设R是电阻R1，R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系
当R1，R2取定后，R的值就专享确定了。
由上面两个例子，可以归纳出二元函数的定义。
定义8.1 设D是R2的一个非空子集，若按照某个对应法则f，对任意一个(x，y)∈D，都存在专享的数z∈R与之对应，则称f：D→R为定义在D上的二元函数，通常记为
z=f(x，y)，(x，y)∈D
或
z=f(P)，P∈D，
其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量；z称为因变量。函数值f(x，y)的全体构成的集合称为函数f的值域，记作f(D)，即
f(D)={z|z=f(x，y)，(x，y)∈D}。
类似地，可以定义三元函数u=f(x，y，z)，(x，y，z)∈D以及三元以上的函数。
当n=1时，n元函数就是一元函数。当n≥2时，n元函数统称为多元函数。
关于多元函数的定义域，与一元函数相类似，我们作如下约定：一般在讨论用算式表达的多元函数u=f(P)时，就以使这个算式有意义的变元P所组成的点图8.2集为这个多元函数的自然定义域。
在空间直角坐标系Oxyz中，对于D中的每一点P(x，y)，依照函数关系z=f(x，y)，有空间中一点M与之对应，M的坐标为(x，y，f(x，y))。在空间中，点M的全体称为函数z=f(x，y)的图形。一般说来，它是一张曲面，任何一条平行于z轴且通过区域D的直线与它都有且只有一个交点（图8.2）。
图8.2
例8.3 求函数z=1－x2－y2的定义域，并作函数的图形。
解 定义域为{(x，y)|x2+y2≤1}（图8.3）。函数的图形是上半球面（图8.4）。
例8.4 研究函数z=x2+y2的定义域和图形。
解 定义域为整个xOy平面。函数的图形是旋转抛物面。
对于一般的二元函数z=f(x，y)，其图形往往难以画出。在实际工作中，有时利用“等值线”来了解函数的图形。可用函数值z=常数(即一组与水平面平行的平面)去截曲面z=f(x，y)，所得到的截痕是一组平面曲线，把它们投影到xOy平面上，就是等值线，或称等高线（图8.5，图8.6）。
图8.3
图8.4
图8.5
图8.6
8.1.3 多元函数的极限
先讨论二元函数z=f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)，即P(x，y)→P0(x0，y0)时的极限。
这里P→P0表示点P以任何方式趋于点P0，也就是点P与点P0间的距离趋于零，即
如果在P(x，y)→P0(x0，y0)的过程中，对应的函数值f(x，y)无限接近于一个确定的常数A，就说A是函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限。
定义8.2 设二元函数f(P)=f(x，y)的定义域为D，P0(x0，y0)是D的聚点。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点P(x，y)∈D∩(P0，δ)时，都有
成立，就称常数A为函数f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时的极限，记作
也记作
为了区别于一元函数的极限，把二元函数的极限叫做二重极限。
例8.5 设，求证
证 因为，可见
总有成立，所以
必须注意，所谓二重极限存在，是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，f(x，y)都无限接近于A。因此，如果P(x，y)以某一特殊方式，如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使f(x，y)无限接近于某一确定值，仍然不能由此断定函数的极限存在。但是反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，f(x，y)趋于不同的值，就可以断定这函数的极限不存在。
例8.6 证明：函数在点(0，0)处的极限不存在。
证 点(x，y)沿直线y=kx趋向于点(0，0)时，有
当k不同时，此极限值显然不同，因此该函数在点(0，0)的极限不存在。
例8.7证明：函数在点(0，0)处的极限不存在。
证 点(x，y)沿直线y=x趋向于点(0，0)时，有
而不存在，因此在点(0，0)的极限不存在。
例8.8证明：函数当点(x，y)沿任一直线趋于点(0，0)时，极限都为0，但f(x，y)在点(0，0)处没有极限。
证 对任意实数k，显然有
它表明，点(x，y)沿除y轴以外的过原点的任一直线趋于点(0，0)时，极限都为0。另外
即点(x，y)沿y轴趋于点(0，0)时，f(x，y)的极限也为0。这说明，函数当点(x，y)沿任一直线趋于点(0，0)时，极限都为0。但是
所以，f(x，y)在点(0，0)处没有极限。
以上关于二元函数的极限概念，可相应地推广到n元函数u=f(P)=f(x1，x2，
，xn)上去。
关于多元函数的极限运算，有与一元函数类似的运算法则。
例8.9 求
解
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