那些年你没学明白的数学
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作者(美)托马斯·A.加里蒂(Thomas A.Garrity) 著;赵文,李娜,房永强 译
出版社机械工业出版社
ISBN9787111554783
出版时间2017-03
装帧平装
开本16开
定价59元
货号1201479574
上书时间2024-10-01
商品详情
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作者简介
托马斯·A.加里蒂（Thomas A.Garrity），托马斯·A.加里蒂是美国马萨诸塞州威廉姆斯学院数学教授，是该学院“有效教学”项目的主管。托马斯·A加里蒂于德克萨斯大学奥斯汀分校获得学士学位，于布朗大学获得博士学位。他曾与1986年至1989年间，担任莱斯大学Evans讲席教师。托马斯·A.加里蒂曾获得美国数学协会（MAA）颁发的大学杰出教学奖（MAA Deborah and Franklin Tepper Haimo Award for outstandingcollege or university teaching）。除了众多的学术论文外，托马斯·A.加里蒂还写了另外一本教材《Algebraic Geometry：A Problem Solving Approach》。
目录
前言
关于数学的结构
主题概要
0.1线性代数
0.2实分析
0.3向量值函数的微积分
0.4点集拓扑
0.5经典Stokes定理
0.6微分形式和Stokes定理
0.7曲线和曲面的曲率
0.8几何学
0.9复分析
0.10可数性和选择公理
0.11代数
0.12勒贝格积分
0.13傅里叶分析
0.14微分方程
0.15组合学和概率论
0.16算法
第1章线性代数
1.1介绍
1.2基本向量空间Rn
1.3向量空间和线性变换
1.4基、维数和表示为矩阵的线性变换
1.5行列式
1.6线性代数基本定理
1.7相似矩阵
1.8特征值和特征向量
1.9对偶向量空间
1.10推荐阅读
1.11练习
第2章ε和δ实分析
2.1极限
2.2连续性
2.3微分
2.4积分
2.5微积分基本定理
2.6函数的点态收敛
2.7一致收敛
2.8WeierstrassM判别法
2.9Weierstrass的例子
2.10推荐阅读
2.11练习
第3章向量值函数的微积分
3.1向量值函数
3.2向量值函数的极限和连续性
3.3微分和Jacobi矩阵
3.4反函数定理
3.5隐函数定理
3.6推荐阅读
3.7练习
第4章点集拓扑
4.1基础定义
4.2Rn上的标准拓扑
4.3度量空间
4.4拓扑基
4.5交换环的Zariski拓扑
4.6推荐阅读
4.7练习
第5章经典Stokes定理
5.1关于向量微积分的准备工作
5.1.1向量场
5.1.2流形和边界
5.1.3路径积分
5.1.4曲面积分
5.1.5梯度
5.1.6散度
5.1.7旋度
5.1.8可定向性
5.2散度定理和Stokes定理
5.3散度定理的物理解释
5.4Stokes定理的物理解释
5.5散度定理的证明梗概
5.6Stokes定理的证明梗概
5.7推荐阅读
5.8练习
第6章微分形式和Stokes定理
6.1平行六面体的体积
6.2微分形式和外导数
6.2.1初等k—形式
6.2.2k—形式的向量空间
6.2.3处理k—形式的准则
6.2.4微分k—形式和外导数
6.3微分形式和向量场
6.4流形
6.5切空间和定向
6.5.1隐式和参数化流形的切空间
6.5.2抽象流形的切空间
6.5.3向量空间的定向
6.5.4流形和它的边界的定向
6.6流形上的积分
6.7Stokes定理
6.8推荐阅读
6.9练习
第7章曲线和曲面的曲率
7.1平面曲线
7.2空间曲线
7.3曲面
7.4GaussBonet定理
7.5推荐阅读
7.6练习
第8章几何学
8.1欧式几何
8.2双曲几何
8.3椭圆几何
8.4曲率
8.5推荐阅读
8.6练习
第9章复分析
9.1解析函数
9.2柯西—黎曼方程
9.3复变函数的积分表示
9.4解析函数的幂级数表示
9.5保角映射
9.6黎曼映射定理
9.7多复变数：哈托格斯定理
9.8推荐阅读
9.9练习
第10章可数性和选择公理
10.1可数性
10.2朴素集合论与悖论
10.3选择公理
10.4不可测集
10.5哥德尔和独立性证明
10.6推荐阅读
10.7练习
第11章代数
11.1群
11.2表示论
11.3环
11.4域和迦罗瓦理论
11.5推荐阅读
11.6练习
第12章勒贝格积分
12.1勒贝格测度
12.2康托集
12.3勒贝格积分
12.4收敛理论
12.5推荐阅读
12.6练习
第13章傅里叶分析
13.1波函数，周期函数和三角学
13.2傅里叶级数
13.3收敛问题
13.4傅里叶积分和变换
13.5求解微分方程
13.6推荐阅读
13.7练习
第14章微分方程
14.1基本知识
14.2常微分方程
14.3拉普拉斯算子
14.3.1平均值原理
14.3.2变量分离
14.3.3在复分析上的应用
14.4热传导方程
14.5波动方程
14.5.1来源
14.5.2变量代换
14.6求解失败：可积性条件
14.7Lewy的例子
14.8推荐阅读
14.9练习
第15章组合学和概率论
15.1计数
15.2概率论基础
15.3独立性
15.4期望和方差
15.5中心极限定理
15.6n！的Stirling近似
15.7推荐阅读
15.8练习
第16章算法
16.1算法和复杂度
16.2图：欧拉和哈密顿回路
16.3排序和树
16.4P=NP？
16.5数值分析：牛顿法
16.6推荐阅读
16.7练习
附录等价关系
参考文献
内容摘要
本书是为准备攻读研究生的同学准备的数学入门读物。本书用通俗的语言和非严谨的介绍，给出了多个数学分支的概貌。这些数学分支包括：线性代数、实分析、向量函数微积分、点集拓扑、经典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、曲线和曲面的曲率、几何学、复分析、可数和选择公理、代数、Lebesgue积分、Fourier分析、微分方程、组合数学和概率论、算法。本书适合攻读电子类、信息类、材料类、生物类、化工类、机械类等工程类专业研究生的读者阅读。本书也可作为一学期课程的教材使用。
精彩内容
前言数学是令人振奋的。我们生活在数学目前伟大的时代。在20世纪30年代，有些人担心20世纪早期的数学越来越抽象，这可能会导致数学家们从事没有成果的愚蠢智力练习，也可能会导致数学分裂成接近不同的分支，就如同自然哲学被分成了物理学、化学、生物学和地质学那样。但是事实却恰恰相反。从第二次世界大战开始，人们越来越清楚地意识到数学有着统一的规律。曾经被分开的领域现在互相支撑着彼此。学习和研究数学值得倾注一生。 数学是复杂的。很不幸的是，人们并没有那么擅长数学。尽管学习数学可以说是一种享受，但是它仍然需要勤奋及自律。我几乎不认识把数学看作一门简单学科的数学家。事实上，大多数情况下，在几杯啤酒下肚后，他们会承认自己在数学上的愚钝。这也是一名即将攻读研究生的学生所必须面对的障碍，即怎样解决数学的深刻性与我们浅薄的数学知识间鲜明的反差。研究生院的学生流失率如此之高的部分原因也在于此。就算在优选的学校里有优选的留存率，通常也只有一半的人最终能获得博士学位。甚至在排名前二十的学校里，有时也会有80%的研究生不能毕业，尽管这些研究生比起一般人来说更加擅长于数学。很多人认为数学是一个能使他们发光发热的领域。可是突然在研究生院里他们被同样甚至更优秀（或者看起来更优秀）的人所包围。更糟的是，数学本身还是一种精英教育。学校不会为了使初学者感觉良好而背离自己的教育方式（这不是学校的工作，其工作是探索数学领域）。事实上，有更简单的谋生方式（尽管对于数学家来说可能不太令人满意）。所以“你必须被逼着成为一个数学家”这句话是有道理的。 尽管如此，数学还是令人兴奋的。挫折应该能够被学习和最终开拓（或发现）崭新数学领域的兴奋感而战胜。归根结底，成为一名数学研究者是进入研究生院学习的主要目标。和其他创作相同，数学的研究也会造成情绪的起伏。只有从事规律和乏味的工作才不会有情绪上的高峰和低谷。研究生面对的一部分困难就是学着怎样去处理他们情绪的低谷期。 本书的目标。本书的目标之一是至少给出有关主题的粗略介绍，这些主题是很好研究生都应该知道的。很不幸的是，对于研究生和研究工作来说，因为所需的知识要比在大学短短四年时间所学到的知识多得多，所以几乎没有新生能接近理解这些主题，不过还好，所有人都至少知道这些主题中的一部分。不同的人了解的主题不同，这也有力地表明了与他人合作的好处。 本书还有另外一个目标。许多非数学工作者突然发现他们需要知道一些严密的数学知识。阅读教材对于他们来说十分困难。本书的每一章都会提供一些有关他们感兴趣的主题的提纲。 为了能找出一些数学领域的暗示，面对一个新定义时，读者应该尽力找出一个简单的例子和一个简单的反例。顺便说一下，反例就是一个几乎满足但不接近满足定义的例子。但是，除了找出这些例子之外，读者还应该考虑基础定义被给出的原因。这使得如何研究数学被分裂成了两种思潮。一种是从合理的但不单纯的定义开始，然后证明关于这些定义的定理。通常定理的叙述都是很复杂的，包含很多不同的情形和条件，并且证明也相当复杂，需要很多特定的技巧。 另一种，也是在20世纪中期用得很多的一种方法，即花费大量时间研究基础定义，目的是使定理被更清晰地陈述，并且有直截了当的证明。在这种思潮下，每当在证明中用到一个技巧的时候，就意味着要进行更多的工作。这也意味着定义本身需要得到理解，即使仅仅是在解决为什么要提出此定义的水平上。但是通过这种方式，定理能够被清晰地陈述和证明。 在这种方法中，例子成了关键。对于一些基本例子，大家已经熟知了它们的性质。这些例子会使抽象的定义和定理形象化。事实上，这些定义的产生是为了给出相应的定理，以及与之相关的例子，这也是我们所期待的答案。只有那样，定理才能被应用到新的例子和那些我们不了解的情形中。那些年你没学明白的数学——攻读研究生必知必会的数学前言例如，导数的正确概念是切线的斜率，这是比较复杂的。但是无论选择什么定义，横线的斜率（即一个常函数的导数）必须是零。如果导数的定义不满足横线的斜率是零，那么这个定义一定被认为是错误的，而不是这个直观的例子是错误的。 再如，考虑平面曲线的曲率定义，这个内容将在第7章详述。它的公式有些别扭。但是无论定义是什么，它必须满足直线的曲率是零，还要满足圆上每一点的曲率都相同且半径较小的圆的曲率要比半径较大的圆的曲率大（这反映了一个事实，在地球上保持平衡要比在篮球上更容易）。如果曲率的定义不能做到这点，我们就会拒绝定义，而不是拒绝例子。 因此我们有必要了解一些关键的例子。每当我们试图去解开一个新学科的技术难题时，了解这些例子不但会帮助我们解释为什么定理和定义是这个样子的，而且会帮助我们预测定理应该是什么样子的。 当然这是模糊的预测，并且我们忽略了一个事实，就是初次的证明几乎都是不完美的，其中充满了技巧，因为掩盖了其中的事实。但是在学习基础知识时，我们仍要寻找关键的想法和定理，然后了解它们是怎么塑造定义的。
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