概率论与数理统计

概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支，其应用几乎遍及自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及生活实际等各个领域。在计算机科学、人工智能、数据科学已经成为技术发展的主要推动力的今天，概率论与数理统计显得尤为重要、许多重要学科(如信息论、控制论、可靠性理论和人工智能)都以它为基础，概率统计方法与其他学科相结合已经发展出许多边缘学科(如生物统计、统计物理、数学地质、数理经济等)。认识现实世界广泛存在的随机性，形成随机观念并解释随机现象，从统计的角度思考与处理数据信息并做出合理的决策，越来越被大众广泛地认可和接受。 

随着云时代的来临，大数据吸引了大众广泛的关注，分析随机现象的能力显得尤为重要，作为大数据的数学基础之一的概率论与数理统计正面临着新的需求——从大量的数据中寻找模式、相关性和其他有用的信息。因此，围绕概率论与数理统计课程的教学改革一直备受大家的关注。
与此同时，我国的高等教育正在由“外延式”发展向“内涵式”发展转变。《国家中长期教育改革与发展规划纲要(2010—2020年)》特别提出，针对我国大学生发展的状况，要以学生为主体，以教师为主导，充分调动学生学习的积极性、主动性，把促进学生成长成才作为学校一切工作的出发点和落脚点。在这样的背景下，凝练多年来本科生数学教学改革的经验和成果，针对高等学校工科学生的特点，我们编写了本书。
在本书的编写过程中，我们从源于社会生活提炼数据凝练问题出发，引出探求解决问题方法后面的数学理论基础的必要性，明确课程的应用定位，形成“问题引领、需求导向”的编写思路，改变普遍存在的“重概率，轻统计”倾向，实现概率与统计并重。在具体内容的处理上，我们注重中学和大学的概率知识衔接，以理论基础的培养为主，强调概率论证方法，淡化计算技巧的训练； 我们精心选择例题、习题和综合训练题，满足不同读者的学习需求； 此外，我们介绍了具有很强应用价值的p值检验、非参数检验等知识，并给出了Excel在数理统计中的应用，真正为培养学生利用概率统计方法解决和分析工程实际问题服务。
本书具有如下特色。
(1) 三个重视——重视基础、重视应用、重视能力。通过本书，学生接受基础的概率论与数理统计训练，掌握基本的概念、理论和方法，了解应用方向，形成应用意识，培养用概率论与数理统计知识解决问题的能力。
(2) 三个提升——通过由易到难、由理论到应用的问题设定形式，提升学生学习的自主性； 通过将统计软件有机地融入教学内容，提升学生学习成果的创新性； 通过加入研究性、创新性、综合性内容，加大学生学习投入，科学“增负”，提升学生学习的难度。
(3) 一个中心——学生中心。“以学生发展为中心，以学生学习为中心，以学习效果为中心”，进行教材内容的组织与设计。

本书共分10章，第1章由郭丽杰编写，第2章由刘洪伟编写，第4、5章由徐屹编写，第10章由宋云飞编写，其余章节由张杰编写。
由于编者水平有限，书中缺点和不足在所难免，恳请各位专家、同行以及广大读者批评、指正。
本书的配套资源——所有章末习题的答案、综合训练题及其参考答案，读者可以通过扫描相应的二维码获取。

编者

2020年8月

综合训练题及参考答案

本书根据高等学校工科数学课程教学指导委员会拟定的《概率论与数理统计课程教学基本要求》和《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》编写而成。本书以培养学生运用概率论与数理统计的思想和方法解决随机问题的能力为出发点，科学系统地介绍了概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。本书内容分为10章： 第1章至第5章为概率论，包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、二维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理； 第6章至第9章为数理统计，包括数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析及回归分析； 第10章为Excel在数理统计中的应用。 本书理论叙述严谨、语言精练、概念明确、应用性强，书中适当增加了概率论与数理统计的应用实例，同时配备了综合训练题，作为学生复习提高之用。 本书可以作为工科大学本科各专业的教材，可以供财经类、理工类专业选用，也可以作为报考硕士研究生人员及工程技术人员的学习参考用书。 本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。

张杰，副教授，毕业于东北师范大学数学与统计学院，研究方向为概率论与数理统计。从教二十三年来先后讲授的课程有：《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变换》、《数值分析》、《运筹学》、《数学建模》、《工程数学选讲》等。

第1章随机事件及其概率

1.1随机事件及其运算

1.1.1随机试验

1.1.2随机事件

1.1.3样本空间

1.1.4事件的关系与运算

1.1.5事件的运算规律

1.2频率与概率

1.2.1事件的频率

1.2.2概率的统计定义

1.2.3概率的公理化定义

1.3古典概率

1.3.1古典概率的定义

1.3.2古典概率的计算

1.4几何概率

1.4.1几何概率的定义

1.4.2几何概率的计算

1.5条件概率

1.5.1条件概率的定义

1.5.2乘法公式

1.5.3全概率公式

1.5.4贝叶斯公式

1.6事件的独立性

1.6.1两个事件的独立性

1.6.2多个事件的独立性

1.6.3试验的独立性

习题1

第2章随机变量及其分布

2.1随机变量及其分布函数

2.1.1随机变量的定义

2.1.2随机变量的分布函数

2.2离散型随机变量

2.2.1离散型随机变量及其分布律

2.2.2常见的离散型随机变量

2.3连续型随机变量

2.3.1连续型随机变量及其概率密度

2.3.2常见的连续型随机变量

2.4随机变量函数的分布

2.4.1离散型随机变量函数的分布

2.4.2连续型随机变量函数的分布

习题2

第3章二维随机变量及其分布

3.1二维随机变量及其分布函数

3.1.1二维随机变量的定义

3.1.2二维随机变量的分布函数

3.2二维离散型随机变量

3.2.1二维离散型随机变量的定义

3.2.2边缘分布律

3.3二维连续型随机变量

3.3.1二维连续型随机变量及其概率密度

3.3.2边缘概率密度

3.3.3常见的二维连续型随机变量

3.4条件分布

3.4.1离散型随机变量的条件分布

3.4.2连续型随机变量的条件分布

3.5随机变量的独立性

3.5.1二维随机变量的独立性

3.5.2多维随机变量的独立性

3.6二维随机变量函数的分布

3.6.1二维离散型随机变量函数的分布

3.6.2二维连续型随机变量函数的分布

习题3

第4章随机变量的数字特征

4.1数学期望

4.1.1数学期望的定义

4.1.2随机变量函数的数学期望

4.1.3几个重要分布的数学期望

4.1.4数学期望的性质

4.2方差

4.2.1方差的定义

4.2.2几个重要分布的方差

4.2.3方差的性质

4.3协方差和相关系数

4.3.1协方差

4.3.2相关系数

4.4矩、协方差矩阵

4.4.1矩

4.4.2协方差矩阵

习题4

第5章大数定律和中心极限定理

5.1大数定律

5.1.1切比雪夫不等式

5.1.2几种基本的大数定律

5.2中心极限定理

习题5

第6章数理统计的基本概念

6.1总体与样本

6.1.1数理统计的基本问题

6.1.2总体与个体

6.1.3简单随机样本

6.1.4直方图和经验分布函数

6.1.5统计量

6.2三种常用分布

6.2.1χ2分布

6.2.2t分布

6.2.3F分布

6.3抽样分布

6.3.1单正态总体的抽样分布

6.3.2双正态总体的抽样分布

习题6

第7章参数估计

7.1点估计

7.1.1点估计的概念

7.1.2矩估计法

7.1.3极大似然估计法

7.1.4估计量的评选标准

7.2区间估计

7.2.1置信区间的概念

7.2.2单正态总体参数的区间估计

7.2.3双正态总体参数的区间估计

7.2.4大样本总体均值的区间估计

7.2.5单侧置信区间

7.2.6置信区间的概念

习题7

第8章假设检验

8.1假设检验的基本思想与概念

8.1.1问题的提出

8.1.2假设检验的基本思想

8.1.3两类错误

8.1.4假设检验的基本步骤

8.2正态总体参数的假设检验

8.2.1单正态总体参数的假设检验

8.2.2双正态总体参数的假设检验

8.2.3置信区间与假设检验的关系

8.301分布参数的假设检验

8.4非参数假设检验

8.5假设检验问题的p值法

习题8

第9章方差分析及回归分析

9.1单因素试验的方差分析

9.1.1单因素试验

9.1.2平方和的分解

9.1.3SA、SE的统计特征

9.1.4假设检验问题的拒绝域

9.1.5未知参数的估计

9.2双因素试验的方差分析

9.2.1双因素等重复试验的方差分析

9.2.2双因素无重复试验的方差分析

9.3一元线性回归

9.3.1一元线性回归模型

9.3.2可化为一元线性回归的情况

9.4多元线性回归

习题9

第10章Excel在数理统计中的应用

10.1应用Excel处理数理统计问题概述

10.1.1在数理统计研究中应用Excel

10.1.2Excel的概率计算功能

10.1.3Excel的分析工具库

10.2箱线图

10.3数理统计问题的Excel求解

10.3.1假设检验

10.3.2方差分析

10.3.3一元线性回归

附表1泊松分布累计概率值表

附表2标准正态分布函数值表

附表3χ2分布临界值表

附表4t分布临界值表

附表5F分布临界值表

参考文献

本书根据高等学校工科数学课程教学指导委员会拟定的《概率论与数理统计课程教学基本要求》和《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》编写而成。本书以培养学生运用概率论与数理统计的思想和方法解决随机问题的能力为出发点，科学系统地介绍了概率论与数理统计的基本概念、原理和方法。本书内容分为10章： 第1章至第5章为概率论，包括随机事件及其概率、随机变量及其分布、二维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理； 第6章至第9章为数理统计，包括数理统计的基本概念、参数估计、假设检验、方差分析及回归分析； 第10章为Excel在数理统计中的应用。 本书理论叙述严谨、语言精练、概念明确、应用性强，书中适当增加了概率论与数理统计的应用实例，同时配备了综合训练题，作为学生复习提高之用。 本书可以作为工科大学本科各专业的教材，可以供财经类、理工类专业选用，也可以作为报考硕士研究生人员及工程技术人员的学习参考用书。 本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。

张杰，副教授，毕业于东北师范大学数学与统计学院，研究方向为概率论与数理统计。从教二十三年来先后讲授的课程有：《线性代数》、《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变换》、《数值分析》、《运筹学》、《数学建模》、《工程数学选讲》等。