文化伟人代表作图释书系：算术研究

《算术研究》探讨的内容是整数，所以书中少有提到分数及无理数。人们通常把讨论如何从一个不定方程的无穷多个解中选出哪些是整数，或至少是有理数（通常是正有理数）解的学问，叫作不定分析或丢番图分析。本书不是要彻底研究这一学科，而仅是针对这个学科的一个十分特殊的部分；较之于整个学科，大致类似简化方程和解方程的学问——代数学——与整个分析学的关系一样。如同我们把所有关于数量的讨论都放在分析学的大标题下一样，我们把整数（以及分数——在它们由整数所确定的意义下）作为算术学的恰当的研究对象。然而，人们口中常说的算术学，不外乎是计数与计算的学问（用恰当的符号表示数，例如十进制表示法及其运算）。算术学还经常涉及到这样一些与算术毫无关系的问题（如对数理论），或者关于所有数量的问题。因此，将前面的内容称为“初等算术”是恰当的，以便与“高等算术”区别开来。高等算术的研究范围包括了对整数性质的一般研究。本书将只讨论高等算术。

欧几里得在他的《几何原本》的第七卷以及其后几卷中以古代学者惯用的方法优美而严谨地讨论的一些问题，属于高等算术的范畴，但其讨论的内容都是本学科的基础内容。丢番图的知名著作致力于研究不定分析问题，他取得了丰富的成果；考虑到这些问题的难度，加上丢番图处理这些问题时使用的巧妙方法，尤其是当时作者手头几乎没有多少数学工具可以使用，人们因而对作者的独特思维和熟练手法极其关注。解决这些问题主要是靠灵活的技巧，而不需要掌握深刻的数学原理。由于这些问题非常特殊而不能产生普适的结论，所以，如果说丢番图的著作开创了新时代，这是因为此书早呈现了代数学所特有的技巧，而不是因为它以新的发现丰富了高等算术。为高等算术做出更多贡献的是现代的学者们，其中皮耶·德·费玛，莱昂哈德·欧拉，约瑟夫·拉格朗日以及阿德里安·马里·勒让德（以及另外少数几位）开启了这座科学神殿的大门，并揭示了其中的宝藏是何等丰富。我在此就不一一罗列他们的成果，因为这些成就在勒让德为欧拉《代数学》所作序中已经列出，在拉格朗日近的著作（我很快就要提到）中也可以找到；在本书合适的位置，我也会引用其中的很多成果。

《算术研究》的目的是介绍我在高等算术领域的研究。由于我五年前就承诺要出版此书，因而书中既有当时就开始的研究，也有后来的研究。为了不让人诧异为什么本书几乎从高等算术的初步知识开始探讨，还要重新拾起许多已被其他人积极研究过的成果，我必须解释，当我 1795 年初开始转而进行这个领域的研究时，我并不知道现代学者在此领域中的发现，也没有找到这些发现的方法。当时的情况是这样的：在忙于其他研究时，我遇到了一个极不寻常的算术定理（如果我没记错的话，这就是本书第 108 条所说的那个定理），因为我觉得这条定理如此优美，还因为我怀疑它与更加深刻的结果有关，所以我全身心投入其中，以求能够理解它背后的原理并取得严格的证明。当我成功解决了这个问题后，我被这一类问题深深吸引，爱不释手。于是，随着一个结论引出另一个结论，我在拜读到其他学者的著作之前，就已经完成了本书前四章所介绍的绝大部分内容。，当我有可能拜读这些天才人物的著作后，我才认识到我所深入思考的大部分内容都是早已知道的东西。但是，这只是更为增加了我的兴趣，并让我努力尝试沿着他们的足迹进一步发展算术研究，第 5、第 6 和第 7章收录了这部分研究结果。过了一段时间，我开始考虑发表我的研究成果，并说服自己保留早期研究的成果，这是因为，当时还没有一本书把其他学者的工作收集在一起，它们分散在一些研究院的学术论文中；其次，很多研究的结论是全新的，且其中大多数结论还是用新方法讨论的；后，后期的结论与以前的结论之间有着千丝万缕的关联，如果不一开始重提前面的结论，后面的新结论就无法解释清楚。恰在此时，一部杰出的著作——《数论》问世，其作者是勒让德。彼时，勒让德已经在高等算术领域做出了非常大的贡献。在书中，他不仅把当时所发现的所有结果都收集在一起并加以系统整理，而且添加了许多他本人的新成果。因为当我注意到这本书时，我的作品的大部分已经交到了出版商的手中，所以我无法在我书中的类似章节参考这本书。但是我感到必须对一些篇章做些补充注释，我相信这位声名赫赫的先生能够理解，不会感到被冒犯。

四年来，《算术研究》的出版遇到了许多困难。在这一段时间里，我不仅继续过去已经开始进行的研究（当时为了避免本书篇幅过大，我决定分离出这些研究，准备在另外的地方发表），而且也从事许多新的研究。此外，许多我过去只是稍有触及而当时觉得似乎不必详细讨论的问题（例如，第 37 条，第 82 条以及其他若干条），也得到了进一步发展，并产生了一些看来是值得发表的更一般的结论。后，主要由于第 5 章的内容，本书的篇幅变得大大超出我原来的预期，使我只得削减了初打算写的不少内容，特别是删去了整个第 8 章（本书有几处提到了第 8 章，它讨论了任意次代数同余方程的一般处理）。一旦有可能，我会发表这些内容，它们的篇幅可以轻易地构成与本书篇幅相同的一本书。

在讨论几处难题时，我采用了综合性证明并省去了结果推导过程。这是为了尽可能地简洁。第 7 章讨论的是分圆理论或分正多边形理论，虽然与算术无关，但其中的原理完全基于高等算术。几何学者们也许会因为这个事实感到惊讶，但（我希望）他们会乐于看到由这种处理方法衍生出的新结论。

以上就是我要请读者注意的一些事情。本书的优劣我不好加以评判。我衷心希望本书能够取悦那些关心科学发展的人士，不论是为他们提供一直寻找的问题的解法，还是为他们开启通向新发现的途径。

卡尔·弗里德里希·高斯

在《算术研究》的序言中，高斯便已明确指明了本书的研究范围：“数学中的整数部分，不包括分数和无理数”。《算术研究》的正文则分为七章。第1章讨论数的同余；第二章讨论一次同余方程；第三章讨论幂剩余并证明了费马小定理；第四章讨论二次同余方程；第五章系统扩展了二次型的理论（这使得高斯必然地成为了群论的先驱之一）；第六章讨论了前述理论在特殊情况下的运用；第七章讨论了分圆方程，这一章也被认为是本书较为精彩的内容。

在《算术研究》的序言中，高斯便已明确指明了本书的研究范围：“数学中的整数部分，不包括分数和无理数”。《算术研究》的正文则分为七章。第1章讨论数的同余；第二章讨论一次同余方程；第三章讨论幂剩余并证明了费马小定理；第四章讨论二次同余方程；第五章系统扩展了二次型的理论（这使得高斯必然地成为了群论的先驱之一）；第六章讨论了前述理论在特殊情况下的运用；第七章讨论了分圆方程，这一章也被认为是本书较为精彩的内容。

作者简介：

卡尔·弗里德里希·高斯（1777－1855年），德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，历重要的数学家之一，有“数学王子”的天才美誉。他发现并证明了诸多数学方法和规律（如小二乘法、正态分布、二次互反律等等），并能时常优雅地加以总结。他还是一个充满热情且工作认真的完美主义者，拒绝发布自己所认为的不完整和有瑕疵的作品，因此并不多产。其著作有：《算术研究》《天体运动论》《曲面的一般研究》《高等大地测量学理论》等。

译者简介：

邵林，男，生于1984年，大连理工大学学士、安徽大学翻译硕士。翻译作品有《钢琴演奏教程》等。

导读：高斯——离群索居的王子 / 5

第 1 章 同余数概论（第 1～12 条） / 1

第 1 节 同余的数，模，剩余和非剩余（2）

第 2 节 小剩余 （4）

第 3 节 关于同余的基本定理 （5）

第 4 节 一些应用 （8）

第 2 章 一次同余方程（第 13～44 条） / 9

第 1 节 关于质数、因数等的初步定理（10）

第 2 节 解一次同余方程 （17）

第 3 节 对于给定模求与给定剩余同余的数的方法（22）

第 4 节 多元线性同余方程组 （26）

第 5 节 一些定理 （29）

第 3 章 幂剩余（第 45～93 条） / 37

第 1 节 首项为 1 的几何数列各项的剩余构成周期序列 （38）

第 2 节 对于模 p（质数），数列周期的项数是数 p-1 的因数 （40）

第 3 节 费马定理 （42）

第 4 节 有多少数对应于某个项数为 p-1 的因数的周期 ?? （44）

第 5 节 原根，基和指标  （48）

第 6 节 指标的运算 （49）

第 7 节 同余方程 xn ≡ A 的根 （51）

第 8 节 不同系统的指标间的关系 （59）

第 9 节 适合特殊目的的基数 （62）

第 10 节 求原根的方法  （63）

第 11 节 关于周期和原根的几条定理 （66）

第 12 节 威尔逊定理 （67）

第 13 节 模是质数方幂  （72）

第 14 节 模为 2 的方幂 （78）

第 4 章 二次同余方程（第 94～152 条） / 81

第 1 节 二次剩余和非剩余（82）

第 2 节 当模是质数时，小于模的剩余的个数等于非剩余的个数（84）

第 3 节 合数是不是给定质数的剩余或非剩余的问题，取决于它的因数的性质  （86）

第 4 节 合数模（88）

第 5 节 给定的数是给定质数模的剩余或非剩余的一般判别法 （94）

第 6 节 给定的数作为剩余或非剩余的质数的研究 （95）

第 7 节 剩余为 -1 （96）

第 8 节 剩余为 2 和 -2（99）

第 9 节 剩余为 3 和 -3 （103）

第 10 节 剩余为 5 和 -5 （106）

第 11 节 剩余为 7 和 -7 （109）

第 12 节 为一般性讨论做的准备（110）

第 13 节 通过归纳法发现的一般的（基本）定理及其推论（116）

第 14 节 基本定理的严格证明 （123）

第 15 节 证明条目 114 的定理的类似的方法 （130）

第 16 节 一般问题的解法（132）

第 17 节 以给定的数为其剩余或非剩余的所有质数的线性形式（135）

第 18 节 其他数学家关于这些研究的著作（140）

第 19 节 一般形式的二阶同余方程（142）

第 5 章 二次型和二次不定方程（第 153～307 条） / 143

第 1 节 型的定义和符号 （144）

第 2 节 数的表示：行列式（145）

第 3 节 数 M 由型（a，b，c）表示时所属表达式 ( b2 ac ) -（mod M）的值 （146）

第 4 节 正常等价与反常等价 （150）

第 5 节 相反的型 （152）

第 6 节 相邻的型（154）

第 7 节 型的系数的公约数 （155）

第 8 节 一个给定的型变换为另一个给定的型时所有可能的同型变换的关系  （157）

第 9 节 歧型 （164）

第 10 节 关于一个型既正常又反常地包含于另一个型的情况的定理系  （165）

第 11 节 关于由型表示数的一般性研究以及这些表示与代换的关系  （171）

第 12 节 行列式为负的型 （177）

第 13 节 特殊的应用（192）

第 14 节 具有正的非平方数的行列式的型（196）

第 15 节 行列式为平方数的型  （237）

第 16 节 包含在与之不等价的型中的型 （245）

第 17 节 行列式为 0 的型 （250）

第 18 节 所有二元二次不定方程的一般整数解 （253）

第 19 节 历史注释 （260）

第 20 节 将给定行列式的型进行分类（262）

第 21 节 类划分为层 （266）

第 22 节 层划分为族  （270）

第 23 节 型的合成（281）

第 24 节 层的合成（312）

第 25 节 族的合成 （313）

第 26 节 类的合成  （317）

第 27 节 对于给定的行列式，在同一个层的每个族中存在相同个数的类 （321）

第 28 节 不同的层中各个族所含类的个数的比较 （322）

第 29 节 歧类的个数  行列式，所有可能的特征有一半不属于任何正常原始族（338）

第 31 节 对基本定理以及与剩余为 -1， 2，-2 有关的其他定理的第 2 个证明（339）

第 32 节 对不适合任何族的那一半特征的进一步讨论 （342）

第 33 节 把质数分解为两个平方数的特殊方法 （345）

第 34 节 关于三元型讨论的题外话  （347）

第 35 节 如何求出这样一个型，由它加倍可得到给定的属于主族的二元型 （384）

第 36 节 除了在条目 263 和 264 中已经证明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都与某个族相对应 ? （386）

第 37 节 把数和二元型分解为三个平方数的理论 （388）

第 38 节 费马定理的证明：任何整数都能分解成三个三角数或者四个平方数 （398）

第 39 节 方程 ax2 by2 cz2＝0 的解  （400）

第 40 节 勒让德先生讨论基本定理的方法 （406）

第 41 节 由三元型表示零  （411）

第 42 节 二元二次不定方程的有理通解 （414）

第 43 节 族的平均个数 （415）

第 44 节 类的平均个数 （418）

第 45 节 正常原始类的特殊算法：正则和非正则行列式 （423）

第 6 章 前面讨论的若干应用（第 308～334 条） / 433

第 1 节 将分数分解成更简单的分数  （435）

第 2 节 普通分数转换为十进制数 （437）

第 3 节 通过排除法求解同余方程 （444）

第 4 节 用排除法解不定方程 mx2 ny2＝A （448）

第 5 节 当 A 是负数时，解同余方程 x2≡A 的另一种方法 ? （455）

第 6 节 将合数同质数区分开来并确定它们的因数的两种方法 （459）

第 7 章 分圆方程（第 335～366 条） / 469

第 1 节 讨论把圆分成质数份的简单情况 （471）

第 2 节 关于圆弧 （472）

第 3 节 方程 xn-1＝0 的根的理论（假定 n 是质数）  （476）

第 4 节 以下讨论的目的之声明（478）

第 5 节 Ω 中所有的根可以分为某些类（周期）（480）

第 6 节 关于这些周期的各种定理 （482）

第 7 节 由前面的讨论解方程 X＝0  （494）

第 8 节 以 n＝19 为例，运算可以简化为求解两个三次方程和一个二次方程  （497）

第 9 节 以 n＝17 为例，运算可以简化为求解四个二次方程（501）

第 10 节 关于根的周期的进一步讨论——有偶数个项的和是实数  （506）

第 11 节 关于根的周期的进一步讨论——把 Ω 中的根分成两个周期的方程  （507）

第 12 节 证明第 4 章中提到的一个定理 （510）

第 13 节 把 Ω 中的根分成三个周期的方程 （512）

第 14 节 把求 Ω 中根的方程化为简方程 （517）

第 15 节 以上研究在三角函数中的应用  （522）

第 16 节 以上研究在三角函数中的应用（524）

第 17 节 以上研究在三角函数中的应用 （527）

第 18 节 以上研究在三角函数中的应用（532）

附注 （535）

附表 （537）

在《算术研究》的序言中，高斯便已明确指明了本书的研究范围：“数学中的整数部分，不包括分数和无理数”。《算术研究》的正文则分为七章。第1章讨论数的同余；第二章讨论一次同余方程；第三章讨论幂剩余并证明了费马小定理；第四章讨论二次同余方程；第五章系统扩展了二次型的理论（这使得高斯必然地成为了群论的先驱之一）；第六章讨论了前述理论在特殊情况下的运用；第七章讨论了分圆方程，这一章也被认为是本书较为精彩的内容。

作者简介：

卡尔·弗里德里希·高斯（1777－1855年），德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，历重要的数学家之一，有“数学王子”的天才美誉。他发现并证明了诸多数学方法和规律（如小二乘法、正态分布、二次互反律等等），并能时常优雅地加以总结。他还是一个充满热情且工作认真的完美主义者，拒绝发布自己所认为的不完整和有瑕疵的作品，因此并不多产。其著作有：《算术研究》《天体运动论》《曲面的一般研究》《高等大地测量学理论》等。

译者简介：

邵林，男，生于1984年，大连理工大学学士、安徽大学翻译硕士。翻译作品有《钢琴演奏教程》等。

高斯说：“数学是科学的女皇，数论则是数学的女皇。”如果这就是真理，那我们将补充说：“《算术研究》则是数论的宪章。”  

——莫里茨·康托

《算术研究》已使你成为一流数学家，特别是Zui  后一章，它包含了Zui美的分析和发现。              

 ——约瑟夫·拉格朗日