数学方法论方法论

这是一套由4卷组成的、重新出版的文集，文集采用了一个较简短的统一书名——徐利治数学科学选讲。详名是“数学科学与哲学及其相关专题选讲”。

“人处盛世，老不言老。”但我还是乐意表白：在我现今97岁高龄时，精神尚未觉老；得知大连理工大学出版社将再版我在2008年前后出版的4部著作，我很是高兴并感谢。写此序言希望能起到一点导读作用。

原来4部著作分别是《徐利治谈数学方法论》《徐利治谈数学哲学》《徐利治谈治学方法与数学教育》以及《论无限——无限的数学与哲学》。前3部都是文集，包括一部分是往年和富有才识的年轻作者（还有当年的弟子）合作发表的文章。许多篇文章中表述了我们自己的研究心得、观点和见解，也提出了一些尚未解决的问题。特别是在《论无限——无限的数学与哲学》一书中，更有一些值得继续深思和研究的疑难问题。

考虑到书中的某些问题并无时间性限制，对它们的继续探讨和研究，会对数学方法论与数理哲学的发展起促进作用，也会对数学教育与教学法的革新有启示作用，所以在我有生之年有机会再版上述著作，真是深感庆幸和欣慰。

再版的4卷书中，对原著增加了6篇文献，且对原来的文章顺序安排做了局部调整。但原著前3卷内容仍保持原貌，对第4卷4.10节与5.4节中的几处做了修正和改述。

卷1论述数学方法论。值得一提的是，“数学方法论”（methodology of mathematics）这一学科分支名称及其含义，*早出现于我在20世纪80年代初出版的两本专著中。从此国内数学教育界开展方法论研究的人士与年俱增。2000年起国际大型数学信息刊物 Math.Reviews（《数学评论》）已开始将“数学方法论”条目编入数学主题（科目）分类表中（分类号为OOA35）。这表明国际上已确认这一起源于中国的新兴分支科目了。

美国已故的数学方法论大师乔治·波利亚（G.Pólya）提出的“似真推理法”，无疑是对数学解题和数学研究都极为有用的思想方法。我们对方法论做出了两项贡献，一是“关系—映射—反演方法（简称RMI方法）”，二是“数学抽象度分析法”。国内已有多项著作揭示了这两项方法论成果在数学教育与教学方法方面的应用。

凡是利用n次RMI程序可求解的问题，即称该问题的复杂度为n，而求解程序为（RMI）n，n为程序阶数。显然这些概念刻画了问题与解法的难易程度与技艺水平，所以对某些类数学教材内容与教法的设计安排都有启示作用。数学抽象度分析法中，有一个极有用的概念，称为“三元指标”，可用以刻画数学概念、命题、定理及法则的“基本性、深刻性与重要性”程度。我们希望对此感兴趣的读者，特别是重视数学概念教学的教师们能做出更多深入而有助于教改的研究。

卷2、卷3中的多篇文章，估计哲学爱好者更感兴趣，关注数学思想发展史的教师们也会有兴趣。可以看出，有些文章明显地体现了“科学反映论”观点，相信对协助读者们（尤其是年轻学子们）如何较客观地、公正地分析评论历史上诸数学流派的观点分歧根源与争论实质是有帮助的。特别希望某些文章对读者中的年轻教学工作者及早形成科学的“数学观”能起促进作用。

卷4论无限：这其中的有些基本问题，特别是连续统的双相结构问题，曾使作者从年轻时代一直思考到老年。30岁前后曾花费不少时间去思考Cantor的“连续统假设”论证难题。经过多次无效的努力之后，才初步觉醒，在直观上意识到并开始确信：由特定形式的延伸原则与穷竭原则（概括原则）确定的超穷基数序列中的Aleph数（如 Aleph-1），要求同算术连续统（又名点积性连续统）的基数等价对应起来，是找不到逻辑演绎依据的。事实上，几经考察和试算，发现“连续统基数”无法被表述成前述相似形式的由延伸到穷竭的过程。这样，我们便由“超穷过程论”观点猜想到Cantor连续统假设在“素朴集合论”框架内的“不可确定性”。后来，到了20世纪60年代，我们很高兴地得知美国青年数学家P.Cohen在“公理化集合论”框架内，创用“力迫法”（forcing method）成功地（通过建模法）证明了连续统假设的不确定性。这符合我们的一种直觉信念。当然，Cohen解决的问题已不是Cantor集合论中的原来问题。

在卷4中我们还给出了非标准分析（NSA）方法的两个应用，一是构造出一个非Cantor型自然数模型，可用以精细地解释恩格斯（F.Engels）关于“无限性悖论”的论述内容及意义；二是构造出一个“广义的互反公式”，它既包括了离散数学中的Mbius反演公式及其扩充，又包括了分析数学中的Newton-Leibniz微积分基本定理，作为其直接推论。但如何把NSA方法改造成数学教育中易学好用的工具问题，迄今尚未很好解决。

我们相信，数学基础问题研究者中的直觉主义学派，关于连续统本质问题的观点是很有道理的。由相异实数（坐标点）构成的Cantor-Dedekind连续统（即“点组成连续统”）是舍弃了“连续性”本质，只保留了“点积性”特征的单相性概念抽象物，才会出现Zeno关于运动的悖论，以及点集论中的Banach-Tarski分球悖论等怪论。直觉主义派早就认识到“点组成连续统”并非真正连续统，因为一切相异实数点是互不接触的。

事实上，Hegel在分析Zeno悖论时，早就指出连续统是“连续性”与“点积性”两个基本特征的“对立统一体”。（注意，时间连续统与运动连续统都是连续统概念的原型。）所以，只抓住一个特征（例如，“点积性”）而认为它是连续统的“*本质”，这就是产生悖论的根源。由于一义性的“概念”（例如，数学概念或具有逻辑推导性的理念）不可能表述具有双相性结构的连续统，所以Hegel早就认识到连续统是一种“存在”（being）而非一种“概念”。这就是为什么现代数理逻辑家都认为“连续统是什么”还是个逻辑上尚未解决的问题。这也就是加拿大数学家塔西奇（V.Tasic）在他2001年出版的《后现代思想的数学根源》（蔡仲，戴建平，译.复旦大学出版社，2005）的著作中，为什么要把“连续统”说成是后现代思想中的“隐蔽主题”。有趣的是，他还引述了法国现代哲学家德里达（J.Derrida）为了想表述连续统的“双相性”，甚至发明了一个新的单词“延异”（differance）。可惜塔西奇的长篇大论中未能注意到Hegel早在19世纪就已做出了对连续统双相性结构本质的深刻分析，他的书中一字未提Hegel。

正是因为受到了Hegel关于悖论的哲学分析、Poincaré内束思想，以及Robinson单子模型结构等思想的启发，才使我们提出建立“Poincaré连续统”的设想。为此我们做出了两个描述性的结构模型。按照某种形式推理，揭示出标准实数点集与*R中的单子集合都不能产生直线连续统的测度（真正长度）。线测度必须通过“单子间距”（做成Poincaré内束成分）的积累而产生，由此我们发现了比Robinson单子（无限小）大得多的“Poincaré线量子”（半无限小）的概念。还由此得出了一个合理的猜想：应该可以充分利用Poincaré线量子概念来构造一种平行于Robinson的非标准微积分。

由于Poincaré连续统加入了“内束结构”（用到“单子距”概念），因而与单相性的“点积性连续统”概念相区别，所以才能真正体现出直线连续统的长度概念。自然，这更切近物质世界的客观真理。但要由此构建出一套符合模型论条件的数学模式并使之成为易于操作的数学工具，还须做进一步的分析研究，特别需要精心挑选正确而合用的数学新公理。

这4卷文集中，题材内容述及一系列近现代的数学思想、哲学观点以及数学建模等问题，希望感兴趣的读者和乐于从事研究者，能由此做出更深入的研究、发展，并取得有意义的美好成果。

徐利治老师是国际上公认的数学方法论的奠基人之一，本书精选了他18篇关于数学方法论的论文与报告，从不同侧面介绍了这一理念的核心思想与精华。徐老师对数学史的旁征博引使每一篇文章都具备高度的可读性，文字流畅通达，高屋建瓴，深入浅出。

数学方法论是一门主要研究和讨论数学发展规律、数学的思想方法，以及数学中的发现、发明与创新等法则的学科。学习数学方法论是为了正确地认识数学，有效地运用数学，以及更好地发展数学。数学不但是研究一切科学的强有力工具，而且是深刻影响着人类文化素养的关键学科，所以数学方法论居于一个特别重要的位置。