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作者徐琛梅,王秀琴
出版社科学出版社
ISBN9787030725165
出版时间2021-05
装帧平装
开本16开
定价39元
货号11684884
上书时间2024-06-29
第1章 矩阵
数学家西尔维斯特
西尔维斯特(Sylvester,1814~1897)是英国著名数学家,生于伦敦,曾就读于剑桥大学圣约翰学院,1841年在都柏林大学三一学院取得硕士学位,1846年进入内殿法学协会,1850年取得律师资格,1876年任美国约翰 霍普金斯大学数学教授,1883年返回英国,任牛津大学几何学教授.
西尔维斯特的主要贡献在代数学方面.他同凯莱一起,发展了行列式理论,共同奠定了关于代数不变量的理论基础;在数论方面做出了突出的贡献,特别是在整数分拆和丢番图分析方面;创造了许多数学名词,如不变量、不变因子和初等因子等.西尔维斯特是《美国数学杂志》的创始人,为发展美国的数学研究做出了贡献.1901年,英国为纪念西尔维斯特设立西尔维斯特奖章,用于奖励数学上取得成就的研究者.
“矩阵”一词是数学家西尔维斯特于1850年首先使用的.
基本概念
矩阵、特殊矩阵、分块矩阵.
基本运算
矩阵的加法和减法、数乘、乘法、转置.
基本要求
熟悉矩阵的基本概念和几类常用的特殊矩阵;掌握矩阵运算和运算规律;熟悉分块矩阵的概念及分块矩阵的运算等.
矩阵是数学中一个重要的基本概念,也是代数学的主要研究对象之一.在自然科学、社会科学、经济管理等领域中,矩阵是被广泛应用的数学工具,也是贯穿本书的重要概念.本章主要介绍矩阵的概念、运算和分块矩阵等内容.
1.1 矩阵的概念
在实际问题中,人们经常会遇到各种各样的数字表格,它们所代表的实际意义千差万别,但是它们在形式和性质方面却有着某些共同点.本节从实际问题中的表格引入矩阵的概念,然后介绍几种常见的特殊矩阵等.
1.1.1 几个产生矩阵概念的实例
实例1.1某学校的校友为感恩母校的培养,其中第A1,A2,A3届校友分别于B1,B2,B3,B4年向母校捐赠建设校园基金,捐赠数量用“建设校园基金表”表示,见表1.1.
表1.1 建设校园基金表(单位:万元)
其中表示第Ai届校友于Bj年向母校捐赠建设校园基金的数量.
实例1.2 5支球队Ai(i=1,2,3,4,5)的循环比赛问题,他们的比赛结果用表格形式表示,见表1.2.
表1.2 5支球队的比赛结果表
表1.2中第i行(横排称为行)、第j列(纵排称为列)的数表示第i支球队Ai赢第j支球队Aj的分数.
实例1.1和实例1.2都用表格的形式给出所需要的信息.这些表格有一个共同特点:表格中的数字排列有序,且不能随意交换表格中数字的位置.人们关心的是这些数字以及它们之间的顺序关系,或者更深层的含义.从这些表格中抽象出排列有序的简化矩形数表,以便用数学方法进行深入研究,从而产生了矩阵的概念.
1.1.2 矩阵的定义
定义1.1由m×n个数aij(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n)按一定的次序排成m行n列的数表称为m行n列矩阵,简称m×n矩阵,记作,或.
矩阵中的m×n个数称为矩阵的元素,第i行与第j列交叉处的元素aij称为矩阵的(i,j)元.i称为元素aij的行标,j称为元素aij的列标.
通常用大写英文字母等表示矩阵.以aij为(i,j)(i=1,2, ,m;j=1,2, ,n)元的矩阵记作A或(aij).当需要说明矩阵的行数m和列数n时,可以用符号或表示.
元素全是实数的矩阵称为实矩阵,否则称为复矩阵.除特别说明外,本书介绍的矩阵都是实矩阵.实际上,在没有特别说明的情况下,本书所涉及的内容都是实数问题.
例如,表1.1用矩阵表示为,其中表示第Ai届校友于Bj年向母校捐赠建设校园基金的数量.
例如,四个城市间的空运航线如图1.1所示,用单箭头表示有一条单向航线,否则表示没有单向航线.图1.1的信息也可以用矩阵表示.
图1.1 四个城市间的单向航线信息
设aij表示第i个城市到第j个城市的直达单向航线信息,即有一条单向航线用1表示,没有单向航线用0表示,则图1.1用矩阵表示为.
第i个城市到第j个城市只经过1次中转(即坐两次飞机)方能到达的信息也可以用矩阵表示为,其中bij表示第i个城市到第j个城市只经过1次中转(即坐两次飞机)方能到达的信息,即有一条单向航线用1表示,没有单向航线用0表示,有两条单向航线用2表示.
例如,设矩阵,其中,则.
如果两个矩阵的行数和列数都分别相等,称它们是同型矩阵.
定义1.2如果矩阵与是同型矩阵,并且对应位置上的元素相等,即aij=bij,称矩阵A与B相等,记作
例如,设矩阵,
则a=2,b=0,c=1.
1.1.3 几类常用的特殊矩阵
只有1行的矩阵称为行矩阵或n维行向量.为避免行矩阵的元素之间混淆,行矩阵可以写为.
只有1列的矩阵称为列矩阵或m维列向量.
行数m和列数n相等的矩阵称为n阶方阵或n阶矩阵.
规定1阶方阵.显然,中学阶段所研究的数字是矩阵的特殊情况.
在n阶方阵中,从左上角至右下角的元素构成的对角线称为该方阵的主对角线.从右上角至左下角的元素构成的对角线称为该方阵的副对角线.
主对角线以下或以上的元素全为零的n阶方阵,
分别称为n阶上三角矩阵或n阶下三角矩阵.
上述矩阵可以简写为,
例如,矩阵, 分别是4阶上三角矩阵和4阶下三角矩阵.
主对角线以外的元素全为零的n阶方阵称为n阶对角矩阵.
上述对角矩阵可以简写为,或.
主对角线上的元素都是1的n阶对角矩阵称为n阶单位矩阵,记作E或I.
上述n阶单位矩阵可以简写为.
每个元素都是零的矩阵称为零矩阵.本书中用大写英文字母O表示零矩阵.
根据定义1.2,不同型的单位矩阵不相等;不同型的零矩阵也不相等.
在矩阵的运算中,单位矩阵和零矩阵具有特殊的作用.
矩阵中元素全为零的行,称为矩阵的零行;元素不全为零的行,称为矩阵的非零行.矩阵的非零行的第一个非零元素(从左至右第一个不为零的元素)称为主元素.
如果矩阵的零行(若存在零行的话)都位于非零行下方,每一个非零行的主元素(即非零行的第一个非零元素)所在列以下的元素皆为零,并且每个主元素所在列位于前一行(若存在前一行的话)的主元素所在列的右侧,这样的矩阵称为行阶梯形矩阵.
例如,矩阵,都是行阶梯形矩阵.
如果行阶梯形矩阵的每一个非零行的主元素都是1,并且1所在列的其余元
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