数论：概念和问题

译者序

数学竞赛中包含了大量的初等题目，它们需要很强的技巧才能解决。这些技 巧显著高于普通的中小学数学知识，又和大学数学有明显区别。初步看去这些技 巧像是一些解题定式，深入则发现其更注重敏锐地观察和巧妙地思考。大多数学 生和家长以为通过大量刷题可以获得这些解题经验和技巧，但实际上经验和技巧 都来源于个人的思考和总结。思维就像一张网，从海量的知识和论述中发现巧妙 的思路和有力的方法。

从本人的学习过程来看，刷题时经常自问自答的一个问题就是“这种解法 的关键步骤是什么从一开始的无意识问到后来的习惯性问，这样做的结果是 每道题目终只记住了一点点的东西。相当于对解答的过程做了高度的概括和 标记，也有助于对一类题目的普遍解题方法做归纳总结。因为刷题时主要目的 还是学到新的技巧和思路，题目的选择也要考虑。个人认为，做自己可以完成 50% - 90%的题目比较合适，这样有大概的思路，可以过滤掉题目中比较简单平 凡的步骤，进而发现题目的难点。如果终未解决题目，对比题目难点的处理办 法，可以找到自己未掌握的部分，经常就是解答的关键步骤或者包含新的技巧。

对于某些非常巧妙的题目解答，仅仅发现关键步骤还不能满足学习目的。这 时经常问“是怎么想到用这样的方法”。代入解题情境，体会方法使用时题目的 状态和特性，将合适的特点与解题方法关联思考，就容易获得正确的经验，熟练 了就成为可变化处理问题的技巧。

一本好的竞赛知识书主要在于将有类似技巧的题目循序渐进地安排在一起 （相对来说，竞赛题目书只要题目列表、解答正确即可）。蒂图（Titu）曾是美 国IMO代表队主教练，有丰富的训练经验和资料，又编写过多本数学竞赛的书 籍。他的这本《数论：概念和问题》就是一本精品竞赛知识书，有许多独特之 处。首先，章节的设计和其他数论图书大有不同，例如将模素数的同余式和模合 数的同余式作为标题形成两章来讲解。这本书所提倡的是从同余方程角度思考数 学竞赛中的数论问题。一般首先考虑模素数的问题，然后是模素数幕的问题， 后是（经常用中国剩余定理）解决模合数的问题。

这本书的深度相当于大学本科的初等数论教材，习题普遍是非平凡的需要思 考和解题技巧的竞赛题目。书中所提到的定理都是在解决竞赛题目中真正有用 的，覆盖面很广泛。这本书的知识和技巧足够解决IMO和预选题难度的题目。因 为这本书的题目非常精彩，有些题目解答译者按作者主要思路，给出了自己的论 述。

在书写排版方面，这本书基本没有公式编号，也从不引用另外题目的公式。 如果需要，则引用定理或命题的结论，偶尔才会引用某定理证明中的方法（一般 这种方法就是难于命名的一种处理技巧）。每节的内容安排基本上是理论结果在 前面，跟着一些具体题目上的应用。主要定理在逻辑关联性的方面安排较好，严 谨性方面相当于大学教材。有趣的是，作者在上下文穿插语言中，基本上都说下 一个定理或结果很“重要、有用、关键"，等等。本着中文表达的谦虚性质，没 有将这些词完全翻译。可能是由于英文数学论述的特点，或者作者有意为之，很 多时候一句断言，作者会把结果写在前半句，原因写在后半句，请读者碰到时注 意。这也许是一个好的做法，读者看到结果会不自觉地产生疑问，然后看到原因 时恍然大悟，一定程度刺激了读者的思考。每道题目的解答作者经常使用分析 法，从结论倒推，得到需要证明的步骤，然后再证明之。还有的时候，作者先声 明某个结果，然后给出声明蕴含题目结果的论述，后证明所声明的部分。

数论解题的三板斧（为部分竞赛选手认同）是：取模、不等式和因式分解。 旧类型的不定方程基本可以这样搞定。读过这本书，又可以看到两种新的方法: 考察素因子类型和考察素因子矗次。希望读者可以从解法的字里行间或者题目之 间的联系中总结出更多的方法和技巧。

学无止境，吾辈皆需努力。

罗炜

2019年10月写于杭州

本书是美国著名数学竞赛专家Titu Andreescu教授及其团队编写的数学竞赛 数论知识教材.

书中涵盖了整除、公约数、算术基本定理、数论函数、同余方程、模p多项 式、二次剩余、p进赋值等主题.通过精彩的例题重点展现了带余除法、裴蜀定理、 高斯弓I理、同余计算、积性函数、费马小定理、强三角不等式、二次互反律、素数估 计、局部一整体原则的应用.课后共有二百多道习题供练习.

本书适合热爱数学的广大教师和学生使用，特别是从事数学竞赛相关事业的 人员参考使用.