矩阵基本理论与应用

矩阵理论是一门理论上高度抽象、又极具应用价值的数学基础课程。 它不仅是数学的一个重要分支,而且已成为现代各种科学技术领域,如自 动化与人工智能、计算机科学、力学与机械工程、管理科学与工程等处理大量有限维空间形式与数量关系的基础工具。因此,学习和掌握矩阵的基本理论和方法,对工科研究生是必不可少的。

本书的主要内容作为北京航空航天大学工科研究生的基础理论核心课程“矩阵理论”已讲授多年。该课程在讲授过程中,无论授课对象如何, 课程设置和讲授内容基本保持不变,因此具有极强的“鲁棒性”。编者于2017年起独立承担自动化科学与电气工程学院的“矩阵理论”课程的教学,经过六轮次的课程探索与实践,对课程内容作了精心安排,并加入了诸多面向信息类专业的应用案例,深受广大学生喜爱。在编写本书的过程中,编者力求使其内容既具有一定的理论体系和理论深度,又注重深入浅出、简洁易懂,对大量较为抽象的概念赋予简明的几何意义或具体实例,帮助学生理解并掌握矩阵相关的基本概念、理论和方法,实现培养学生的数学思想与思维、应用与创新能力的目的。

 本书共分5章,比较全面、系统地介绍了矩阵的基本理论、方法和典应用。第1章线性代数引论是本书的基础理论,主要介绍线性空间与内积空间。第2章线性映射与矩阵是本书的理论核心,阐释了矩阵是有限维线性空间的线性变换的一种表达形式,并赋予矩阵以几何直观,使得在线性代数课程中难以理解的诸多疑问,如相似矩阵具有相同的特征值、矩阵乘法往往不可以交换等豁然开朗。第3章矩阵分解是应用广的矩阵理论和方法,主要介绍广泛应用的满秩分解、三角分

解、QR 分解、Schur 分解、谱分解和奇异值分解;此外,还介绍了相抵分解、对角化分解和Jor- dan分解问题,这些内容是矩阵理论研究、矩阵计算及应用不少的工具和方法。第4章矩阵分析是矩阵理论对数学分析课程的推广,介绍了范数理论、矩阵级数理论、矩阵函数与函数矩阵,这些内容已广泛应用于诸多理论分析和工程问题。第5章广义逆矩阵是矩阵理论中比较现代的部分,主要介绍常见的4种广义逆矩阵及其在线性方程组中的应用,并分析了正交投影矩阵与广义逆矩阵之间的联系。

特别地,每章都单独用一节来展开矩阵理论研究与应用。比如,第1章阵论了多项式插值与多项式空间的基之间的关系;第2章研究了图的矩表示问题;第3章将诸多应用如线性方程组与线性常微分方程组求解、 矩阵特征值与逆矩阵的计算、正交投影与图像压缩等融入各种矩阵分解 中;第4章研究了主元分析法对数据降维的基本原理;第5章讨论了广义 逆矩阵在区间线性规划中的应用问题。这些内容具有较强的针对性和应用性,为进一步理解矩阵的基本理论与方法,开展研究和解决工程问题提 供了重要案例。

在本书编写过程中,考虑到授课的实际情况,将诸如投影与逼近、Hermite矩阵、矩阵的 Kronecker积、线性矩阵方程等问题以片段或应用的形式分散在一些章节中,希望读者在阅读过程中注意总结。

编者特别感谢北京航空航天大学数学科学学院杨小远教授和王永革 副教授、自动化科学与电气工程学院林岩教授和秦世引教授、兰州大学数学与统计学院孙春友教授、中国科学院数学与系统科学学院李婵颖研究员,他们给予编者很大的鼓励和支持,并仔细审阅了全部书稿,提出了很 多宝贵意见和建议。 编者感谢北京化工大学经济管理学院张强副教授、北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院铁林副教授和刘克新副教授,他们仔细审阅了全部书稿,并提出了很多有益的建议。感谢王宏伟、张书源、高燕姗、秦鸿宇、丁祥涛、梁锦威、田挚昆、段安娜等研究生协助编辑和校对书稿。

由于编者水平有限,书中难免存在谬误与不当之处,敬请批评、指正。 来信请寄:北京市海淀区学院路37号 北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院王磊。邮编:100191;电子邮箱:lwang@buaa.edu.cn。

编 者

2020年6月

本书共分五章,较全面系统地介绍了矩阵的基本理论、方法和典型应用。第1、2章是线性代 数的基础理论,主要介绍线性空间与内积空间、线性映射与线性变换、矩阵与特征值等基本概念和性质。第3章矩阵分解,主要介绍九种典型的矩阵分解,这些内容是矩阵理论研究、计算及其应用中不可缺少的工具和手段。第4章矩阵分析,介绍了向量范数与矩阵范数、矩阵幂级数、矩阵函数及其应用等。第5章广义逆矩阵,介绍常用的四种广义逆及其在解线性方程组等方面的应用。

本书为北京航空航天大学电子信息类学术博士研究生的通用教材,也可作为电子信息类学术硕士和工程硕士的教材

王磊 教授，博士生导师，ISA Transactions 副主编，主要研究方向为复杂网络集群分析与控制研究，网络系统分布式控制与优化研究， 城市公共交通系统实证、建模与控制研究和网络信息传播与可靠性研究等。主讲非线性控制理论、自动控制原理B、矩阵理论课程。

第1章 线性代数引论 1

1.1 线性空间  1

1.2 线性子空间  5

1.3 基与坐标  9

1.4 内积空间  15

1.5 直和与投影 23

1.6 应用:多项式插值  31

本章习题 34 

第2章 线性映射与矩阵 38

2.1 预备知识  38

2.2 线性映射  40

2.3 矩阵与同构 46

2.4 特征值与特征向量  55

2.5 酉变换与酉矩阵  62

2.6 应用:图的矩阵表示 67

本章习题 71

第3章 矩阵分解 74

3.1 相抵分解  74

3.2 满秩分解  76

3.3 三角分解  79

3.4 QR分解   87

3.5 Schur分解  91

3.6 对角化分解 96

3.7 谱分解   104

3.8 Jordan分解  114

3.9 奇异值分解  126

本章习题 135

第4章 矩阵分析 140

4.1 向量范数 140

4.2 矩阵范数  147

4.3 相容范数  150

4.4 矩阵扰动分析 156

4.5 特征值估计  160

4.6 矩阵级数  167

4.7 矩阵函数 175

4.8 函数矩阵  189

4.9 应用:主元分析法  197

本章习题 200

第5章 广义逆矩阵 203

5.1 基本概念  203

5.2 矩阵方程AXB=D 204

5.3 减号逆   212

5.4 极小范数广义逆   216

5.5 小二乘广义逆  220

5.6 加号逆  223

5.7 应用:区间线性规划  228

本章习题   230

参考文献 233

汉英名称索引  235

本书共分五章,较全面系统地介绍了矩阵的基本理论、方法和典型应用。第1、2章是线性代 数的基础理论,主要介绍线性空间与内积空间、线性映射与线性变换、矩阵与特征值等基本概念和性质。第3章矩阵分解,主要介绍九种典型的矩阵分解,这些内容是矩阵理论研究、计算及其应用中不可缺少的工具和手段。第4章矩阵分析,介绍了向量范数与矩阵范数、矩阵幂级数、矩阵函数及其应用等。第5章广义逆矩阵,介绍常用的四种广义逆及其在解线性方程组等方面的应用。

本书为北京航空航天大学电子信息类学术博士研究生的通用教材,也可作为电子信息类学术硕士和工程硕士的教材

王磊 教授，博士生导师，ISA Transactions 副主编，主要研究方向为复杂网络集群分析与控制研究，网络系统分布式控制与优化研究， 城市公共交通系统实证、建模与控制研究和网络信息传播与可靠性研究等。主讲非线性控制理论、自动控制原理B、矩阵理论课程。