算术探索

在美国加利福尼亚利佛摩尔市消防队第六分局的一只4瓦的小灯泡自1901年起点亮之后，迄今已连续使用了110年，并且依然在正常发光，在长达110年中，它只因为搬家熄灭过22分钟.
高斯的这本《算术探索》自从1801年出版后，迄今已经210年了，它从未离开过数论学者和广大“斯丝”(高斯的粉丝)的视线，它指引着众多数论名家从一个高峰奔向另一个高峰.本书的出版终于结束了这本数论圣经没有中文版的历史.
罗兰?斯特龙伯格教授(Roland N.Stromberg)在其颇具影响的著作《西方现代思想史》的导论中句就引用了伏尔泰的话：“了解前人是如何思想的，比了解他们如何做的更重要.”
高斯受人称颂的是他的书和论文件件是精品.可谓字字珠玑，篇篇锦绣，但他广受后来数学跟随者诟病的也是这一点.它太完美了，以至完全看不出它是如何想出来的.“它像一只狡猾的狐狸用尾巴扫去了雪地上的痕迹让猎人无法追踪.”当然高斯自己的解释是为了追求完美，在拆除了脚手架后才将建筑示人.由于本书是高斯早写就的成名作，所以细细研读从中我们还是可以寻到一丝高斯天才想法的蛛丝马迹.
任何历史学家在阅读史料的过程中都是有选择的，著名历史学家萧公权先生所倡导的“以学心读，以平心取，以公心述”并不是一个容易达到的境界.
这本书历经200余年其叙述风格及格式已与今天有较大的差距.所以要想用它当做课本学习数论并不是有效率的，但是把它当做经典进行细细研读或是把它当成史料去品味，则既可以领略大师的思考艺术又可以管窥几百年数论研究热点及风格的演变.如果你足够聪明再加上运气好的话还可以发现一点高斯遗漏的珍珠.
1949年，为庆祝爱因斯坦七十大寿，《在世哲学家文库》准备出一本专辑《阿尔伯特?爱因斯坦：哲学家——科学家》.主编希欧普(P.A.Schilpp)邀请哥德尔也写一篇文章.哥德尔突发奇想，决定要为专辑写一篇关于广义相对论的论文，于是重操物理旧业，开始认真研究广义相对论.让人不得不服气的是，他居然发现了爱因斯坦方程的一个不为人知的新解——这个解对应于一个“没有时间的世界”.当然如果你不能有所创造，单是欣赏数学之美也应该家藏一编的.
杜威1934年曾经写过一本《艺术作为一种体验》，他认为，艺术不是作为一种人造物而存在，相反艺术存在于人们的参与中，“艺术产品——庙宇、绘画、雕塑、诗歌——不是艺术作品.当一个人与该产品产生协作，结果他因为产品的开放性和有序的特性而获得某种欣赏体验，这时艺术作品才算发生了.”这种纯粹的审美体验也可以移植到今天我们对数学美的认识上；数学之美不是作为一种人造物而存在，数学之美存在于人们的参与中，爱读才会赢.高斯的这本书历代数论学者都奉为经典一读再读.以与高斯同时代的人为例.
如迪利克雷，他曾深入钻研《算术探索》，正是由于他对《算术探索》的详细注疏，此书才得以逐渐为广大数学家理解.在庆祝高斯博士论文发表50周年大会上高斯正要拿《算术探索》的一张手稿点烟斗时，迪利克雷手疾眼快，赶紧抢了下来，并终生珍藏.他旅行时带着，睡觉时放到枕下，上床之前，总要读几段，希望醒来后重读时能完全明白.
如贝塞尔，当高斯送给贝塞尔一本《算术探索》时，贝塞尔非常用功地研读此书，以致书都散了架，还得重新装订.
如热尔曼，她是在深入钻研了《算术探索》之后，化名勒布朗与高斯通信，并在费马猜想中取得了一项有意义的成果.
如艾森斯坦，由于出版商的破产，他从来未能拥有一本，所以不得不从头到尾抄录了全书.
这本书的读者群应该是大学师生，因为他们是生产数学和消费数学的群体.
北京大学校长周其凤（其作词的《化学是你.化学是我》近日走红网络）在谈到关于如何在大学阶段做学问，做研究时引用了蔡元培先生当年提出的“闳约深美”的境界.这四个字用在研究数论，效仿高斯，攻读《算术探索》是再合适不过了.
1914至1919年在哥廷根讲授19世纪数学发展的FleixKlein在其讲座中曾这样评价高斯：如果我们现在询问这个人不同寻常和独一无二的品质，回答一定是：在每一个所从事的领域内所取得的伟大的个人成就与宽广的多才多艺的结合；在数学上的创造性，追寻数学发展的力度和对其实际应用的敏感的完美结合，这包括精确无误的观察和测量；后是对这种伟大的自我创造财富的精炼的表达.有人说：感情太滥我们发明了浅交往.资讯太滥我们发明了浅阅读.在信息泛滥的时代我们确实很难找到让我们全身心投入具有权威的人物及作品.这时我们可以负责任地告诉广大读者：高斯《算术探索》值得拥有.因为古往今来的数学家仅有两个人的天赋可以与他相比.Archimedes和Newton，而高斯活得更久，从而取得更加充分的个人成就.Archimedes代表了古代的科学成就，Newton是高等数学的创立者，而Gauss则代表了数学上一个新时代的来临.
美国新泽西州的一位物理学家众议员拉什?霍尔特在近的《科学》杂志上发表署名社论强调：“科学是国家对未来明智的投资.”今天，这个观点比过去任何时候都更为重要.

其实在高斯的传记中我们发现一个真正的数学家是不可能贫困的，据G.M.Rassias撰文介绍：可能是由于保险统计工作的刺激，高斯养成了从报刊、书籍和日常的观察中收集各种统计数据的习惯.毫无疑问，这些数据帮助他获得相当于年薪200倍的金融投机.如他的父亲对他的称呼，这位“星空的凝观者”取得了令他的那些“只讲实用”的亲戚们难以置信的经济状况.
虽然高斯在当时可以算上巨富，但对今天中国社会颇有教育意义的是：奢侈从来没有吸引过这位数学王子，他的一生从20岁开始就真挚地贡献给了科学，正如他的朋友Sartoriusvonwaltershausen写道“从青年到老年，高斯都是一个真实而简单的人，一间小书房，一张铺着绿色台布的工作台，一张白色的写字桌，一个窄沙发，70岁以后又添了一把手扶椅和一架带灯罩的台灯，一张床，简单的食物，一件长外衣，一顶天鹅绒便帽.这些东西是他一生的需求.”而高斯却拥有约6千册的藏书(这在大规模工业化印刷时代之前是相当巨大的).包括希腊文、拉丁文、英文、法文、俄文、丹麦文，当然还有德文的书籍.
中国数学家今天可能不太需要再钻读高斯的《算术探索》了，但高斯淡泊明志，宁静致远的精神境界我们太需要学习了.
高斯在西方已不仅是作为著名数学家而被圈内人知晓，其人其事是作为类似公众人物一样在大众中广泛流传.
巴黎第六大学博士，曾获法国政府颁发的“法兰西教育骑士荣誉勋章”，希腊雅典学院数学教授特福科洛斯?米哈伊里迪斯有一本小说被译成中文叫做《毕达哥拉斯谜案》(姚人杰，译，新星出版社，2010年)，这本小说非常成功，哈佛大学数学教授巴里?梅休尔评价：是一起不可思议的谋杀谜案，令人想起20世纪初那场数学界、艺术界和社会形态发生的巨变.核心故事是一宗构思精妙的知识冲动犯罪，古老传说的现代演绎.牛津大学数学教授马库斯?杜?桑托伊评价其：作者聪明地将许多和数学有关的趣味故事编织进小说里，他对20世纪初的巴黎与希腊生活的描写更是令人神往.在这本以数学史为题材的小说中有三处大段涉及高斯.一处是第18页提到高斯的座右铭为“Paucasedmatura”(少而精).并说高斯喜欢说的一句话是：“数学推导就像在造楼，当建筑完工后，不会把脚手架留在原地.”在中译本的96～97页涉及了高斯对阿贝尔论文的漠视及与波尔约非欧几何优先权之争.从畅销书的制作规律看数学一般是不适宜进入的，除非是极其著名和重要的人物和事件.由此可见高斯已脱离数学圈进入了更广阔的公共领域.
随着欧元的诞生，后一张印有数学家头像的货币已经消失(欧拉是先消失的，后一个是印有高斯头像的德国马克).但由于潘承彪、张明尧、沈永欢三教授的努力，高斯又重新出现在国人的视野中，历时5载，实属不易.作为策划编辑感到遗憾的是没能为其争取到与其贡献相匹配的报酬.
乔布斯的去世在中国引起的惋惜与反思绝不亚于他的家乡美国.但很少有人能领会乔布斯代表的企业家精神的精髓.北京锡恩企业管理顾问有限公司董事长姜汝祥看的很到位.他认为：乔布斯认为真正受益于民众的不是表面的低价，而是“市场交易的制度设计”，在iphone与ipad赢利所设计的价值链结构中，重要的贡献在于对“免费逻辑”的突破，在苹果体系中，一切软件甚至一切知识创造都是要收费的，也就是说，是有“价格”的.中国的出版业生态完全被民营书商的低价策略破坏了，市场充斥着“柠檬”，一个知道自身价格的高水平作者的理智选择就是撤出这个市场.于是低质作品横行市场，读者表面上享受了低价优惠，实质是以丧失了内容品质为代价而且基本上锨除了有可能产生高品质作品的土壤.想当年严济慈凭一本《几何证题法》小册子的版税就可悠然去法国留学度日，而笔者前些日子收到一家大社寄来的一笔版税尚不敌一本原版数学书的价钱，所以在中国仅靠版税生活绝无可能，那谁又能潜心写作呢?
笔者在写此手记的空闲去哈工大图书馆看了一个中国图书进出口总公司举办的原版书展，好书很多，同去的郭梦舒博士问笔者为什么国外的数学书就那么好，笔者回答说：“无它，唯高价尔!”.高书价吸引高水平作者进入，后读者受益，免费与低价是对读者潜在利益的伤害，为心爱的书籍付费是硬道理，在此理念的作用下笔者也选购了一本剑桥大学出版社的新书.RANJANROY的《SOURCES IN THE DEVELOPMENT OF MATHEMATICS—Series and Productsfrom the Fifteenth to the Twenty firstCentury》，价格是99美元，念笔者是其老主顾，一番让利后以500元人民币成交.笔者抱着书走回工作室的路上心中充满向往，中国版的数学书能有如此高价之时，则作者幸甚，编辑幸甚，终读者幸甚!

　　《算术研究》是被誉为“数学王子”的德国大数学家高斯的部杰作，该书写于1797年，1801年正式出版.这是一部用拉丁文写成的巨著，是数论的经典及*权威性的著作.在随后的200年时间中被翻译成多国文字，如德文、英文、俄文等.
　　这部著作在数学中的重要地位不亚于《圣经》在基督教中的地位，只有欧几里得的《几何原本》堪与之相比.因为高斯有一句名言：“数学是科学的女皇，数论是数学的女皇.”这部著作共七篇.
　　篇讨论一般的数的同余.并首次引进了同余记号，这是现代数学中无处不在的等价和分类概念出现在代数中的早的意义重大的例子.
　　第二篇讨论一次同余方程.其中严格证明了算术基本定理.
　　第三篇讨论幂的同余式.此篇详细讨论了高次同余式.
　　第四篇“二次同余方程”意义非同寻常.因为其中给出了二次互反律的证明，有人统计到21世纪初，二次互反律的证明已经超过200种，其中柯西、雅可比、迪利克雷、艾森斯坦、刘维尔、库默尔、克罗内克、戴德金、瓦莱-布桑、希尔伯特、弗罗贝尼乌斯、斯蒂尔切斯、M?里斯、韦伊都给出了新证法，可见问题之重要.
　　第五篇是“二次型与二次不定方程”在这一篇中关于二次型的特征的研究，标志着群特征标理论的肇始，使高斯成为群论的先驱者之一.
　　第六篇把前面的理论应用到各种特殊情形，并引入了超越函数.
　　第七篇是“分圆方程”，不少人认为此篇是《算术研究》的*.
　　《算术研究》当时对于数学家也很难读，它曾被称为“七印封严之书”(这是西方人对难解之书喜用的词，近于中国人所谓的“天书”，典出《圣经?启示录》第五章节：“我看见坐宝座的右手中有书卷，里外都写着书，用七印封严了”)后来迪利克雷作了详细注释.此书简洁完美的风格多少减慢了它的传播速度，而终当富有才华的年轻人开始深入研读它时，由于出版商的破产，又买不到它了，甚至高斯喜欢的学生艾森斯坦从未能拥有一本，有些学生不得不从头到尾抄录全书.

　　潘承彪  1938年生于江苏省苏州市，1960年毕业于北京大学数学力学系数学专业，1961年起在北京农业机化学院
(后改名为北京农业工程大学、中国农业大学)工作，从1977年起同时在北京大学数学系工作。主要从事数学，特别是数论的教学科研工作。与胞兄潘承洞合著有《哥德巴赫猜想》、《解析数论基础》、《素数定理的初等证明》、《代数数论》、《初等数论》及《模形式导引》等。

　　张明尧 
1945年12月生于山东省菏泽市，1967年毕业于安徽大学数学系，1981年获得硕士学位后在安徽大学工作；1987年获得博士学位后在中国科技大学工作；1994年调海南大学工作；1996年调上海华东理工大学工作。译著有《数论中未解决的问题（第二版）》（原著者R.K.Guy）、《纯数学教程(纪念版)》（原著者G.H.Hardy）以及《哈代数论(第六版)》（原著者G.H.Hardy以及E.M.Wright修订者D.R.Heath-Brown以及J.H.Silverman）等。

　　沈永欢 
1934年10月出生于江苏青浦，1955年就读于北京大学数学力学系数学专业，1960年毕业后至北京工业大学任教，主要从事高等数学的教学工作。联合主编《实用数学手册》（科学出版社，1992；2006），主编《高等数学》（高等教育出版社，1990），联合编译《简明数学词典》（新时代出版社，1989）等。译作有迪厄多内所著《现代分析基础（第二卷）》（科学出版社，1986），《当代数学：为了人类心智的荣耀》（上海教育出版社，1999）等。

篇  数的同余  第1～12目   

　1  同余的数，模，剩余及非剩余  第1～3目   

　2  小剩余  第4目   

　3  关于同余的若干基本定理  第5～11目   

　4  若干应用  第12目   

第二篇  一次同余方程  第13～44目   

　5  关于素数、因数等的若干预备定理  第13～25目   

　6  一次同余方程的解  第26～31目   

　7  对若干个给定的模，求分别同余于给定的剩余的数的方法 
第32～36目   

　8  多元线性同余方程组  第37目   

　9  若干不同的定理  第38～44目   

第三篇  幂剩余  第45～93目   

　10  首项为1的几何数列的各项的剩余组成周期序列 
第45～48目   

　首先讨论素数模  第49～81目   

　11  当模为素数p时，周期的项数是p-1的除数  第49目   

　12  Fermat定理  第50～51目   

　13  对应的周期的项数等于p-1的给定的除数的数的个数 
第52～56目   

　14  原根，基，指标  第57目   

　15  指标的运算  第58～59目   

　16  同余方程xn≡A的根  第60～68目   

　17  不同系统的指标间的关系  第69～71目   

　18  为特殊应用选取基  第72目   

　19  求原根的方法  第73～74目   

　20  关于周期和原根的几个不同的定理  第75～81目   

　（Wilson定理）  第76～78目   

　合数模的讨论  第82～93目   

　21  模为素数幂  第82～89目   

　22  模为2的方幂  第90～91目   

　23  由若干个素数合成的模  第92～93目   

第四篇  二次同余方程  第94～152目   

　24  二次剩余和非剩余  第94～95目   

　25  若模是素数，则在小于模的数中剩余的个数等于非剩余的个数 
第96～97目   

　26  合数是否是给定素数的剩余或非剩余的问题依赖于它的因数的性质 
第98～99目   

　27  合数模  第100～105目   

　28  给定的数是给定素数模的剩余或非剩余的一般判别法 
第106目   

　以给定的数为其剩余或非剩余的素数的讨论  第107～150目   

　29  剩余-1  第108～111目   

　30  剩余+2和-2  第112～116目   

　31  剩余+3和-3  第117～120目   

　32  剩余+5和-5  第121～123目   

　33  剩余+7和-7  第124目   

　34  为一般讨论做准备  第125～129目   

　35  用归纳方法来发现一般的(基本)定理及由其推出的结论 
第130～134目   

　36  基本定理的严格证明  第135～144目   

　37  用类似方法证明第114目中的定理  第145目   

　38  一般问题的解法  第146目   

　39  以给定的数为其剩余或非剩余的全体素数的线性表示式 
第147～150目   

　40  其他数学家关于这些研究的工作  第151目   

　41  一般形式的二次同余方程  第152目   

第五篇  二次型和二次不定方程  第153～307目   

　42  研究计划；型的定义及符号  第153目   

　43  数的表示；行列式  第154目   

　44  数M由型(a,b,c)来表示时所属的表示式2-ac (mod
M)的值第155～156目   

　45  一个型包含另一个型，或包含在另一个型之中；正常及反常变换 
第157目   

　46  正常等价及反常等价  第158目   

　47  相反的型  第159目   

　48  相邻的型  第160目   

　49  型的系数的公约数  第161目   

　50  给定的一个型变为另一个型的所有可能的同型变换之间的关系 
第162目   

　51  歧型  第163目   

　52  与同时既是正常地又是反常地包含在另一个型中的型有关的定理 
第164目   

　53  由型表示数的一般性研究以及这些表示与变换的联系 
第166～170目   

　54  行列式为负的型  第171～181目   

　55 
特殊的应用：将一个数分解成两个平方数，分解成一个平方数和另一个平方数的两倍，分解成一个平方数和另一个平方数的三倍 
第182目   

　56  具有正的非平方数行列式的型  第183～205目  &nbs