概率论与数理统计（第2版）（经管类）

第1章  随机事件及其概率.... 1

1.1  随机事件... 1

1.2  排列与组合... 3

1.3  随机事件的概率... 6

1.4  古典型概率与几何型概率... 8

1.5  条件概率... 10

1.6  事件的独立性... 13

小结... 15

阶梯化训练题... 19

第2章  随机变量及其分布.... 25

2.1  随机变量... 25

2.2  离散型随机变量及其分布... 25

2.3  随机变量的分布函数... 29

2.4  连续型随机变量及其分布... 30

2.5  随机变量函数的分布... 36

小结... 37

阶梯化训练题... 41

第3章  多维随机变量及其分布.... 45

3.1  多维随机变量... 45

3.2  二维离散型随机变量的分布... 47

3.3  二维连续型随机变量的分布... 50

小结... 57

阶梯化训练题... 61

第4章  随机变量的数字特征.... 65

4.1  随机变量的数学期望... 65

4.2  随机变量的方差... 69

4.3  几种重要的随机变量的数字特征... 71

4.4  二维随机变量的数字特征... 72

小结... 74

阶梯化训练题... 77

第5章  大数定律和中心极限定理.... 81

5.1  大数定律... 81

5.2  中心极限定理... 82

小结... 85

阶梯化训练题... 86

第6章  样本分布.... 89

6.1  总体、个体和样本... 89

6.2  常用统计量的分布... 90

小结... 94

阶梯化训练题... 96

第7章  参数估计.... 99

7.1  点估计... 99

7.2  估计量的优劣标准... 102

7.3  区间估计... 104

小结... 106

阶梯化训练题... 108

第8章  假设检验.... 111

8.1  基本原理... 111

8.2  单正态总体的假设检验... 111

小结... 113

阶梯化训练题... 114

阶梯化训练题答案.... 117

附录  几种常用分布的分布表.... 129

参考文献.... 159

本书是根据*有关的教学大纲及*全国硕士研究生入学统一考试(数学三)大纲的要求，总结编者多年讲授“概率论与数理统计”课程的实践经验编写而成的。

全书由两大部分组成：*部分介绍了*事件及其概率、*变量及其分布、多维*变量及其分布、*变量的数字特征以及大数定律与中心极限定理等概率论的基础理论，第二部分介绍了样本分布、参数估计、假设检验等数理统计的基础知识。

本书在语言叙述上力求深入浅出、通俗易懂，在内容编排上力求层次清晰、简明扼要，在例题与习题选取上力求少而精。本书可作为经济管理类本科生“概率论与数理统计”课程的教材使用。

　本书是根据*有关的教学大纲及*全国硕士研究生入学统一考试(数学三)大纲的要求，总结编者多年讲授“概率论与数理统计”课程的实践经验编写而成的。本书是对2015年4月第1版的修订，修正了第1版的一些错误与不妥之处，并基本保持了第1版的风格与体系。

　　本书在编写过程中力求：①注重概率统计基本思想与方法的介绍；②内容精练，结构完整，推理简明，通俗易懂；③语言叙述深入浅出，便于自学；④例题选取做到少而精；⑤注重应用。

　　全书由两部分组成：*部分(第1～5章)主要介绍概率论的基础理论，第二部分(第6～8章)主要介绍数理统计的基础知识。

第1章  随机事件及其概率

1.1  随 机 事 件

　　在自然界和人们的日常活动中经常会遇到许多现象，这些现象大体可分为两类，一类叫必然现象，另一类叫随机现象。所谓必然现象，是指在一定条件下一定会出现或一定不会出现的现象。例如，在标准大气压下纯水加热到100℃就会沸腾，近距离的异性电荷会相互吸引，像这样由条件可以确定结果的现象就是必然现象。所谓随机现象，是指在一定条件下可能出现也可能不出现的现象。例如，抛一枚硬币使其正面朝上，从54张混放的扑克牌中任意抽取一张抽得“大王”，像这样即使条件确定结果仍然不能确定的现象就是随机现象。

　　凡是对随机现象的观察或为此而进行的试验都称为随机试验，简称为试验，记作。随机试验与其他试验有什么区别呢？随机试验一定具备下列三个特征。

　　(1) 试验可以在相同的条件下重复进行。

　　(2) 试验的所有可能出现的结果都是已知的。

　　(3) 在每次试验前不知道这次试验将会出现哪一个结果。

　　做一次试验，随机现象是否出现具有偶然性，如果做大量重复试验，随机现象的出现可能会呈现一定规律。概率论与数理统计就是研究随机现象数量规律性的一门科学。

　　1. 随机事件的基本概念

　　随机试验的每一个可能出现的结果称为基本事件或样本点，用表示。所有的基本事件组成的集合称为基本事件空间或样本空间，用表示。由若干个基本事件组成的集合称为随机事件，简称事件，用大写英文字母等表示，显然它是基本事件空间的一个子集合。

　　随机事件出现，当且仅当中的某一个基本事件出现。

　　例1-1 随机试验——掷硬币观察其面。其基本事件是“出现正面”和“出现反面”，基本事件空间是=“正面”，“反面”。

　　例1-2 随机试验——从54张混放的扑克牌中随机抽取一张，观察抽到哪一张牌。其基本事件是“黑桃A”，“黑桃2”，…，“红桃A”，“红桃2”，…；共54个基本事件。将所有基本事件组成一个集合，=“黑桃A”，“黑桃2”，…，“红桃A”，“红桃2”，…，称为基本事件空间。称由一部分基本事件组成的集合为随机事件。如=抽到黑桃——事件中含有13个基本事件；=抽到5——事件中含有4个基本事件；=抽到王——事件中含有两个基本事件。

　　每次试验都出现的事件称为必然事件，用表示；每次试验都不会出现的事件称为不可能事件，用表示。

　　每次试验必然事件都会出现，所以必然事件包含随机试验的所有基本事件，因此必然事件就是基本事件空间，它们用同一符号表示。

　　2. 事件的关系和运算

　　(1) 事件的包含：若事件出现，必然导致事件出现，即中的所有基本事件都在中，则称包含，记作或。

　　(2) 事件的相等：若且，则称与相等，记作。

　　(3) 事件的和(并)：事件与至少出现一个，即

　　(4) 事件的积(交)：事件与都出现，即

　　(5) 事件的差：事件出现但事件不出现，即。                                           

　　(6) 事件的互斥(互不相容)：若事件与不能同时出现，即，则称与互斥(互不相容)。

　　(7) 事件的逆(对立事件)：若事件与必然有一个出现，而且仅有一个出现，即,满足

则称事件与事件互为逆事件(对立事件)。

　　事件的逆事件记作，它表示事件不出现，即

　　[注]  ①。              

　　      ②。

3. 事件的关系和运算的性质

　　(1) 逆运算：。

　　(2) 吸收律：，，。

　　(3) 交换律：，。

　　(4) 结合律：。

　　(5) 分配律：，。

　　(6) 德·摩根定律：

　　例1-3 从一批产品中每次取一件进行检验，令={第次取到合格品}，试用事件的运算符号表示下列事件：={三次都取到合格品}，={三次至少有一次取到合格品}，={三次恰好有两次取到合格品}，={三次多有一次取到合格品}。

　　解                           

　　例1-4 一名射手连续向某一目标射击三次，令={第次射击击中目标}()，试用文字叙述下列事件：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)。

　　解 (1) {前两次射击至少有一次击中目标}。

　　(2) {三次射击至少有一次击中目标}。

　　(3) {三次射击都击中目标}。

　　(4) {第三次射击击中目标，但第二次射击未击中目标}。

　　(5) {第三次射击未击中目标}。

　　(6) {前两次射击都未击中目标}。

　　(7) {前两次射击至少有一次未击中目标}。

1.2  排列与组合

　　计算随机事件出现的可能性大小时往往需要借助排列组合理论与方法，下面介绍排列组合的基本理论与方法。

　　1. 基本原理

　　(1) 加法原理：做一件事，完成它有类办法，在类办法中有种方法，在第二类办法中有种方法……在第类办法中有种方法，不论用哪一类办法中的哪一种方法都可以完成这件事，那么完成这件事共有种不同方法。

　　例如，某人从甲地到乙地有乘飞机、火车和汽车三类办法。每天飞机有2个航班，火车有5班车，汽车有3趟车。不论选用哪一类办法中的哪一种方法，都可以到达目的地，那么从甲地到乙地共有种不同走法。

　　(2) 乘法原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做步有种方法，做第二步有种方法，……，做第步有种方法，只有当这个步骤全部完成时，才能完成这件事，那么完成这件事共有种不同方法。

　　例如，某人从甲地到丙地必须经过乙地中转。若从甲地到乙地有3种走法, 从乙地到丙地有7种走法，那么从甲地到丙地共有种不同走法。

　　2．排列

　　1) 不可重复排列

　　定义1-1 从个不同元素中任取个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中取个不同元素的一个排列。其所有不同排列的个数称为排列数，用符号表示。

　　例如，在四个字母中，每次取2个不同字母的排列是：

　　易数得从四个字母中每次取2个不同字母的所有不同排列的个数是。

　　一般情况下，怎样计算的值呢？为了研究这个问题，试想一个与其等价的问题：“从个不同元素中任取个不同元素，将其放入个空位置中，有多少种不同放法？”要完成这件事，可将其分成个步骤。步，从个元素中任取1个放在第1个位置, 有种不同放法；第二步，从剩余个元素中任取1个放在第2个位置，有种不同放法；第三步，从剩余个元素中任取1个放在第3个位置，有种不同放法；……；第步，从剩余个元素中任取1个放在第个位置，有种不同放法；第步，从剩余个元素中任取1个放在第个位置，有种不同放法。根据乘法原理，完成这件事共有种不同放法，因此

　　                        (1-1)

　　为了书写方便，我们把从1～的正整数连乘记作，读作阶乘，即

　　                      (1-2)

并规定。

　　于是又有 

　　                               (1-3)

　　[注]  。

　　2) 可重复排列

　　定义1-2 从个不同元素中任取个元素(允许重复)，按照一定的顺序排成一列，叫作从个不同元素中取个元素的一个可重复排列，其所有不同排列的个数称为排列数。

　　类似于计算公式的推导，可知可重复排列的排列数为。

　　例如，在四个字母中每次取2个字母的所有可重复排列是：

　　；；；

　　易数得从四个字母中每次取2个字母的所有可重复排列的个数是。

　　例1-5 计算：(1)；(2)。

　　解 (1) 。

　　   (2) 。

　　例1-6 有5个男孩、3个女孩站成一排。

　　(1) 男孩不站在排头也不站在排尾，有几种不同站法？

　　(2) 男孩必须相邻，有几种不同站法？

　　解 (1) 由于男孩既不站在排头也不站在排尾，可考虑先满足排头、排尾两个特殊位置的要求。从3个女孩中任选2个站在这两个位置，有种站法，然后让5个男孩与剩下的1个女孩站在剩下的6个位置，有种站法。根据乘法原理，共有种不同站法。

　　(2) 由于5个男孩必须相邻，因此可先把他们看作一个整体而和3个女孩站成一排，有种站法，再对5个男孩进行排列，有种站法。根据乘法原理，共有种不同站法。

　　例1-7 数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？

　　解  因为不能在百位位置，所以可从三个数字中任选一个排在百位位置上，有种排法；当百位位置上数字选定后，把中剩余的两个数字与共3个数字排在十位与个位两个位置上，有种排法。根据乘法原理，共可以组成个三位数。

　　3. 组合

　　定义1-3 从个不同元素中任取个不同元素，不管顺序并成一组，叫作从个不同元素中取个不同元素的一个组合。其所有不同组合的个数称为组合数，用符号表示。

　　[注]  排列与组合的不同之处是：排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。在排列中若元素相同但排列的顺序不同，就视为不同排列；在组合中只要元素相同，就视为同一组合。

　　那么怎样计算的值呢？我们可以通过另一种思维方式计算来求得的计算公式。计算的值就是计算从个不同元素中任取个不同元素的所有不同排列的个数。我们可以将计算这件事分成两个步骤：步是从个元素中任取个元素，不管顺序并成一组，共有种不同取法；第二步是将取出的个元素排成一列，共有种排法。根据乘法原理，完成计算这件事共有种不同方法，即

于是　　　　　　　

　　                   (1-4)

　　利用，又可得

　　   　　                     (1-5)

　　组合具有如下性质。

　　(1) 。

　　(2) 。

　　规定，特别有 ，。

　　例1-8 计算：(1)；(2)。

　　解  (1) 。

　　(2) 。

　　例1-9 一条铁路上有20个车站，按常规：

　　(1) 一共需要准备多少种不同的车票？

　　(2) 一共有多少种不同的票价？

　　解  (1) 从20个车站中任取2个车站(车票与顺序有关)的排列数是

　　(2) 从20个车站中任取2个车站(票价与顺序无关)的组合数是

　　例1-10 从5名男生和4名女生中选3名代表参加数学竞赛，要