两个未知数去相亲 好玩又烧脑的数学谜题

前言
6 年前，我在《明镜》周刊网站上发表了首道“每周谜题”。这道题是关于煮意大利面的，意大利面要煮正好9 分钟才有嚼劲。有一个4 分钟的沙漏和一个7 分钟的沙漏可以用来计时。这是一道经典谜题。
从此之后，我每周都会出一道数学谜题—到现在有300 多道了吧！读者们表现出的极大兴趣总是让我感到惊讶（当然我也很高兴）。一道谜题有5 万点击量是十分平常的，有的谜题的点击量甚至会达到10 万。我还经常收到读者的电子邮件， 他们发现了各种错误，促使我不得不多次更精确地修改题目或者补充答案。
当然，这让我感到恼火，但这也是一个好现象，因为所有人都会犯错。最重要的是，数学始终也是一个过程。我们一步一步地接近真理。有时候即使是专业的数学家也会忽视掉一些小细节，但幸好他们的同事之后会指出来。有时候我们到达目的地，却绕了弯路，我们找到的解答方案比原本的更复杂。这种情况也会发生在数学家身上。我们为解答问题而找到的第一个方案通常不是最绝妙的。
让我感到困难的是拿捏精确的语言，为此我总是苦苦挣扎。我的胸腔里有两颗心在跳动：一颗记者的心，一颗数学家的心。作为一名记者，我想写得尽可能通俗易懂，尽量用清楚简短的句子，而不是冗长的句子，最好没有专业术语。但是这种风格并不适配每道数学谜题，为此我也不时受到读者的批评。
通俗的表述既能使谜题变得更有趣，也能让外行人更易读懂，但大多数时候，我要在数学的精确性和通俗的表述之间找到一个好的折中表达方式。
下面这两个例子显示了我的读者在钻研这些谜题时有多么投入。
第一道谜题：把5 个皇后放置在一张空的国际象棋棋盘上，使每个空棋格至少有一个皇后，且仅用一步棋就能到达。
我提出了两种不同的放置方案作为答案，同时请发现更多方案的读者写信给我。
结果我收到了几十封电子邮件，有非常多且极不相同的解答方案。以下是两个空白棋盘（请自己思考）。
有三位读者甚至编写了自己的计算机程序来搜索所有的解答方案。他们都得出了相同的结果：有4860 种不同的放置方案。你可以在第64 页看到这道关于皇后的谜题。
还有一道谜题也引起了相似的热烈反响：在一个16 个点排列成的方阵中，如何才能一笔不间断地画出6 条直线将这16 个点连接起来？这道题详见第48 页。
我列出了3 种不同的答案，同时请读者提出他们自己的答案。于是我收到了各种丰富的答案—请见下图。 
我不知道这些是否已经是所有可能的答案。也许对数学家来说，找出所有的答案，会是一项有趣的任务。也许这个问题同样可以用计算机程序将所有可能的情形全部测试一遍来解决。对我来说，这道16 个点的谜题比5 个皇后的谜题更难。
现在可是轮到你来解答啦！在接下来的内容中，你将会看到涉及逻辑、几何、组合数学的100 道谜题。当你在一道谜题上遇到困难没有任何进展的时候，不要太快放弃，可以把它暂时放在一边，先解答其他谜题。也许第二天就会灵光闪现。
祝你解题愉快！ 
霍格尔·丹贝克
德国汉堡，2021 年1 月10 日

7个小矮人，7张床，7个麻烦？
王后的魔镜应该挂在哪儿？
如何在火柴游戏里消除所有正方形？
……
准备好找点儿乐子了吗？德国著名数学家、前奥数冠军、“谜题收集者”霍格尔·丹贝克再一次向我们展示迷人的数学世界。书中精选100道出色的数学谜题，涉及数字、组合、逻辑、几何、策略、概率、物理，每一道都旨在挑战你的创造性思维，准备好了吗？快来给大脑做套保健操！

霍格尔·丹贝克（Holger Dambeck）
数学家，1969年生于德国，毕业于物理学专业，16岁时参加奥林匹克数学竞赛并获大奖，2003年任职《明镜》周刊网络版科学编辑，2014年成为“科学与健康”栏目主编。2006年，他开始在《明镜》周刊网络专栏“每周谜题”里创造他的数学乐园，并在2009年出版由专栏结集之书《分子：适合每个人的数学》，荣获德国数学家协会媒体奖。陆续出版畅销书《三个逻辑学家去酒吧》《你学的数学可能是假的》《0使1更大》《你学的数学不可能这么好玩》，在德国引起巨大反响。至今，每周都有20万读者参与他的谜题解答。

前言

速解 | 简单入门谜题
顿悟时刻 | 解题的诀窍
未知数、自然数、有理数 | 数字谜题
骗子和老实人 | 棘手的逻辑谜题
点、线、圆 | 几何就是一切
深思熟虑 | 寻找聪明的策略
巧妙分配 | 可能性和概率
质量和狗 | 物理难题
难题 | 11个真正的挑战

答案
引用

7个小矮人，7张床，7个麻烦？
王后的魔镜应该挂在哪儿？
如何在火柴游戏里消除所有正方形？
……
准备好找点儿乐子了吗？德国著名数学家、前奥数冠军、“谜题收集者”霍格尔·丹贝克再一次向我们展示迷人的数学世界。书中精选100道出色的数学谜题，涉及数字、组合、逻辑、几何、策略、概率、物理，每一道都旨在挑战你的创造性思维，准备好了吗？快来给大脑做套保健操！

霍格尔·丹贝克（Holger Dambeck）
数学家，1969年生于德国，毕业于物理学专业，16岁时参加奥林匹克数学竞赛并获大奖，2003年任职《明镜》周刊网络版科学编辑，2014年成为“科学与健康”栏目主编。2006年，他开始在《明镜》周刊网络专栏“每周谜题”里创造他的数学乐园，并在2009年出版由专栏结集之书《分子：适合每个人的数学》，荣获德国数学家协会媒体奖。陆续出版畅销书《三个逻辑学家去酒吧》《你学的数学可能是假的》《0使1更大》《你学的数学不可能这么好玩》，在德国引起巨大反响。至今，每周都有20万读者参与他的谜题解答。

35. 谎言、真话和病毒
有两群人共同住在一个岛上。我们称其中一群人为“骑士”，他们总是说真话；称另一群人为“无赖”，他们总是说谎话。我们看不出来岛民属于哪个群体，但是可以向他们提问， 并从其答案推断出他们是骑士还是无赖。
举一个简单的例子：如果问他们“1 加1 是多少”，骑士会如实回答“2”，无赖则会与之相反地给出错误的回答。
一段时间以来，一种神秘的病毒在这个岛上蔓延。它的传播速度相对较慢—只有一部分居民生病了。这种疾病会导致感染者角色转换：生病的骑士总是撒谎，生病的无赖则总是说真话。
你要问岛民一个什么样的问题才能确定他是无赖还是骑士？
只允许提一个问题，并且这个问题只能用“是”或者“不是”来回答。你不知道被询问的人是否生病。

36. 谁是小偷？ 
诚实的人与臭名昭著的骗子生活在一起时，注定会愤怒。就像在真话与谎言之岛上，警方正试图破解一起轰动的盗窃案。博物馆中珍贵的黄金宝藏不见了—但是目前还不清楚谁是小偷。 
警方至少能够将嫌疑人的范围缩小到三个人：亚当、伯特和克里斯。小偷就藏在他们三人之中。警方还知道，三个人中至少有一个是臭名昭著的骗子，并且至少有一个人只说真话。这个岛上只有臭名昭著的骗子和从不说谎的诚实的人。
除此之外，可以肯定的是，小偷属于总是撒谎的岛民之一。因为总是说真话的诚实居民不会犯罪。
警察局中发生了以下对话。
亚当：“是我偷了黄金宝藏。” 
伯特：“亚当是对的。” 
克里斯打量着这两人，但什么也没说。
接着警官说道：“案子已经破了。” 
这位警官说得对吗？如果对，那么谁是被通缉的小偷呢？ 

37. 已婚还是未婚？ 
下面这个问题同样来自一个奇怪的岛屿，那里的人要么说谎，要么就只说真话。
你正在岛上参观，穿过一个空荡荡的广场，突然一个女人出现并说道：“我是一个已婚的骗子。” 
关于这个女人，你了解多少？她真的结婚了吗？她在说谎吗？ 

38. 谁戴白帽子？ 
3 名男子被判处了死刑—但是法官给了他们最后一次机会：“你们之中的一个人戴着白色的帽子，其他人戴着灰色的帽子。如果戴白帽子的人向我报告自己戴的是白色的帽子，那么你们就都可以免除死刑。你们不能相互交谈。” 
这3 个男人相继站成一列，每个人都只能向前看，他们看不到自己帽子的颜色。但是每个人都能看到站在自己前面一人或两人的帽子—除了最前面的那个人，因为他前面没有人。
这3 个人如何才能保命？