高等数学基础教程（第2版）

高等数学是高职院校的一门必修基础课程。教材建设是全面贯彻立德树人的教育理念、培养学生综合素质的重要载体。高职院校是培养高素质技术技能型人才的摇篮，教材在其中起着重要作用，是培养过程的核心要素。在“互联网 教育”背景下，教育信息化迎来迅猛发展机遇，专业建设、课程建设、资源建设、在线教育等活动形成了海量数字化教学资源。因此，高职教育教学模式与学习方式发生了巨大的变化，传统的纸质教材已经难以适应教学活动的需要，难以满足学生对知识、技能及新技术的学习需求，建设数字化资源与纸质教材一体化的新形态教材成为必然。新形态一体化教材就是以纸质教材为核心，通过互联网尤其是移动互联网，将数字化教学资源与纸质教材相融合的一种新形态教材，能够满足学生突破时域和空域的限制，进行“线上线下互动，新旧媒体融合”的学习需求。因此，强化基于“互联网 ”的教材建设势在必行。
编制系列教材是教材的发展趋势，必须发挥文字、音像、网络等不同教学媒体的综合作用。单独的一本教科书已越来越不能满足学校教学的要求，还应当包括根据本学科的特点和要求以及学生的身心发展水平，设计出用于呈现、解释和提供资料与技能训练的必不可少的练习册、操作材料、图表、识字卡和其他包括电子音像读物在内的资源。
教材应限度地满足教师的专业创造，满足教师的教学创新，引导而不是禁锢、规范而不是限制教师利用教材对教学进行建构和创造，这是教材编制不容忽视的问题。教材编制的主要目的不是为教师提供“法定”文件，让教师屈从于教材的要求，而是定位在为教师的教学服务，以及为教师精心打造和提供可资利用的课程资源。
我国现有的学校教材体系面临着各种问题和挑战，如何使教材更加有利于培养学生的创新精神、实践能力?如何使教材更加有利于学生良好个性的发展?这需要我们建立新的教材观。教材改革的理念或观念不仅是一个理论问题，更是一种实践行动指南。
本书是浙江省高等教育学会教材建设专业委员会批准立项的一个高职新形态立体化项目。本书在经过充分的调研之后，与传统教材相比，在内容和形式上进行了改革。具体表现如下: 在内容上，通过引入案例，使抽象理论具体化；更加重视数学的应用性；淡化理论推证，强调应用与计算；将数学建模思想融入教材中。在形式上，注重信息化教材的实用性和本土性；注重学生对信息化教材改革的意见和建议；注重信息化教材改革的前瞻性和趣味性;注重概念的直观解释，展现微课视频，实现读者随时随地学习。本书适合高职高专层次的读者学习，也可以作为其他层次人员的参考书。
本书由浙江东方职业技术学院、浙江工贸职业技术学院与重庆经贸职业学院联合编写，熊庆如担任主编，由刘翔、王克床和曹永刚担任副主编。在本书编写过程中得到了柳叶、张维国、张芙敏、毛海舟、郭培俊、王积建、龚洪胜、刘维先、朱薇薇等老师的大力支持和帮助，在此表示感谢！
由于编者水平所限，书中如有不足之处，敬请使用本书的师生与读者批评指正，以便改进。如读者在使用本书过程中有其他意见或建议，恳请您向编者提出宝贵意见。

编者2022年2月高等数学基础教程（第2版）目录

高等数学对于高等职业教育不同专业领域具有通用性和基础性，在高职院校课程体系中占有十分特殊的地位，在培养学生理性思维方面是其他任何学科难以替代的，而这种理性思维的培养对于提高高职学生的学习能力和分析能力，启迪学生的创新意识，奠定继续学习的基础乃至全面提升综合素质是至关重要的。教材是教学内容和教学方法的知识载体，教材建设在学校深化教育教学改革、全面推进素质教育、培养创新人才中具有举足轻重的影响。虽然科学技术发展日新月异，新成果、新观点、新趋势不断呈现，但基础理论具有相对的稳定性，这决定了在高等数学教材建设中必须强调基础理论、基本知识、基本方法等内容的价值与作用。因此，高等职业院校高等数学教材改革应当紧扣培养应用型人才的办学宗旨，以契合专业建设需要和学生实际情况为主线，以应用、必需、够用为原则，注重对学生进行数学思想和数学方法应用的培养。 适当降低理论要求，凸显数学的工具性，注意与初等数学内容的衔接，以引导学生增强自学意识和自学能力，培养良好的数学思维习惯，提高应用数学知识解决问题的能力。以教材改革推动教法改革和学法改善，以改促教，以教促学，不断促进专业建设，提高人才培养质量。
随着信息技术的发展，传统的“互联网 ”教学进入智能手机终端的混合多元教学。 在编写过程中，本书力求编出特色和创新。在形式上有教学说明、同步训练、练习答案、人物介绍等内容。链接到手机终端的二维码可以让读者自助查找。本书比较突出的特点主要有：
(1) 引进MATLAB基础知识，开阔学生视野。
(2) 融入数学文化，提升学生学习的兴趣。
(3) 增加“专升本”相关章节内容，兼顾学生升学需求。
本书除主编、副主编以外，刘翔、王克床也参加了部分内容的编写。
由于编者水平有限，书中难免有不足之处，欢迎广大师生提出宝贵意见！

编者2019年3月

本书基于高等教育创新创业教育发展理念，遵从“必需、够用、好用”的原则编写而成。本书汇集一线教师多年教学改革的经验，是数学教学理念与实际结合的阶段性成果。本书内容包括函数及其初步知识、极限及函数的连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、微分方程和无穷级数，一共8章。部分章节后面添加了MATLAB的相关内容。同时，本书采用二维码的形式，融入了音像图文教学，实现新形态数学教学，具有简化、趣味和方便的特点。
本书可作为高等职业院校和高等专科院校高等数学课程的教材，也可作为本科院校、成人高等院校、各类培训机构和爱好者的参考用书。本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。

本书基于高等教育创新创业教育发展理念，遵从“必需、够用、好用”的原则编写而成。本书汇集一线教师多年教学改革的经验，是数学教学理念与实际结合的阶段性成果。本书内容包括函数及其初步知识、极限及函数的连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、微分方程和无穷级数，一共8章。部分章节后面添加了MATLAB的相关内容。同时，本书采用二维码的形式，融入了音像图文教学，实现新形态数学教学，具有简化、趣味和方便的特点。
本书可作为高等职业院校和高等专科院校高等数学课程的教材，也可作为本科院校、成人高等院校、各类培训机构和爱好者的参考用书。本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。

熊庆如，江西师范大学数学教育专业毕业，并获数学教育硕士学位，现任浙江东方职业技术职业学院副教授，长期从事高职高等数学的教学和科研工作。

第1章函数及其初步知识1
1.1集合1
1.1.1集合的概念1
1.1.2集合间的基本关系1
1.1.3集合间的基本运算2
1.2函数2
1.2.1函数的概念2
1.2.2函数的性质3
1.3基本初等函数6
1.3.1常值函数6
1.3.2幂函数7
1.3.3指数函数8
1.3.4对数函数9
1.3.5三角函数10
1.3.6反三角函数17
1.4复合函数18
1.5初等函数18
1.6分段函数19
1.7复数20
1.7.1复数的概念20
1.7.2复数的分类20
1.7.3相关公式20
1.7.4复数运算21
1.7.5复数的几何意义21
1.8向量21
1.8.1向量的物理背景与概念21
1.8.2平面向量数量积的物理背景及其含义23
1.8.3平面向量的坐标运算23
1.9MATLAB初步知识及函数的计算与作图24
1.9.1常量与变量24
1.9.2算术运算符号25
1.9.3逻辑运算符号26
1.9.4其他常用符号27
1.9.5基本初等函数的输入27
1.9.6系统运算与操作函数的输入28
1.9.7函数值的计算28
1.9.8函数的作图30
人物介绍: 数学家拉普拉斯38
习题38
高等数学基础教程（第2版）目录第2章极限及函数的连续性42
2.1数列的极限42
2.2函数的极限43
2.3无穷小量与无穷大量46
2.3.1无穷小量46
2.3.2无穷大量47
2.3.3无穷小量的性质47
2.3.4无穷小量的阶48
2.4极限的性质与运算法则48
2.4.1极限的性质48
2.4.2极限的四则运算法则49
2.5极限存在的准则及两个重要极限52
2.5.1极限存在的准则52
2.5.2两个重要极限52
2.6函数的连续性57
2.6.1连续函数的概念57
2.6.2初等函数的连续性59
2.6.3函数的间断点60
2.6.4闭区间上连续函数的性质62
2.7利用MATLAB计算函数的极限63
人物介绍: 数学家刘徽64
习题64
第3章导数与微分68
3.1导数的概念68
3.1.1变化率问题举例68
3.1.2导数的定义70
3.1.3利用定义计算导数72
3.1.4导数的几何意义74
3.1.5可导与连续的关系75
3.2导数基本公式与运算法则76
3.2.1导数的四则运算法则76
3.2.2复合函数的导数79
3.2.3隐函数的导数82
3.2.4取对数求导法84
3.2.5反三角函数导数基本公式85
3.3高阶导数86
3.4函数的微分88
3.4.1函数微分的概念88
3.4.2微分的计算89
3.4.3微分形式的不变性89
3.4.4微分的应用90
3.5利用MATLAB计算函数的导数90
人物介绍: 数学家牛顿92
习题92
第4章导数的应用96
4.1中值定理96
4.2洛必达法则100
4.3函数的单调性103
4.4函数的极值与值105
4.4.1函数的极值概念与计算106
4.4.2函数的值与小值109
4.5利用导数研究函数111
4.5.1函数的凹向与拐点111
4.5.2曲线的渐近线113
4.5.3函数作图113
4.6利用MATLAB计算函数极值与值116
人物介绍: 数学家莱布尼茨119
习题120
第5章不定积分123
5.1不定积分的概念与几何意义123
5.1.1原函数123
5.1.2不定积分的概念124
5.1.3不定积分的几何意义125
5.2不定积分的性质和基本积分公式126
5.2.1不定积分的性质126
5.2.2基本积分表126
5.3换元积分法128
5.3.1类换元法(凑微分法)129
5.3.2第二类换元法(换元法)132
5.4分部积分法136
人物介绍: 数学家洛必达138
习题139
第6章定积分142
6.1定积分的概念与性质142
6.1.1引例142
6.1.2定积分的概念144
6.1.3定积分的性质145
6.2变上限定积分与微积分基本定理148
6.2.1变上限定积分148
6.2.2微积分基本定理150
6.3定积分的计算152
6.3.1定积分的换元积分法152
6.3.2定积分的分部积分法154
6.4无限区间上的广义积分156
6.5定积分的应用——求平面图形的面积157
6.6利用MATLAB计算函数的积分161
人物介绍: 数学家拉格朗日162
习题163
第7章微分方程166
7.1微分方程的基本概念166
7.1.1微分方程的概念166
7.1.2微分方程的解167
7.2可分离变量的微分方程169
7.2.1可分离变量的微分方程的概念169
7.2.2可分离变量的齐次微分方程170
7.3一阶线性微分方程171
7.3.1一阶线性齐次微分方程的通解171
7.3.2一阶线性非齐次微分方程的通解172
7.4二阶线性微分方程解的结构174
7.4.1二阶线性齐次微分方程解的结构174
7.4.2二阶线性非齐次微分方程解的结构175
7.5二阶常系数线性微分方程176
7.5.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法176
7.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法178
人物介绍: 数学家柯西180
习题181
第8章无穷级数183
8.1常数项级数的概念与性质183
8.1.1常数项级数的概念183
8.1.2收敛级数的基本性质186
8.2常数项级数的收敛法则187
8.2.1正项级数及其收敛法则187
8.2.2交错级数及其审敛法则191
8.2.3收敛与条件收敛192
8.3幂级数193
8.3.1函数项级数的概念193
8.3.2幂级数及其收敛性194
8.3.3幂级数的运算197
8.4函数展开成幂级数198
8.4.1泰勒级数及函数的展开198
8.4.2幂级数展开式的应用201
8.5傅里叶级数205
8.5.1三角级数及三角函数系的正交性205
8.5.2函数展开成傅里叶级数206
8.5.3正弦级数和余弦级数209
8.5.4周期为2l的周期函数的傅里叶级数210
8.6级数的应用212
8.6.1级数在经济上的应用212
8.6.2级数在工程上的应用214
人物介绍: 数学家欧拉215
习题215
参考文献219

本书基于高等教育创新创业教育发展理念，遵从“必需、够用、好用”的原则编写而成。本书汇集一线教师多年教学改革的经验，是数学教学理念与实际结合的阶段性成果。本书内容包括函数及其初步知识、极限及函数的连续性、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、微分方程和无穷级数，一共8章。部分章节后面添加了MATLAB的相关内容。同时，本书采用二维码的形式，融入了音像图文教学，实现新形态数学教学，具有简化、趣味和方便的特点。
本书可作为高等职业院校和高等专科院校高等数学课程的教材，也可作为本科院校、成人高等院校、各类培训机构和爱好者的参考用书。本书封面贴有清华大学出版社防伪标签，无标签者不得销售。

熊庆如，江西师范大学数学教育专业毕业，并获数学教育硕士学位，现任浙江东方职业技术职业学院副教授，长期从事高职高等数学的教学和科研工作。