振动力学——线性振动

第1章绪论

1.1振动力学教学内容的改革与发展

我们生活的世界存在着周而复始的振荡现象。大海的波涛起伏、钟摆的摆动、心脏的跳动、经济发展的高涨和萧条等都是形形色色的振荡现象。古人关于日月、四季轮回交替的记载是对振荡现象的早期认识，如“精健日月，星辰度理，阴阳五行，周而复始。”（《汉书·礼乐志》）振动是具有振荡性质的机械运动，就是物体在平衡位置附近的微小或有限的往复运动。

能产生振动的机械系统称为振动系统。

将一个物体投掷出去，物体就沿着抛物线飞向前方直至落地。因为不存在能将物体往回拉的作用力，所以这种运动不可能具有往复性。如果将物体与弹簧相连，它的运动就会使弹簧变形，产生与运动方向相反的拉力，迫使它回到原来的平衡位置。这时物体的运动才可能在平衡位置附近具有振荡性。这种迫使物体回归平衡位置的作用力称为恢复力。就一切机械系统而言，恢复力是运动具有往复性必须具备的因素。

振动力学是工科专业本科生必修的专业基础课程，是一门体系完整的独立学科。随着科学技术日新月异的发展，作为专业基础学科的振动力学，其体系和内容也必须相应地进行调整。从这个愿望出发，本书力图在以下几个方面做一些改进：

（1）振动力学涉及传统的线性振动和现代的非线性振动，本书上册主要介绍线性振动，下册主要介绍非线性振动。

（2）振动理论的精确解法与数值近似解法在工程中同样重要。本书解析法与数值法并重。

（3）由于非线性振动微分方程解具有不唯一性和多样性，振动力学涉及定量分析与定性分析。本书定量分析与定性分析并重。

（4）离散-时间动力系统和连续-时间动力系统的定性分析同样重要。本书对离散-时间动力系统定性分析和连续-时间动力系统定性分析按维数由低到高，循序渐进进行介绍。

（5）非线性振动的定量分析计算涉及弱非线性和强非线性，本书既介绍以摄动法为主的传统弱非线性振动解法，又增加了以同伦分析方法为代表的近代发展起来的强非线性振动随着科学技术的发展，人类步入信息时代，计算机技术无论从硬件还是软件上都在日新解法。月异地发展，信息化、数字化、网络化和智能化渗透在很多学科当中，也为很多学科提供了的发展机遇。个人计算机的空前普及，计算机语言的更新换代，计算技术的不断发展，使同向计算机的振动力学不再满足于线性化的分析，而是开始尝试系统地建立面向计算机的多自由度问题，为它们建立起计算机分析求解的精确模型，对它们做精确的符号运算和数值分析计算，而不受求解问题规模的限制。

混沌理论是自相对论和量子力学问世以来，对人类整个知识体系的又一次巨大冲击作为非周期的有序性，混沌无处不在：既存在于广袤无垠的宇宙中，又存在于结构精细的人脑中。因此，混沌动力学的发展必将引起人们自然观的彻底改变。面对这一重大的科学变革，我们每一个力学教师都应该认真考虑，如何将混沌动力学这一现代数学的主题引入力学课程的教学，以使新一代的科学工作者适应这一变革，这是一件极为重要且有意义的事情本书尝试引入不动点、分岔、混沌内容，使之由易到难贯穿振动力学始终。

作为面向21世纪的新型教材，本书想尝试为振动力学建立一种具有现代计算方法的强大功能，但又不失去传统解析方法之精确性的新体系。

1.2面向能力培养的振动力学

振动力学是研究振动现象的普遍性原理和各种特殊类型振动的一门学科。

约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann，美国）指出，科学不只是为了解释一些现象，更不只是为了说明一些事情。科学的主要任务是建立数学模型。它是数学的结构，加上了确定的语言说明，用以描述观察到的现象。这样的数学模型将是唯一精确的。这才是科学的任务。

振动力学教学要始终以数学建模思想为核心。什么是数学建模呢？如果一定要下一个定义的话，可以说它是一种科学的思考方法，是对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示。从科学、工程、经济、管理等角度看数学建模就是用力学的模型和数学的语言与方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学、力学工具。

数、力、理、化、天、地、生各门学科尽管研究的内容不同，但一言以蔽之，其研究方法都是数学建模。其步骤为“象、数、理”三个要点。

1.2.1建立振动问题的数学模型

“象”，自然现象之象也。自然现象是复杂的，实际问题是千变万化的。在对事物观察和试验的基础上，经过抽象简化建立力学模型。振动力学模型是惯性元件、阻尼元件和弹簧元件。在基本规律的基础上，经过逻辑推理和数学演绎，建立数学模型。振动力学的数学模型是常微分方程组和偏微分方程组。象就是把实际问题简化为振动力学模型（惯性元件、阻尼元件和弹簧元件），再建立数学模型（常微分方程组或偏微分方程组）的过程。

1）建立力学模型（假设的合理性）

要研究机械系统的振动，就应当确定与所研究问题有关的系统元件和外界因素。比如，汽车由于颠簸将产生垂直方向的振动。组成汽车的大量元件都或多或少地影响它的性能。然而，汽车的车身及其他元件的变形比汽车相对于道路的运动要小得多，弹簧和轮胎的柔性比车……