量子力学原理及应用

第1章 基本原理

 量子力学是一门建立在公理体系上的物理理论.基于公理构建理论体系是数学和物理中常用的方法，数学中典型的例子是欧几里得平面几何.量子力学的公理、个数及其表述在不同的教科书有不尽相同的描述，通常来说有五个公理，本章分五节分别加以描述.

 量子力学诞生于20世纪初，之前发展起来的力学、电磁学、光学、热学、声学、统计物理等，在当时都已相当成熟.习惯上，将狭义相对论和量子力学提出之前建立起的物理学称为经典物理.

 1.1 波函数与概率波

 1.1.1 能量量子化

 绝对黑体是一种理想化的模型，可以简单地理解为一个开孔的腔体，如图1.1.1所示，其特点是可以吸收和辐射各种频率的电磁波，在热平衡时吸收与辐射相平衡.

 经典物理在处理黑体辐射时遇到了困难.历史上，维恩(W. Wien)从热力学出发推出了一个描述绝对温度为的黑体辐射能谱密度的公式，称为维恩公式

 (1.1.1)

 式中，为辐射频率，、为常量，为真空光速，为绝对温度.如图1.1.2所示，维恩公式在高频段与实验值吻合得很好，但在低频段存在明显的差异.

 图1.1.1黑体示意图图1.1.2三种黑体辐射公式与实验的对比瑞利(J.W. Rayleigh)和金斯(J. H. Jeans)基于电动力学和统计物理推出另一个公式，称为瑞利-金斯公式

 (1.1.2)

 式中，J/K为玻尔兹曼常量.如图1.1.2所示，瑞利-金斯公式在低频段与实验值吻合得很好，但在高频段存在十分显著的差异，被称为“紫外灾难”.

 为解释黑体辐射效应，普朗克(M. Planck)提出，黑体的辐射或吸收源于内壁分子或原子的振动，可将这种振动视为线性谐振子.重要的是，普朗克突破能量连续取值这一经典物理学的观念，提出“能量量子化”的观点：这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，而是以“量子”(quantum)的方式，取某一*小能量的整数倍.普朗克假设

 (1.1.3)

 其中，v是谐振子的固有频率，称为普朗克常量，是一个由实验确定出的比例系数.以这样的假设为前提，推导出了一个公式，称为普朗克公式

 (1.1.4)

 如图1.1.2所示，普朗克公式与实验结果惊人地吻合.这表明，他提出的能量量子化概念拥有深刻的物理内涵.经典物理认为能量的取值是连续的，从表观上看似乎不存异议.普朗克的这一能量量子化假设，突破了这种表观认识，为后面解释氢原子光谱和光电效应等许多问题提供了思想基础，也吹起了量子力学的序曲.

 1.1.2 波粒二象性

 早期牛顿在研究光学时，曾将光束假设为粒子流，并据此解释了色散效应.后来大量的干涉和衍射实验表明光是一种波，麦克斯韦的电磁理论证明光波是频率在Hz的电磁波.但是，从光的波动性出发却无法解释光电效应.

 如图1.1.3所示，光波照射到金属上，能激发出电子(称为光电子).对给定的金属来说，实验表明，能否产生光电子同入射光的频率有关，低于某个频率(称为截止频率)后，无论光的强度多大，照射时间多长，都不能使光电子逸出.这种现象无论用经典物理中的几何光学还是波动光学，都无法加以解释.为此，爱因斯坦(A. Einstein)提出了光量子概念：光波由光量子(简称光子)组成，每一个光子的能量与光频率的关系是.在此基础上来解释光电效应：当频率为的光照射金属时，一个电子只能以整体的形式吸收一个光子的能量.根据能量守恒定律，这个光子的能量要转换为光电子的动能并能克服金属表面的束缚，需满足，其中是电子质量，是电子逸出金属表面的速度，是金属表面的逸出功.光电子得以产生的条件是，故光子的频率需满足.爱因斯坦的光子假说是对普朗克能量量子化假说的发展，可以很好地解释光电效应.

 图1.1.3光电效应示意图根据相对论，静止质量为的粒子，其能量和动量之间的关系为.光子的运动速度为，静止质量，故，又因，从而.频率和波长之间满足，因此得到光子的能量和动量为

 (1.1.5)

 (1.1.6)

 式中，是光子运动方向上的单位矢量，称为角频率或圆频率，称为波矢，读作“h bar”，是量子力学里特有的符号.

 光子假说揭示出光波具有“粒子性”，光的干涉和衍射实验表明光波具有“波动性”，式(1.1.5)和式(1.1.6)把光的这两重性质(粒子性和波动性)联系了起来，等式左边的能量和动量是描述粒子的，等式右边的频率和波长则是描述波动的.光子所具有的这种粒子和波动的两重性称为波粒二象性.值得强调的是，这里只是借助了粒子和波动两个经典物理中的概念，其本质既不是经典波，也不是经典粒子.

 1.1.3 德布罗意波

 德布罗意(de Broglie)在光的波粒二象性的启示下，提出一个假设：不仅静止质量为零的光子具有波粒二象性，而且静止质量不为零的实物粒子，如电子、原子、分子、子弹、足球、地球等，也应该具有波粒二象性.由于实物粒子的粒子性不存异议，德布罗意假设的核心是实物粒子也有波动性，后来称此为德布罗意波或物质波，同样满足式(1.1.5)和式(1.1.6)，故此两式也被称为德布罗意公式或德布罗意关系.由于实物粒子的静止质量，若粒子的运动速度，物质波的波长满足

 (1.1.7)

 图1.1.4低能电子通过晶体后的衍射图样德布罗意提出物质波的假设时并没有实验基础，但被后来的电子衍射等实验现象所证实.图1.1.4是低能电子通过晶体后的衍射图样，说明电子具有波动性.此外，也观察到原子和分子，尤其是C60这样的大分子等微观粒子的衍射现象.各种实验数据都证实物质波确实存在，波长与动量之间满足德布罗意关系.

 假设实物粒子的运动速度是，利用式(1.1.7)可以估算出不同静止质量的实物粒子所对应的物质波的波长，结果见表1.1.1.对比表1.1.2可以看出，电子、质子、分子这些质量很小的“微观”粒子，其波长与熟知的光子波长可比拟.在运动速度时，电子的波长落入红外波段，质子的波长落入紫外波段，C60分子的波长介于紫外和X射线之间.可见，这些微观粒子的波动性是很显著的，可采用与光学中干涉和衍射相类似的装置观测到它们的波动性.对于子弹、铅球、地球这些质量很大的“宏观”粒子来说，其物质波的波长实在是太短了，因此几乎无法从实验上观测到波动性.

 表1.1.1 运动速度为的实物粒子所对应的物质波波长

 表1.1.2 不同频段的光子的波长

 1.1.4不确定度关系

 比起宏观粒子，微观粒子的波动性非常显著，这使得一些对宏观粒子成立的物理概念和规律，对微观粒子不再适用.例如，经典力学表明，质点的位置和动量是可以同时确定的，但对微观粒子来说，这个结论不成立.下面以电子单缝衍射为例来说明这个问题.

 大量的实验表明，电子束通过夹缝时，会像光波一样发生衍射，形成与光的单缝衍射相类似的衍射条纹.如图1.1.5所示，设沿x方向均匀分布的电子束沿y方向入射到狭缝上，入射电子的动量只有y分量，没有x分量.取狭缝中心处为，狭缝在x方向的宽度为，在z方向的长度可视为无穷.如果电子没有波动性，自然不会形成衍射，电子的动量依旧只有，只能在观测屏上处、范围内观测到均匀分布的电子，没有衍射花样，此时电子的x坐标()和动量x分量()是可以同时确定的.然而，实验观测表明，在屏上能观测到衍射图样，说明电子存在波动性.此时考察电子的动量，发现其x分量一般不为零.以一级衍射极小为例，设此时电子动量与y轴的夹角为，则的变化范围是；由衍射公式，此时及，故有，进而有；再根据德布罗意关系，有

 (1.1.8)

 图1.1.5电子单缝衍射示意图此式表明，坐标x的偏差量和动量x分量的偏差量不能同时为零，这称为不确定度关系.如果，表明电子具有确定的位置即，根据式(1.1.8)，必然有.这说明，如果电子的坐标位置得以确定，其动量就完全不能确定，反之亦然.从测量的角度去理解，不确定度关系说明电子的坐标和动量不能同时准确测定.这同经典物理的结论是不一样的，物质波的存在使得经典物理中的许多概念和结论受到了空前的挑战.

 1.1.5 波函数

 普朗克提出的能量量子化，是通过普朗克常量表征出来的.由于非常之小，在很多情况下，尤其在宏观现象中，和其他物理量相比可以略去.例如物质波的波长，与成正比，与静止质量成反比，像电子、质子、原子、分子等微观粒子，因其足够小，的作用不能忽略，导致微观粒子具有相对较长的波长，波动效应显著；而像子弹、铅球、地球等宏观粒子，因其足够大，的作用可以忽略，导致宏观粒子的小到完全可以忽略不计，几乎观测不到波动现象.所以，凡是能起显著作用、不能被忽略掉的现象可以称为量子现象.不确定度关系的本质是物质波的存在，是典型的量子现象.黑体辐射、光电效应、固体比热容、氢原子光谱、原子结构与稳定性等很多经典物理遇到困难的问题，都是在其中的作用不能忽略，量子效应显著，所以必须建立新的理论体系——量子理论来加以解释.

 量子现象的特征之一是粒子具有波粒二象性，为此，引入这一物理量来对波粒二象性加以描述.下面从经典物理中的平面波出发来构建波函数的数学形式.在三维笛卡儿坐标系中，振幅为、圆频率为、波长为、沿波矢方向传播的平面波可表示为

 (1.1.9)

 式中，和分别为和方向上的单位矢量，.此式也可用复数形式表达为

 (1.1.10)

 式中，将式(1.1.5)和式(1.1.6)代入式(1.1.10)中，得到

 (1.1.11)

 式(1.1.11)不仅能通过周期函数的特性来描述波动性，而且能够通过和这两个反映粒子特性的物理量来描述粒子性.故式(1.1.11)描述的是粒子的波粒二象性，可视作波函数的数学形式，一般而言它是随时空变化的复函数.

 式(1.1.11)对应频率和波长都是常量的平面波.由德布罗意关系可知，频率和波长都是常量的粒子，其能量和动量都是常量.由于自由粒子的能量和动量都是常量，故式(1.1.11)描述的应该是自由粒子的波函数.一般情况下粒子的波函数的时空变量的函数形式如何确定，需要建立一整套理论来解决.这样的理论就是量子力学，确定粒子的波函数是其核心任务之一.