线性代数

第1章 行列式

 行列式是线性代数的重要组成部分， 它不仅是研究矩阵和线性方程组理论的有用工具， 而且在工程技术、经济学和管理学等领域中有着极其广泛的应用. 本章在定义二阶、三阶行列式的基础上， 进一步讨论 n 阶行列式的定义、性质和计算， 介绍行列式在解线性方程组中的应用——克拉默 (Cramer) 法则.

 1.1 行列式的定义与性质

 1.1.1 二阶、三阶行列式

 先来看中国古代的鸡兔同笼问题.《孙子算经》中记载了一个有趣的问题: “今有雉兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问雉兔各几何?” 这个问题用二元一次方程组很容易求解， 可设雉 (鸡) 有 x1 只， 兔有 x2 只， 则有

 用消元法容易求得 x1 = 23， x2 = 12. 即鸡有 23 只， 兔有 12 只.

 我们将问题一般化， 把二元一次方程组的一般形式写为

 用 a22 乘第一个方程且用 a12 乘第二个方程， 所得的两个方程相减， 当 a11a22.a12a21 .= 0 时， 就可解出 x1. 同理用 a21 乘第一个方程且用 a11 乘第二个方程， 所得的两个方程相减， 当 a11a22 . a12a21 .= 0 时， 就可解出 x2. 所以当a11a22 . a12a21 .= 0 时， 有

 这就是二元一次方程组的求解公式. 但这个公式不好记， 为了便于记住这个公式， 我们引进记号* 称它为二阶行列式， 定义为

 二阶行列式中的每个数称为元素， 横排称为行， 竖排称为列. 利用二阶行列式的定义， 由方程组 (1.1.1) 中的未知量 x1， x2 的系数可确定二阶行列式

 把式 (1.1.2) 中的分子分别记为

 Dj 实际上是将 D 的第 j 列元素用方程组右端的常数项替换后所得到的二阶行列式 (j = 1， 2). 所以当方程组 (1.1.1) 的系数行列式 D .= 0 时， 它的解就可以简洁地表示为

 回顾鸡兔同笼问题， 利用行列式求解得

 对于解三元一次方程组

 同二元一次方程组一样， 用加减消元法消去 x3， 就得到只含 x1， x2 的两个新的二元一次方程组， 再从这两个方程组中消去 x2 就得到

 当 x1 的系数不为零时， 就可解出 x1. 用类似的方法可解出 x2 与 x3.

 和前面一样， 为了便于记忆， 我们定义三阶行列式

 如果三元一次方程组的系数行列式 D .= 0， 那么可得解为

 其中

 三阶行列式还可用对角线法则表示如下 (图 1.1.1).

 图 1.1.1 三阶行列式的对角线法则

 例 1.1.1 解三元一次方程组

 解 因为系数行列式

 且*35， 所以方程组的解为

 利用行列式对二元一次方程组、三元一次方程组的讨论， 其结果简洁、美观，体现了数学美. 那么， 能否将这一结果推广到有 n 个未知量、n 个方程的线性方程组呢? 即能否利用行列式给出 n 元线性方程组解的公式呢? 1.3 节将给出肯定的回答， 下面先介绍 n 阶行列式的定义.

 1.1.2 n 阶行列式

 为了定义 n 阶行列式， 下面来分析二、三阶行列式的定义， 然后找出规律. 利

 用二阶行列式的定义， 三阶行列式 (1.1.4) 可以变为

 记*分别称为

 元素 a11， a12， a13 的余子式， 它们是划掉元素 a1j 所在第一行的元素和所在的第j列元素后的二阶行列式. 为了使表示式更简洁， 记 A1j = (.1)1+jM1j ， j = 1， 2， 3， 称 A1j 为元素 a1j 的代数余子式， 于是三阶行列式可写成

 D = a11A11 + a12A12 + a13A13.

 规定一阶行列式就是这个元素， 即 |a11| = a11， 则二阶行列式可写成

 这里 A11 = a22，A12 = .a21.

 现在可以将二、三阶行列式推广到 n 阶行列式.

 定义 1.1.1 由 n2 个数排成 n 行 n 列的一个算式

 称为 n 阶行列式， 可记为 D = |aij |. 这里 A1j = (.1)1+jM1j ， 其中

 是行列式 D 中划掉第一行元素和第 j 列元素后所构成的 n.1 阶行列式， 称 M1j为元素 a1j 的余子式， 称 A1j 为元素 a1j 的代数余子式. 对于行列式 (1.1.5) 中的一般元素 aij 的余子式和代数余子式可类似定义.

 注 一个 n 阶行列式按照定义逐次迭代， 可以得到与元素有关的展开式， 这个展开式具有三个特点: .1 展开式共有 n! 项; .2 每一项都是来自不同行不同列的 n 个元素相乘; .3 每一项的符号由所谓的 “逆序数” 确定. 有兴趣的读者可以参考相关教材.

 式 (1.1.5) 相当于行列式按第一行展开， 那么能否按其他行 (或列) 展开呢? 这个问题将在后面进一步研究.

 元素 a11， a22， ？ ？ ？ ， ann 所在的对角线称为主对角线.

 例如， 在四阶行列式*中， 元素 a32 的余子式和代数余

 子式分别为*

 利用定义可进行较高阶行列式的计算.

 例 1.1.2 计算四阶行列式*

 解 由式 (1.1.5) 得

 从这个例子已初步看出: 用定义计算行列式， 阶数越高计算量越大， 既耗时又容易出错， 所以需要探讨计算行列式更有效的方法. 为了简化行列式的计算， 下面

 给出行列式的性质.

 1.1.3 行列式的性质

 性质 1.1.1 行列式 D 与其转置行列式 DT 相等， 即 D = DT. 这里将行列式中的行与列按对应的顺序互换得到新的行列式DT 称为 D 的转置行列式. 显然 D 也是 DT 的转置行列式.

 例如二阶行列式*

 对于一般的 n 阶行列式， 可以用数学归纳法证明这一性质.

 性质 1.1.1 说明在行列式中行与列的地位是相同的， 凡是行列式对行成立的性质， 对列也成立， 反之亦然. 譬如 n 阶行列式的定义是按第一行展开的， 由于行与列的地位一样， 所以行列式也可以按第一列展开.

 性质 1.1.2 行列式中任意两行 (列) 互换后， 行列式的值改变符号.

 证明 用数学归纳法， 对二阶行列式结论显然正确.

 假设对任意 n . 1 阶行列式结论正确. 由 n 阶行列式定义式 (1.1.5) 可知结论对 n 阶行列式也正确.

……