系统、稳定与控制基础

J.Poincaré?在 1908 年的 Science and method 中指出: “The true method of foreseeing the future of mathematics is to study its history and its actual state” (若要预见数学的未来, 适当的途径就是研究这门科学的历史和现状). Sir Dampier-曾经说过: “再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅 力了.” 陈省身?也指出: “了解历史的变化是了解这门科学的一个步骤.” H. Weylˉ也说过: “如果不去追溯自古希腊以来各个时代所发现与发展起来的概 念、方法和结果, 我们就不能理解前 50 年数学的目标, 也不能理解它的成就.” 本书从讲述微分方程和控制理论的历史开始, 感受学习乐趣, 树立科学 精神.
长久以来, 人们一直利用反馈来控制系统. *早的反馈系统出现在公元前 330 年的古希腊, 这种系统运用在一种改进的浮球控制器装置上. Ktesibios?的 水钟就运用了浮球控制器的原理, 这项发明至今仍在使用. 李约瑟-在 Science and civilisation in China (中国科学技术史) 中称其为 “中国古代*伟大的科 学家之一”. 大约在公元前 250 年, 为了使燃油在油泵中能保持恒定的液位, Philon?在一种油泵装置中采用了浮球控制器. Heronˉ的 “Pneumatica” 中有 很多应用浮球控制器的例子. 在我国古代, 人们就凭借着对反馈概念的朴素认识, 发明了许多闪耀着控 制理论智慧火花的杰作, 有了自动控制技术的萌芽. 两千多年前我国发明的指南针就是一种开环自动调节系统; 苏颂和韩公廉利用天衡装置制造的水运 仪象台, 就是按负反馈原理构成的一个闭环非线性自动控制系统. 
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的学科. 1614 年, SirNapier2创 立对数时讨论过微分方程的近似解. da Vinci3的饿狼扑兔问题涉及了微分 方程的思想. Sir Newton′和 von Leibnizμ在创建微积分时都处理过与微分 方程有关的问题. 例如, Sir Newton 就给出了级数展开法和待定系数法, 在 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica 中主要研究了在天文学中的应用. 1842 年, Baron de Cauchy?完善了待定系数法, 给出 “行列式” 术语. Sir Newton 在研究天体力学和机械动力学时发现了行星运动规律. le Verrier-和 J. Adams?分别计算出那时尚未发现的海王星的位置. 这使人们深信微分方程 的巨大力量. 17 世纪末对单摆运动、弹性理论和天体力学等实际问题的研究引出了 一系列微分方程. 1690 年, Jacob Bernoulliˉ提出了 “等周问题” “悬链线问 题” 以及 “正交轨线问题”, 他本人解决了 “等周问题”. 1691 年, von Leibniz, C. Huygens° 和 Johann Bernoulli±独立地解决了 “悬链线问题”. 1716 年, Sir Newton解决了“正交轨线问题”; 进一步的工作是Nicolaus(II)Bernoulli2解决 的; J. Hermann3于 1717 年给出了一般规则. 还是在 1691 年, Jacob Bernoulli 在研究船帆在风力下的形状问题, 即 “模盖问题” 时, 得到了一个二阶方程; Johann Bernoulli 处理了这个方程, 并指出 “模盖问题” 与 “悬链线问题” 问题 在数学上是相同的. 1693 年, C. Huygens 明确说到了微分方程, 他还设计了单 摆时钟, 研究了速度控制问题, 这是控制理论的近代发端. 那时, 航海对科技有 着强烈的推动作用, 提出了准确时钟的需求. 有了微分方程, 就要求解, 并对结果进行物理解释, 从而预测物理过程的特 定性质, 所以求解就成为核心问题. 但求解困难很大, 一个看似简单的微分方 程也没有普遍适用的方法使人们在所有的情况下得出它的解. 因此, 人们起初 还只是采用特殊的技巧来解决特殊的方程, 然后才逐渐开始寻找带有普遍性的 方法.
从 20 世纪 50 年代开始, 控制理论的一般方法已经开始形成, 并且已可处 理时变系统和非线性系统了. 1954 年, 钱学森?对 N. Wiener 的控制理论在工 程系统中的应用进行了总结. 1956 年, L.Pontryagin 发表了《*过程数学理 论》-, 于 1961 年证明并发表了*值原理. 1957 年, R. Bellman?提出了离 散多阶段决策的*性原理, 创立了动态规划方法, “Dynamic Programming” 奠基了*控制理论. *值原理和动态规划方法为解决*控制问题提供 了理论工具. 1960 年, R. Kálmánˉ发表了 On the general theory of control systems 等文章, 引入了状态空间分析系统, 提出可控性、可观性、*调节器、 Kálmán 滤波和线性系统在二次型性能指标下的*控制问题等概念, 奠基了 现代控制理论. 1964 年, E. Jury°提出了 Z 变换方法, 奠基数字控制及数字信 号处理理论. 这一时期发展起来的现代控制理论是以引入状态变量和状态空间 来描写系统为标志的, 即 输入 u ∈ U =? 状态 x ∈ X =? 输出 y ∈ Y 在读者已有微积分、矩阵理论和泛函分析基本知识的基础上, 从深度和广 度两个方面深入讨论稳定性和系统控制的基础理论. 本书试图做到深入浅出和 通俗易懂, 能对数学类和控制类的高年级学生和研究生都有用, 既注意到其思 想性和逻辑性, 又注意到其直观性和通俗性. 全书内容共 10 章, 大体上可分为五个部分. *部分是第 1 章的内容, 是本书需要用到的预备知识, 是非常重要的 基础知识. 这一部分主要是集和映射的基本知识, 包括集和映射、基数、半 序与格、群环域 ?; 线性空间的基本知识, 包括度量空间、开集与闭集、极 限与连续性、线性空间和子空间、线性映射与矩阵、压缩映像原理、不变子 空间 ?、内积空间、对偶空间和伴随算子等; 矩阵理论中的一些基本定理, 包括 矩阵函数对矩阵变量的导数、Jacobi 分解、Hamilton±-Cayley2定理和*小多项式、矩阵指数与对数函数、Rayleigh?商等; *后还简单介绍了 Laplace 变 换、Gr?nwall--Bellman 不等式、平面二次系统、积分方程的基本知识和状态 变量图的基本表示方式. 有些内容很重要但不方便展开处理, 就简单罗列了一 下, 读者需要进一步了解时, 可以找一些专门的书来读; 有些内容很重要又不是 很难, 就简要进行了处理. 下面的思路是这样的, 先由实际问题引出非线性系统, 然后在数学上先研 究零输入的非线性系统, 这就是第二部分的内容, 包括第 2 章和第 3 章. 其中, 第 2 章先通过几个引例给出非线性系统和控制系统的一般描述, 再系统地介绍 非线性系统解的一般理论, 如解的存在惟一性与存在性、解的延拓和解对初值 和输入的连续依赖性与可微性等, 还包括微分和积分不等式与 Chaplygin?比 较定理. 第 3 章系统地介绍 Lyapunov 稳定性的理论基础, 包括 Lyapunov 函 数、Diniˉ导数、Lie°导数 ? 概念和 Lyapunov 稳定性的基本理论. 为了研究非线性系统, 可利用 Taylor±公式将其进行线性化, 进而研究线 性系统的性质, 这就是第三部分的内容, 包括第 4 章 ～ 第 6 章, 是线性系统的 一般理论. 其中, 第 4 章先给出了非线性系统的线性化, 再研究时变线性系统 和周期线性系统的基本理论, 包括时变线性系统和周期线性系统解的基本理论 和稳定性, 以及可控性与可观性的基本概念等; 第 5 章比较详细地介绍时不变 线性系统的基础理论及其在控制理论中的应用, 包括时不变线性系统解的基本 理论和可控性与可观性的基本概念等, 关于可控性包括可控性与可控子空间、 可控性分解、可控标准形、可控性指数和输出可控性等, 关于可观性包括可观 性与对偶原理、不可观子空间、可观性分解、可观标准形和可观性指数等, 还 介绍了可控性与可观性在稳定性上的应用、线性系统的传递函数与传递矩阵 和线性系统的实现等; 第 6 章介绍矩阵线性系统的基本理论和进一步的控制理 论, 包括 Lyapunov 矩阵方程、时不变线性系统的可稳性与与极点配置、输出 反馈与极点配置和可检性等, 介绍了状态观测器与状态反馈控制器的基本理论和扰动系统的稳定性与反馈镇定, 还介绍了线性系统的*控制和变结构控制 的基本理论. 将系统进行时间离散化, 或者离散类似, 或者直接从实际问题中提出离散 系统, 就可研究离散系统的稳定性和控制等, 这就是第四部分的内容, 即第 7 章的内容, 介绍离散系统的引入和连续时间系统的时间离散化, 虽然有些内 容是连续时间系统的离散类似, 但也有些内容并非是简单的离散类似, 甚至 有完全不同的结果, 仍然进行了细致处理, 并且尽可能在证明的细节上体现方 法的不同, 并省略与连续情形类似的证法, 其中, 举例性地介绍了离散系统的 Lyapunov 稳定性理论; 还介绍了时变和时不变离散线性系统解的基本理论和 稳定性, 举例性地介绍了可控性与可观性的基本概念等, 重点是时间离散化线 性系统可控性与可观性的保持; *后介绍了与连续情形有符号差别的*控制 的基本理论. 如果系统中导数是分数阶的, 如果

*部分为预备知识，从集合和影射 的基本概念开始，介绍度量空间和线性空间，以及回顾矩阵理论的一些重要结果和其他方面 的一些基本知识；第二部分介绍非线性系统的一般理论和 Lyapunov 稳定性理论的系统理论； 第三部分为线性系统的系统理论，先介绍时变系统，再介绍时不变系统，*后介绍线性系统 理论知识；第四部分介绍离散系统（特别是与连续系统不同的内容）；第五部分是应用部分， 分别介绍分数阶系统、时滞系统和多智能体系统。 本书读者需具备一定矩阵分析基础知识，适合高等学校数学类专业和控制类专业高年级 学生、理工类研究生和博士后研究人员学习和研究之用，也可供高等学校教师教学和科研参考。

时宝，辽宁北票人。海军航空大学教授、博士生导师、海军大校军衔。*大学数学课程教学指导委员会委员；山东数学会常务理事，全军优秀教师。主要研究方向：时滞微分方程与控制系统。曾获山东省科技进步二等奖1项；省级教学成果二等奖1项；军队院校育才奖金奖；军队级教学成果二等奖1项；烟台市科技进步二等奖1项；获国家自然科学基金资助和山东省自然科学基金资助各1项；指导的研究生获山东省优秀博士论文和硕士论文各1篇，全军优秀硕士论文2篇，海军优秀硕士论文2篇。