构造非线性波方程行波解的Weierstrass椭圆函数法

目录

前言

第1章  辅助方程法初步  1

1.1  辅助方程法简介  1

1.2  Jacobi椭圆函数展开法简介  14

1.3  一般椭圆方程的Weierstrass椭圆函数公式解  19

1.4  Weierstrass型Riccati方程展开法  30

第2章  Weierstrass型一阶辅助方程法  56

2.1  Weierstrass型F-展开法  56

2.2  Weierstrass型第三种椭圆方程展开法  68

2.3  Weierstrass型辅助方程法  80

2.4  Weierstrass型第四种椭圆方程展开法  98

第3章  Weierstrass型高阶辅助方程法  110

3.1  种Weierstrass型二阶辅助方程法  110

3.2  第二种Weierstrass型二阶辅助方程法  121

3.3  一个Weierstrass型三阶辅助方程法  125

第4章  Weierstrass型子方程展开法  139

4.1  种Weierstrass型子方程展开法  139

4.2  第二种Weierstrass型子方程展开法  148

4.3  第三种Weierstrass型子方程展开法  169

参考文献  187

第1章辅助方程法初步　　1.1辅助方程法简介　　辅助方程法是将一个辅助常微分方程的某个解为项的截断形式级数展开式代入非线性波方程后将其化为代数方程组，再借助计算机代数系统进行求解，从而构造非线性波方程的截断形式级数解的代数方法，如扩展双曲正切函数法、通用Riccati方程展开法、辅助方程法、一般椭圆方程展开法、通用F-展开法等[1].　　通常一个给定的非线性波方程可以通过行波变换转化为行波约化的常微分方程，然后引入一个以这个行波的相位为自变量且解为已知的辅助常微分方程，再适当选择以辅助方程的解为项的截断形式级数展开式并将其代入行波约化的常微分方程，从而将求解非线性波方程的问题转化为求解代数方程组的问题，这是实现辅助方程法的基本思路.　　假设给定了一个(1+1)-维非线性波方程　　(1.1)　　这里函数H一般为所示变元的多项式且含有未知函数的非线性项及线性*高阶导数项.　　作行波变换　　(1.2)　　其中ξ=k(x-ct)+ξ0为行波的相，k为波数，c为波速，ξ0为初相.　　通过变换(1.2)可将方程(1.1)转化为常微分方程　　G(u，u′，u′′， )=0，(1.3)　　这里G是所示变元的多项式，而　　用辅助方程法求解非线性波方程的具体步骤可概括为如下四步.　　第一步通过行波变换(1.2)把给定的非线性波方程(1.1)转化为常微分方程(1.3).　　第二步引入以F=F(ξ)为未知函数、相位ξ为自变量的辅助常微分方程　　且已知它的一个解F=F(ξ)，则可设方程(1.3)具有如下截断形式级数解　　其中为待定常数，n称为平衡常数，可令方程(1.3)中的线性*高阶导数项与*高幂次的非线性项相互抵消而确定.　　第三步将(1.5)同辅助方程(1.4)