Clifford代数及其在量子通信中的应用

Clifford代数是由英国数学家W.K.Clifford (1845—1879)引入的一类结合代数，其目的是把四元数推广到任意有限维的情形，由于Clifford代数具有通用性的特点以及直观的几何解释，其在物理黑洞、宇宙论、量子轨道、量子场理论、机器人、计算机视觉等领域有广泛的应用，Clifford代数的研究在Cartan、Atiyah、Bott和Shapiro提出实Clifford代数的八周期理论后达到了空前的高峰.本书研究了实Clifford代数Clp,q在中心上的张量积及其表示、实Clifford代数Clp,q的单位群的矩阵表示、Clifford群的性质和实Clifford代数的生成空间——n维Minkowski空间中的格序半群结构.

量子通信是指利用量子纠缠效应进行信息传递的一种新型的通信方式，是近二十年发展起来的新型交叉学科，是量子论和信息论相结合的新的研究领域.量子通信可以从根本上解决国防、金融政务、商业等领域的信息安全问题，而利用Clifford代数研究量子相干性、量子纠缠等量子通信问题已经成为国际研究热点.

本书内容安排如下:

第1章介绍了本书的研究背景及相关进展，介绍了与本书研究相关的基础知识，包括实Clifford代数和量子通信相关知识.

第2章首先研究了实Clifford代数Clp,q在中心上的张量积和矩阵表示。根据实Clifford代数的八周期理论给出了实Clifford代数Clp,q的张量积的统一表达式，并同时给出了张量积形式下的矩阵表示。然后给出了实Clifford代数Cl0,2k 1的一个较简单的张量积和矩阵表示。最后讨论了实Clifford代数Clp,q的张量积因子Cl1,1的结构.

第3章首先给出了实Clifford代数的矩阵表示分类，然后介绍了Clp,q(p q=3)的忠实的实矩阵表示与非忠实的实矩阵表示，进而能够算出实Clifford代数的全部的实矩阵表示. 

第4章在第2章和第3章研究的实Clifford代数的张量积及其表示的基础上讨论了实Clifford代数的单位群Cl*p,q的矩阵表示.利用实Clifford代数的三种对合刻画了实Clifford代数Clp,q(p q =3)的可逆元的特点并给出了其单位群的矩阵表示。

第5章研究了实Clifford代数Cln-1,1的生成空间Rn-1,1中的格序半群结构和格序半线性空间的结构.

第6章首先利用Clifford代数Cl3的基元研究了2比特X态通过幅值阻尼信道相干性相对熵的演变.其次研究了三类量子态在取定一组相互无偏基下的密度矩阵的性质及其相干性的相对熵度量的性质.

Clifford代数是由英国数学家 W.K.Clifford (1845—1879) 引入的一类结合代数，在Cartan、Atiyah、Bott和 Shapiro 提出实 Clifford 代数的八周期理论后达到了空前的高峰.本书首先根据实Clifford代数的八周期理论给出了实 Clifford 代数Clp,q的张量积的统一表达式、实 Clifford代数Clp,q的单位群的矩阵表示、Clifford群的性质和实 Clifford代数的生成空间——n维Minkowski 空间中的格序半群结构.而后利用 Clifford 代数 Cl3的基元研究2比特X态通过幅值阻尼信道相干性的相对熵度量演变，研究三类量子态在取定一组相互无偏基下的密度矩阵的性质及其相干性的相对熵度量的性质.
 

宋元凤，吉林辉南人，博士，通化师范学院数学学院副教授。曾在Laser Physics Letters、International Journal of

Theoretical Physics、Advances in Applied Clifford Algebras、《吉林大学学报》和《东北师大学报》等刊物上发表论文20余篇。主持吉林省教育厅科研课题3项，吉林省教育厅教学改革研究重点课题1项，吉林省教育厅教学改革研究一般课题1项，参与省级课题多项。曾指导学生参加美国大学生数学建模竞赛并获得国际二等奖。

1 预备知识

1.1 实Clifford代数预备知识

1.2 量子通信预备知识

2 实CIifford代数的张量积

2.1 实Clifford代数在中心上的张量积

2.2 Cl0,2k＋1的张量积分解式与矩阵表示

2.3 实Clifford代数的张量积因子的结构

3 实CIifford代数的矩阵表示

3.1 Clp,q的表示

3.2 Clp,q ( p＋q=3) 的实矩阵表示

4 实CIifford代数单位群

4.1 实Clifford代数单位群的矩阵表示

4.2 Cl*p,q ( p＋q=3) 及其矩阵表示

4.3 实Clifford群的若干性质

5 实CIifford代数生成空间的格序结构

6 实CIifford代数在量子通信上的应用

6.1 2比特X态通过幅值阻尼信道相干性相对熵的演□

6.2 X态在3维相互无偏基下的相干性相对熵的研究

参考文献

致谢

Clifford代数是由英国数学家 W.K.Clifford (1845—1879) 引入的一类结合代数，其目的是把四元数推广到任意有限维的情形，由于Clifford代数具有通用性的特点以及直观的几何解释，其在物理黑洞、宇宙论、量子轨道、量子场理论、机器人、计算机视觉等领域有广泛的应用，Clifford代数的研究在 Cartan、Atiyah、Bott 和 Shapiro提出实Clifford代数的八周期理论后达到了空前的高峰.本书研究了实Clifford代数 Clp,q在中心上的张量积及其表示、实Clifford 代数Clp,q的单位群的矩阵表示、Clifford群的性质和实Clifford代数的生成空间——n维 Minkowski 空间中的格序半群结构.

量子通信是指利用量子纠缠效应进行信息传递的一种新型的通信方式，是近二十年发展起来的新型交叉学科，是量子论和信息论相结合的新的研究领域.量子通信可以从根本上解决国防、金融政务、商业等领域的信息安全问题，而利用Clifford代数研究量子相干性、量子纠缠等量子通信问题已经成为国际研究热点.

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本书首先根据实Clifford代数的八周期理论给出了实 Clifford 代数Clp,q的张量积的统一表达式、实 Clifford代数Clp,q的单位群的矩阵表示、Clifford群的性质和实 Clifford代数的生成空间——n维Minkowski 空间中的格序半群结构.而后利用 Clifford 代数 Cl3的基元研究2比特X态通过幅值阻尼信道相干性的相对熵度量演□，研究三类量子态在取定一组相互无偏基下的密度矩阵的性质及其相干性的相对熵度量的性质.

本书研究内容如下：实Clifford代数的张量积分解，并得到比较全面的结果；实Clifford代数和实Clifford代数的Cl1ifford群、单位群矩阵表示，一类实C1ifford代数的多序结构、格序半群结构、格序半线性空间结构；一类实Clifford代数在量子通信领域中的应用；利用实Cliff ord代数的基研究2比特x态经过幅值阻尼信道相对熵相干性演变；态在相互无偏基下的相对熵相干性；利用实Cliff ord代数研究量子通信中的量子逻辑问题。