数学教育论文写作与案例分析/数学教学技能系列丛书

第1章　数学教育研究中的问题　　1.1　数学问题　　“问题是数学的心脏！”这是美国数学家哈尔莫斯的名言. 确实如此， 问题推动了数学的发展， 数学家一方面解决各种各样的数学问题， 同时也在“制造”数学问题， 而正是通过研究数学问题， 数学系统才不断完善. 爱因斯坦也认为， 发现问题比解决问题更重要.　　某类问题对于一般数学进展的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的. 只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力; 而问题缺乏则预示着这门科学独立发展的衰亡或终止. 正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样， 数学研究也需要自己的问题. 正是通过这些问题的解决， 研究者锻炼其钢铁意志， 发现新方法和新观点， 达到更为广阔和自由的境界.　　例如， 法国数学家费马提出这样的问题: 对于给定的正整数， 方程能否有正整数解呢？据说当时费马提出这样的问题， 在一本书的空白写下这样的评注: 对于任意的， 方程在自然数中是不可解的. 这就是著名的费马大定理.　　1995年， 普林斯顿大学的安德鲁？怀尔斯(Andrew Wiles)在当代权威的数学杂志普林斯顿的《数学年刊》上发表了论文《模椭圆曲线和费马大定理》. 经过350多年的努力， 费马大定理*终被怀尔斯证明. 费马大定理本身在数学上或许并不那么重要， 但是在人们试图证明它的过程中引出许多数论中的重要发现. 事实上， 关于费马大定理的研究不仅促进了代数数论和算术代数几何的建立， 而且还发展了一系列先进的数学技术， 形成了现代数论无尽的前沿.　　类似的问题还有很多， 例如，　　一般高次方程求根公式问题: 如何用代数方法解一般的高于四次的一元方程？伽罗瓦(Galois， 1811—1832)在解决这一世界性难题时首次使用了群的观点， 为群论的创立奠定了基础.　　哥德巴赫(Goldbach， 1690—1764)猜想: 任何一个大于4的偶数都能表示为两个奇素数之和.　　纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性问题: 证明或反证了纳维-斯托克斯方程解的存在性和光滑性(在合理的边界和初始条件下).　　伯奇与斯温纳顿-戴尔(Birch and Swinnerton-Dyer， BSD)猜想: 对有理数域上的任一椭圆曲线， 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的阿贝尔(Abel)群的秩.　　这些问题都是基本的数学问题， 除了费马大定理已经解决了之外， 后面的几个问题还在研究中. 而对于数学教材中的许多问题， 大都是已经解决的问题， 学生通过解答这些问题， 加深对数学概念的理解， 提高相关公式定理的应用水平.　　例如， 2017年高考试题(全国I卷理科数学第20题):　　已知椭圆， 四点中恰有三点在椭圆C上.　　(1) 求C的方程.　　(2) 设直线l不经过P2点且与C相交于A， B两点. 若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1， 证明: l过定点.