应用高等数学

戴新建，男，长沙民政职业技术学院通识教育中心讲师，大数据应用工程师，湖南省高校青年骨干教师。长期从事高职教育、全国大学生数学建模竞赛培训工作，指导学生参加全国大学生数学建模竞赛荣获国家一等奖3项、二等奖3项，2013年湖南省信息化教学设计大赛荣获高职数学组一等奖，参与省级课题3项，发表相关研究论文10余篇。

第 1章　预备知识 1

第 一节 映射与函数 1

一、映射 1

二、函数的概念 4

三、函数的性质 6

四、复合函数与反函数 7

五、初等函数 11

第二节 函数思想及其应用 13

一、函数思想与函数模型 13

二、函数模型举例 14

三、基于函数思想的程序设计 15

第三节 数学软件MATLAB简介 17

一、MATLAB界面 17

二、MATLAB基本操作 18

三、MATLAB数组运算 20

四、MATLAB符号运算 22

五、MATLAB函数 24

实训 MATLAB简单程序设计 25

拓展学习：椅子能在不平的地面上

放稳吗 28

练习1 29

第 2章　函数极限与逼近思想 32

第 一节 极限的概念 32

一、数列极限 32

二、函数极限 35

第二节 极限的运算 37

一、极限的性质 37

二、极限的四则运算法则 37

三、两个重要极限 39

四、无穷小与无穷大 41

第三节 函数的连续性 44

一、连续函数的概念 44

二、初等函数的连续性 45

三、闭区间上连续函数的性质 46

第四节 逼近思想及其应用 47

一、离散数据的线性拟合 48

二、离散数据的多项式拟合 50

实训 一元函数的MATLAB绘图与

非线性拟合 52

拓展学习：反复学习及效率 58

练习2 59

第3章　一元函数微分学及其应用 62

第 一节 导数的概念 62

一、导数的定义 62

二、导数的几何意义 64

三、可导与连续的关系 65

第二节 导数的运算 66

一、常数和基本初等函数的导数公式 66

二、导数的四则运算法则 66

三、复合函数的求导法则 68

四、高阶导数 70

五、隐函数的及由参数方程所确定的

函数的导数 71

第三节 函数的微分 72

一、微分的概念 72

二、微分公式与微分的运算法则 73

三、微分在近似计算中的应用 75

第四节 导数的应用 76

一、洛必达法则 76

二、函数单调性的判定方法 78

三、函数的凹凸性及拐点 80

四、函数的极值及其求法 81

五、函数的最值及其求法 83

实训 利用MATLAB求方程的

近似根 85

拓展学习：飞越北极 90

练习3 93

第4章　一元函数积分学及其应用 95

第 一节 不定积分的概念与性质 95

一、原函数的概念 95

二、不定积分的概念 96

三、不定积分的性质 97

四、不定积分的几何意义 97

第二节 不定积分的运算 97

一、不定积分的基本公式 97

二、不定积分的运算法则 98

三、不定积分的方法 98

第三节 定积分的概念及性质 106

一、曲边梯形的面积 106

二、定积分的概念 109

三、定积分的性质 110

第四节 定积分的计算 111

一、变上限定积分 111

二、牛顿—莱布尼茨公式 112

三、定积分的换元积分法 113

四、定积分的分部积分法 115

第五节 定积分在几何上的应用 116

一、微元法 116

二、直角坐标系中平面图形的面积 116

三、旋转体的体积 120

实训 定积分的近似计算及

MATLAB实现 122

一、利用矩形法计算定积分的近似值 123

二、利用梯形法计算定积分的近似值 124

三、利用抛物线法计算定积分的近似值 125

拓展学习：火箭飞出地球问题 127

练习4 129

第5章　多元函数微积分 132

第 一节 多元函数的概念、极限与

连续性 132

一、多元函数的概念 132

二、多元函数的极限 133

三、多元函数的连续性 134

第二节 偏导数与全微分 135

一、多元函数的偏导数 135

二、全微分 139

第三节 多元复合函数与隐函数的

偏导数 140

一、多元复合函数的偏导数 140

二、隐函数的偏导数 142

第四节 偏导数的应用 144

一、多元函数的极值及其求法 144

二、多元函数的最值及其求法 147

三、多元函数的条件极值及其求法 148

第五节 二重积分及其应用 150

一、二重积分的概念 150

二、二重积分的性质 151

三、二重积分的计算 151

实训 MATLAB多元函数图像处理及

多元线性回归 155

拓展学习：竞争性产品在生产、

销售中的利润最大化 161

练习5 163

第6章　无穷级数 166

第 一节 常数项级数的概念和性质 166

一、常数项级数的概念 166

二、收敛级数的基本性质 170

第二节 常数项级数的审敛法 170

一、正项级数及其审敛法 170

二、交错级数及其审敛法 173

三、绝对收敛与条件收敛 174

第三节 幂级数 174

一、幂级数及其收敛域 174

二、幂级数的运算性质 176

第四节 函数的幂级数展开式及其

应用 177

一、泰勒公式 177

二、将函数展开成幂级数 178

三、幂级数展开式的应用 181

实训 利用函数的幂级数展开式进行

近似计算 181

拓展学习：分形几何中的Koch

雪花 184