渴望不可能:数学的惊人真相

本书缘起于一篇我（有点半开玩笑地）称之为“数学接受不可能”的文章。1984年，我为莫纳什大学的《函数》（Function）杂志撰写了这篇文章，主要目的是要表明左边所显示的这幅“不可能”图形（彭罗斯三杆）实际上并非不可能。这个三角形存在于一个完全合理的空间之中，这个空间不同于我们认为自己居住在其中的空间，然而却是有意义的，并为数学家所知。我希望通过这个例子向大众展示，数学是一门需要想象力，甚至可能需要幻想的学科。
有许多表面看来不可能的例子，它们对于数学而言很重要，而数学家也对这种现象感到震撼。例如，戴维斯（Philip Davis）在1965年出版的《矩阵的数学》（The Mathematics of Matrices）一书中写道： 
数学被誉为一门容不下任何矛盾的学科，而事实上它却有着与矛盾和睦相处的悠久历史，这看上去有些荒谬。在2500年的时间里，从人们对数的概念所做的扩展中，尤其能看出这一点……从某一合适的立场来看，每一次扩展都是克服了一系列相互矛盾的需求。
数学语言中散落着一些贬义的和神秘的词语——例如无理的、虚的、不尽根的、超越的——这些词语曾用来嘲弄那些据说不可能的对象，而且这些还只不过是用于数的词语。几何中也有许多概念在大多数人看来是不可能的，例如第四维、有限宇宙和弯曲空间——然而它们对于几何学家（及物理学家）而言却是不可或缺的。因此，数学无疑并没有把不可能当成一回事，而且似乎通过这样做来取得进展。
问题是： 这是为什么？
我认为俄罗斯数学家科尔莫戈罗夫（A. N. Kolmogorov）在1943年对其中的原因作出了的表述： 
在任何给定的时刻，“平凡的”和不可能之间只隔着薄薄的一层。数学发现就是在这一层中作出的。
换言之： 数学就是一个与不可能发生近距离冲突的故事，因为数学中的一切伟大发现都接近于不可能。本书的目的就是，通过呈现在整个数学范围内的一些有代表性的冲突，简略地而且几乎不需要任何预备知识地讲述这个故事。通过这种方式，我还希望能捕捉到某种变化不定的观念的感觉，而在将发现书写成文的过程中，常常会丢失这种感觉。教科书和研究论文中略去了这些与不可能的冲突，在引入新概念时只字不提它们，不用它们来澄清混淆之处。这样处理当然能做到长话短说，但我们必须去体验其中的一些困惑，才能理解为什么需要这些新的、奇怪的构想。
知道为什么需要新构想会有所帮助，但是通往数学之路仍然没有捷径可走。具有良好高中数学知识背景的读者应该能够知道本书中的全部概念，并能理解大部分概念。不过，有许多概念很难，而且也没有任何方法来降低难度。你可能不得不将某些段落反复阅读好几遍，或者重新阅读书中先前的一些部分。如果你觉得这些构想很吸引人，那么你可以阅读推荐的参考文献以继续深入研究。（这也适用于数学家，他们之中的有些人可能为了了解他们专业以外的领域而阅读本书。）
作为一个特殊的后续阅读材料，我推荐我的《数学及其历史》（Mathematics and Its History）此书中译本由高等教育出版社出版，袁向东、冯绪宁译，2011年。——译注一书。那本书更加详细地展开了本书中所描述的这些构想，并用练习来加以巩固。它还提供了一条通往数学经典著作的途径，从中你可以亲身体验到“渴望不可能”。
有好几个人帮助我撰写并修改本书。我的妻子伊莱恩（Elaine）一如既往地走在前面。她阅读了好几版初稿，并进行了轮的批评和修改。冈纳森（Laurens Gunnarsen）、爱尔兰（David Ireland）、麦科伊（James McCoy）和谢尼策（Abe Shenitzer）也仔细地阅读了本书，他们提出了至关重要的建议，这帮助我厘清了整体视角。
致谢
我要感谢位于荷兰巴伦的M. C. 埃舍尔公司允许我转载埃舍尔M. C. 埃舍尔（M. C. Escher，1898—1972），荷兰版画家，因其绘画中的数学性而闻名，作品多以平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等为特点，从中可以看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达。——译注的作品： 图8.1中所示的《瀑布》（Waterfall）、图5.18中所示的《圆极限IV》（Circle Limit IV），以及图5.18和图5.19中所示的《圆极限IV》的两幅变形。埃舍尔的作品版权所属为copyright （2005） The M. C. Escher Company — Holland，网站为www.mcescher.com。
我还要感谢纽约艺术家权利协会（Artists Rights Society of New York）允许我转载图8.8中所示的马格里特勒内·马格里特（René Magritte，1898—1967），比利时超现实主义画家。——译注的照片《不可复制》（La reproduction interdite）。这幅照片的版权所属为copyright （2006） C. Herscovici, Brussels/Artists Rights Society （ARS）, New York。

数学就是一个与不可能发生近距离冲突的故事，因为数学中的一切伟大发现都接近于不可能。有许多表面看来不可能的例子，它们对于数学而言很重要。
“渴望不可能”是数学中取得的许多进步的源头。本书中的大多数例子：无理数、虚数、无穷远点、弯曲空间、理想，以及各种类型的无穷……这些概念初看起来是不可能的，因为我们的直觉无法领会它们，但它们在数学符号体系的帮助下是可以被精确理解的，而数学符号体系是对于我们的感官的一种技术延伸。
本书涉及看似不可能的艺术、文学、哲学和物理学，摆脱了对数学概念的狭隘解释，拓宽了学生的视野。