概率论教程(数学第3版研究生系列教材)

第3版前言

第2版前言

前言

常用符号

第1章概率空间

1.1事件与概率

1.1.1事件及其运算

1.1.2试验

1.2集合代数

1.3概率和概率空间

1.4概率的扩张

1.5概率和分布函数的一一对应

1.6独立性

习题

第2章随机变量的积分

2.1可测映射

2.2随机变量

2.3随机变量的分布和独立性

2.3.1分布与分布函数

2.3.2随机变量的独立性

2.3.3无原子概率空间上的随机变量

2.4随机变量的数学期望

2.4.1数学期望的定义

2.4.2数学期望的进一步探讨

2.5概率变换和积分

2.6Radon-Nikodym定理

2.6.1不定积分和Lebesgue分解

2.6.2分布函数的Lebesgue分解

2.7随机变量序列的收敛性

2.7.1本质上、下确界

2.7.2几乎处处收敛和依概率收敛

2.7.3一致可积和平均收敛

2.7.4矩和矩不等式

2.7.5 L,空间和L,收敛定理

习题

第3章乘积空间和随机函数

3.1二维乘积空间和Fubini定理

3.1.1乘积可测空间

3.1.2转移概率和乘积概率

3.2无穷维乘积可测空间和随机函数

习题

第4章条件期望和鞅序列

4.1条件期望的定义

4.2条件期望的性质

4.3条件独立性

4.4条件概率

4.5鞅列和停时

习题

第5章分布函数和特征函数

5.1分布函数

5.1.1随机变量对应的分布函数收敛性

5.1.2分布函数的收敛性

5.2特征函数和分布函数

5.2.1逆转公式

5.2.2几种收敛性之间的关系

5.3随机变量特征函数的初等性质

5.3.1特征函数的一般性质

5.3.2与特征函数有关的不等式性质

5.4特征函数的微分性质及与其对应分布矩的关系

5.5特征函数的判别准则

5.6多维特征函数

习题

第6章极限定理

6.1预备知识

6.2弱大数定律

6.3中心极限定理

6.4正态逼近速度

6.4.1用特征函数估计正态逼近速度

6.4.2用 Stein方法估计正态逼近的收敛速度

6.5强大数定律

6.6重对数律

习题

参考文献

第1章概率空间

概率论的基本概念源于测度论，但和其他数学分支一样，概率论也有它自己的一套术语和工具.在本章中，我们将引人概率论的一些术语和一些基本概念.这里我们假定读者已经具备了测度论和实变函数的基本知识，并对概率论有了初步的了解，众所周知，事件、试验和概率是概率论中最基本的概念.公理化地看,事件是一些能够用逻辑运算“非”“和”“或”组合起来的数学化了的实体，而概率则是在事件类上的一种赋值，我们这里所说的试验是指一次随机试验的一个结果，考虑到我们所研究的事件和试验的自然条件，每次试验的结果是确定的，即我们所考虑的事件不是实现就是尚未实现，这使我们引入试验空间几的概念，它由所考虑的全部可能的试验结果组成,并可在每个事件和实现该事件的所有试验点集所组成的子集之间建立一一对应关系，于是概率就可以看作一个集合函数，它类似于定义在欧氏空间某一个子集上的体积，这就是测度论的观点。

关于概率，我们首先在集合代数上定义，然后开拓到。代数上,由此提出概率空间的概念，这样的处理有如下两个优点:其一是阐述了测度论中十分重要的延拓定理;其二是在构造欧氏空间或乘积空间上的概率时，可以很自然地先在集合代数或集合半代数上定义，然后延拓.这在应用中是比较容易做到的。

……

本书以测度论为背景介绍了集合代数的构造、概率扩张、随机变量的期望、收敛性、Lebesgue分解、条件期望和鞅列、分布函数和特征函数、极限理论等概率论中的基本知识其特点是抽象与直观相结合，经典方法与现代方法相结合。全书论证严谨，内容丰富，每章后均附有一定量的习题以加深理解和拓展各章的知识点。