高等数学

目录

前言

第1章 高等数学基础知识 1

1.1 实数系 1

1.1.1 映射 1

1.1.2 函数的概念 1

1.1.3 实数系 2

习题1-1 11

1.2 函数的运算与初等性质 11

1.2.1 函数的运算 11

1.2.2 函数的初等性质 12

1.2.3 基本初等函数与初等函数 15

习题1-2 19

1.3 极限 19

1.3.1 数列的极限 21

1.3.2 函数的极限 31

1.3.3 无穷小与无穷大 37

1.3.4 极限的性质 41

1.3.5 极限的运算法则 47

1.3.6 极限存在准则与两个重要极限 54

1.3.7 无穷小的比较 67

习题1-3 74

1.4 连续函数 77

1.4.1 连续函数的概念 77

1.4.2 连续函数的运算性质 79

1.4.3 间断点及其类型 80

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 82

习题1-4 85

第2章 一元函数微分学及其应用 88

2.1 导数的概念 88

2.1.1 导数概念的背景 88

2.1.2 导数的定义 90

2.1.3 导数存在的条件 91

2.1.4 导函数 92

2.1.5 导数概念的基本应用 92

2.1.6 可导与连续的关系 96

习题2-1 98

2.2 导数的计算 99

2.2.1 导数的四则运算法则 100

2.2.2 反函数求导法则 101

2.2.3 复合函数的求导法则 104

2.2.4 高阶导数 106

2.2.5 一些特殊函数的求导方法 110

习题2-2 116

2.3 函数的微分 118

2.3.1 微分产生的背景 118

2.3.2 微分的定义 119

2.3.3 微分运算法则与形式不变性 121

2.3.4 微分的应用 122

习题2-3 125

2.4 微分中值定理 126

2.4.1 费马引理 126

2.4.2 罗尔定理 129

2.4.3 拉格朗日中值定理 130

2.4.4 柯西中值定理 132

2.4.5 中值定理的应用举例 135

习题2-4 137

2.5 洛必达法则 138

2.5.1 待定型极限 138

2.5.2 洛必达法则 139

习题2-5 146

2.6 微分中值定理的应用 146

2.6.1 函数的单调性 146

2.6.2 函数的极值 151

2.6.3 函数的凹凸性 156

2.6.4 函数的渐近线 160

2.6.5 函数的图形 161

习题2-6 162

2.7 泰勒公式 163

2.7.1 背景 163

2.7.2 泰勒公式 165

2.7.3 常用函数的麦克劳林公式 168

2.7.4 函数的泰勒展开 170

2.7.5 泰勒公式的应用 172

习题2-7 177

2.8 平面曲线的曲率 178

2.8.1 曲率的定义 178

2.8.2 曲率公式 179

2.8.3 曲率圆 181

2.8.4 渐屈线和渐伸线 183

习题2-8 184

2.9 方程的近似解 184

2.9.1 二分法 184

2.9.2 切线法(牛顿法)185

习题2-9 188

第3章 一元函数积分学及其应用 189

3.1 定积分的概念和性质 189

3.1.1 定积分问题引例 189

3.1.2 定积分的概念 193

3.1.3 定义的简单应用 194

3.1.4 可积的条件 196

3.1.5 定积分的性质 198

习题3-1 202

3.2 微积分基本定理 203

3.2.1 变上限积分函数 203

3.2.2 微积分基本定理 207

习题3-2 209

3.3 不定积分 210

3.3.1 不定积分的概念 210

3.3.2 不定积分的性质与运算法则 213

3.3.3 不定积分的几种计算方法 217

3.3.4 某些特殊类型函数的不定积分 238

习题3-3 248

3.4 定积分的计算 250

3.4.1 定积分的换元法 251

3.4.2 定积分的分部积分法 253

3.4.3 基于特殊结构的定积分的计算 256

习题3-4 260

3.5 定积分的应用 261

3.5.1 平面图形的面积 261

3.5.2 已知截面积的立体和旋转体的体积 269

3.5.3 平面曲线的弧长 274

.3.5.4 旋转体的侧面积 277

3.5.5 定积分的物理应用 278

习题3-5 282

3.6 反常积分 283

3.6.1 无穷限反常积分 286

3.6.2 无界函数的反常积分 290

3.6.3 反常积分收敛性的判别法 292

习题3-6 300

第4章 微分方程 301

4.1 微分方程的基本概念 301

4.1.1 微分方程的基本概念 301

4.1.2 微分方程建模简介 305

习题4-1 308

4.2 一阶微分方程的初等解法 309

4.2.1 可分离变量微分方程 309

4.2.2 一阶线性微分方程 312

4.2.3 利用变量代换求解一阶微分方程 316

习题4-2 323

4.3 可降阶的高阶微分方程 324

4.3.1y′′=f(x)型微分方程 324

4.3.2y′′=f(x，y′)型微分方程 325

4.3.3y′′=f(y，y′)型微分方程 328

习题4-3 329

4.4 二阶线性微分方程 330

4.4.1 二阶线性微分方程解的结构 330

4.4.2 二阶常系数线性齐次微分方程及其解法 333

4.4.3 二阶常系数线性非齐次微分方程及其解法 338

4.4.4 某些变系数线性微分方程的解法 348

习题4-4 352

.4.5 微分方程的数值解 353