大学数学（一）（一元函数微积分与空间解析几何）

第1章 函数的极限与连续 1

1.1 函数的概述 1

1.1.1 变量与区间 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的特性 5

1.1.4 反函数及其图形 7

1.1.5 复合函数 8

1.1.6 基本初等函数与初等函数 9

1.1.7 双曲函数 13

习题 1.1 15

1.2 数列的极限 16

1.2.1 数列的概念 16

1.2.2 数列极限的定义 17

1.2.3 数列极限的性质 19

习题 1.2 20

1.3 函数的极限 21

1.3.1 自变量趋近于无穷大时函数的极限 21

1.3.2 自变量趋向于有限值时函数的极限 23

1.3.3 函数极限的性质 27

习题 1.3 28

1.4 极限的运算 29

1.4.1 无穷小量与无穷大量 29

1.4.2 极限的运算法则 32

1.4.3 数列极限存在准则 36

1.4.4 两个重要极限 39

习题 1.4 44

1.5 无穷小的比较 45

1.5.1 无穷小的比较的概念与运算 45

1.5.2 利用等价无穷小量替代求极限 46

习题 1.5 48

1.6 函数的连续 49

1.6.1 函数的连续性 49

1.6.2 函数的间断点及其分类 51

1.6.3 连续函数的运算 52

1.6.4 初等函数的连续性 53

习题 1.6 55

1.7 闭区间上连续函数的性质 55

1.7.1 *大值*小值定理 55

1.7.2 零点定理与介值定理 (中间值定理) 56

习题 1.7 58

总习题一 59

第2章 一元函数微分学 61

2.1 导数与微分的概念 61

2.1.1 导数的概念 61

2.1.2 函数的微分 68

习题 2.1 72

2.2 导数与微分的运算性质 73

2.2.1 函数线性组合、积、商的求导法则与微分法则 74

2.2.2 复合函数的导数与微分形式不变性 77

2.2.3 反函数的求导法则 80

2.2.4 导数与微分的公式和基本法则 82

习题 2.2 83

2.3 高阶导数 84

习题 2.3 89

2.4 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 89

2.4.1 隐函数的导数 89

2.4.2 由参数方程确定的函数的导数 93

2.4.3 相关变化率问题 95

习题 2.4 96

2.5 微分中值定理与泰勒公式 97

2.5.1 费马定理 97

2.5.2 罗尔定理 98

2.5.3 拉格朗日中值定理 100

2.5.4 柯西中值定理 105

2.5.5 泰勒公式 106

2.5.6 麦克劳林公式 110

习题 2.5 114

2.6 洛必达法则与极限的计算方法 115

2.6.1 洛必达法则 115

2.6.2 其他类型的不定式求极限 118

习题 2.6 120

2.7 函数及其图象性态的研究 121

2.7.1 函数单调性的判别方法 121

2.7.2 函数的极值与*大、*小值及其求法 124

2.7.3 函数图象凹凸与拐点的判别方法 127

2.7.4 函数曲线的渐近线 131

2.7.5 函数图形的描绘 133

2.7.6 平面曲线的曲率 134

习题 2.7 138

2.8 导数在经济学的若干应用 139

2.8.1 边际分析 139

2.8.2 弹性分析 140

习题 2.8 141

总习题二 142

第3章 一元函数积分学 144

3.1 定积分的概念与性质 144

3.1.1 定积分问题举例 144

3.1.2 定积分的概念 147

3.1.3 定积分的性质 149

习题 3.1 152

3.2 原函数与微积分学基本公式 153

3.2.1 原函数与不定积分的概念 153

3.2.2 变限的定积分 156

3.2.3 微积分学基本公式 158

习题 3.2 159

3.3 基本积分表和积分的简单计算 160

3.3.1 不定积分的基本积分表 160

3.3.2 不定积分的计算举例 161

3.3.3 定积分的计算举例 163

习题 3.3 165

3.4 换元积分法 166

3.4.1 不定积分的第一类换元积分法 166

3.4.2 不定积分的第二类换元积分法 171

3.4.3 定积分的换元积分法 176

习题 3.4 181

3.5 分部积分法 183

3.5.1 不定积分的分部积分法 183

3.5.2 定积分的分部积分法 189

习题 3.5 192

3.6 有理函数和三角函数有理式的不定积分 193

3.6.1 有理函数的不定积分 193

3.6.2 三角函数有理式的不定积分 198

习题 3.6 200

3.7 定积分的应用 200

3.7.1 建立积分表达式的微分法 201

3.7.2 定积分的几何应用举例 202

3.7.3 定积分的物理应用举例 213

习题 3.7 218

3.8 反常积分 219

3.8.1 无穷区间上的反常积分 219

3.8.2 无界函数的反常积分 222

*3.8.3 Γ 函数 225

习题 3.8 226

总习题三 226

第4章 微分方程 230

4.1 微分方程的基本概念 230

4.1.1 引例 230

4.1.2 微分方程的一些基本概念 232

习题 4.1 234

4.2 可分离变量的微分方程 234

4.2.1 可分离变量的微分方程 234

4.2.2 可化为可分离变量型的微分方程 241

习题 4.2 247

4.3 一阶微分方程 248

4.3.1 一阶线性微分方程 248

4.3.2 伯努利方程 252

*4.3.3 换元法解方程 254

习题 4.3 255

4.4 可降阶的高阶微分方程 256

4.4.1 y(n) = f(x) 型的微分方程 256

4.4.2 y′′ = f(x， y′) 型的方程 257

4.4.3 y′′ = f(y， y′) 型的方程 258

4.4.4 可降阶高阶微分方程的应用举例 259

习题 4.4 264

4.5 线性微分方程解的结构 265

习题 4.5 268

4.6 二阶常系数线性微分方程 269

4.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 269

4.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 274

4.6.3 二阶常系数线性微分方程的应用举例 280

习题 4.6 286

*4.7 高阶变系数线性微分方程解法举例 287

4.7.1 解二阶变系数线性微分方程的常数变易法 287

4.7.2 解欧拉方程的指数代换法 290

习题 4.7 292

总习题四 292

第5章 向量代数与空间解析几何 295

5.1 向量及其线性运算 295

5.1.1 空间直角坐标系 295

5.1.2 向量与向量表示 297

5.1.3 向量的加法与数乘运算 298

习题 5.1 301

5.2 向量的乘法运算 302

5.2.1 向量的内积 (点积、数量积) 302

5.2.2 向量的向量积 (外积、叉积) 304

5.2.3 向量的混合积 307

习题 5.2 308

5.3 平面 309

5.3.1 平面的方程 310

5.3.2 两平面的夹角和点到平面的距离 312

习题 5.3 314

5.4 直线 314

5.4.1 直线的方程 314

5.4.2 两直线的夹角、直线与平面的夹角 316

5.4.3 过直线的平面束 318

习题 5.4 321

5.5 曲面与曲线 323

5.5.1 柱面与旋转曲面 323

5.5.2 空间曲线的方程 326

5.5.3 空间曲线在坐标面上的投影 328

习题 5.5 330

5.6 二次曲面 331

5.6.1 椭球面 332

5.6.2 抛物面 333

5.6.3 双曲面 336

5.6.4 椭圆锥面 337

习题 5.6 338

总习题五 338

部分习题参考答案或提示 340

参考文献 359

附录 360

A.1 一些常用的公式 360

A.2 几种常用的曲线 361

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