线性代数(第3版)

目录

前言

第二版前言

第一版前言

第1章行列式1

1.1n阶行列式的定义1

一、二阶和三阶行列式1

二、排列与逆序数2

三、n阶行列式的定义4

1.2行列式的性质6

1.3行列式按行(列）展开13

一、行列式按某一行（列）展开13

*二、行列式按k行（列）展开17

1.4克拉默法则18

习题122

第2章矩阵28

2.1矩阵的概念及运算28

一、矩阵的概念28

二、矩阵的运算30

2.2几种特殊的矩阵37

一、对角矩阵37

二、数量矩阵38

三、三角矩阵39

四、对称矩阵与反对称矩阵40

2.3可逆矩阵40

一、可逆矩阵的概念40

二、伴随矩阵求逆法41

三、可逆矩阵的性质44

四、方阵多项式简介45

2.4初等矩阵与矩阵的初等变换45

一、矩阵的初等变换与初等矩阵45

二、初等变换求逆法48

1.2分块矩阵54

一、分块矩阵的概念54

二、分块矩阵的运算55

1.3矩阵的秩58

一、矩阵秩的定义58

二、用初等变换求矩阵的秩59

习题261

第3章n维向量与线性方程组68

3.1n维向量及其线性运算68

一、n维向量的概念68

二、n维向量的线性运算69

3.2线性方程组的解及其向量表示70

一、线性方程组的表达形式70

二、线性方程组的消元解法72

三、线性方程组解的情况76

3.3向量间的线性关系81

一、向量的线性组合81

二、向量组的线性相关性83

3.4向量组的秩89

一、两个向量组的等价89

二、向量组的极大线性无关组91

三、向量组的秩与矩阵的秩93

四、向量组的秩的计算94

习题395

第4章线性方程组解的存在性与解的结构98

4.1线性方程组解的存在性98

一、线性方程组有解的判定定理98

二、线性方程组解的个数99

4.2线性方程组解的结构105

一、齐次线性方程组解的结构105

二、非齐次线性方程组解的结构110

习题4113

第5章向量空间117

5.1向量空间及相关概念117

一、向量空间及其子空间117

二、向量都坐标118

三、基变换119

四、坐标变换123

5.2向量的内积127

一、向量内积的定义及基本性质127

二、向量的长度128

三、两个向量的夹角131

四、向量空间的标准正交基134

5.3正交矩阵136

习题5138

第6章矩阵的对角化140

6.1矩阵的特征值与特征向量140

一、矩阵的特征值与特征向量的定义140

二、矩阵的特征值与特征向量的求法141

三、矩阵的迹145

6.2相似矩阵与矩阵的对角化146

一、相似矩阵146

二、矩阵可以对角化的条件147

6.3实对称矩阵的对角化153

一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质153

二、实对称矩阵对角化的方法154

*6.4矩阵级数157

一、矩阵序列及其极限157

二、矩阵级数收敛的条件159

*6.5投人产出数学模型160

一、分配平衡方程组160

二、消耗平衡方程组163

习题6164

第7章二次型166

7.1二次型的标准形166

一、关于二次型的几个概念167

二、化二次型为标准形的方法170

7.2实二次型的分类与判定177

一、实二次型的唯一性177

二、实二次型分类179

三、实二次型的有定性181

习题7185

部分习题参考答案187

第1章行列式

 行列式是研究线性代数及其他数学分支的一个重要工具. 本章主要介绍n阶行列式的概念、性质与计算方法，以及利用n阶行列式解含有狀个未知量n个方程的线性方程组的克拉默法则.

 1.1n阶行列式的定义

 一、二阶和三阶行列式

 1. 二阶行列式

 考虑二元线性方程组

 (1.1)

 用加减消元法解方程组(1.1)，得

 当a11a22-a12a21≠0时，得到方程组(1.1)的唯一解

 (1.2)

 为便于记忆，引入记号

 称为二阶行列式. 其中aij称为行列式的元素，其第一下标i为行标，表示该元素位于第i行，第二下标j为列标，表示该元素位于第j列，aij表示该元素为行列式第i行第j列的元素. 二阶行列式可用对角线法则来记忆. 如图1-1所示，把a11到a22的实连线称为主对角线，把a12到a21的虚连线称为副对角线，于是二阶行列式便是主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差.

 利用二阶行列式的记法，式（1.2)中x1，x2的分子也可写成二阶行列式，即

 如果行列式D≠0，则方程组(1.1)的唯一解(1.2)可表示为

 其中，分母D是由方程组(1.1)的系数构成的二阶行列式(称为系数行列式);x1的分子D1是用常数项b1，b2替换D中第一列元素a，11，a21得到的二阶行列式;x2的分子D2是用常数项b1，b2替换D中第二列元素a12，a22得到的二阶行列式.

 2. 三阶行列式

 类似于二阶行列式，记

 称为三阶行列式. 三阶行列式有6项，每项均是由不同行不同列的三个元素的乘积冠以正负号得到的，其规律遵循图1-2所示的对角线法则. 图中三条实线看成平行 于主对角线的连线，三条虚线看成平行于副对角线的连线，实线上三元素的乘积冠正号，虚线上三元素的乘积冠负号.

 二、排列与逆序数

 定义1.1由n个不同的数1，2， ，n组成的一个有序数组i1i2 in成为一个n级排列，简称为排列. 构成排列的数称为排列的元素.

 例如，1234和3421都是4级排列，25314是一个5级排列. 由数1，2，3共可构成6种不同的排列:123，132，213，231，312，321.

 由数1，2 n构成的不同的n级排列共有n!个.

 定义1.2在一个n级排列i1i2 is it in中，若数is>it，则称数is与it构成一个逆序. 一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为τ(i1i2 in).

 例1计算5 级排列25314的逆序数.

 解 因为2排在首位，故其逆序的个数为0;在5前面且比5大的数有0个，故其逆序的个数为0; 在3前面且比3大的数有1个，故其逆序的个数为1; 在1前面且比1大的数有3个，故其逆序的个数为3; 在4前面且比4大的数有1个，故其逆序的个数为1，即

 对于n级排列n(n-1) 321. 有

 在n级排列12 (n-1)n中，各数是按照由小到大的自然顺序排列的. 这一排列称为n元自然序排列. 由于其中任何一个数对都不构成逆序. 因此τ(2 (n-1)n)=0.

 定义1.3逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列．

 例如，排列25314的逆序数是5，为奇排列；2 （n-1)n的逆序数是零，为偶排列．