九章算术(附海岛算经)

《九章算术》并非一人一时之作，据推断是由先秦之遗残经西汉数学家张苍（约前250—前152）、 耿寿昌（前1世纪中叶）等人几番删补而在西汉中期始成定本。 自东汉以来，研习与注释《九章算术》者世代不绝，魏晋间人刘徽更是其中的杰出代表。他于魏陈留王景元四年（263）前后所作的《九章算术注》揭示了原书蕴含的深邃的数学思想与精湛的数学理论。到了唐初，李淳风等人注释《九章算术》等十部算经，并将刘徽所作的《九章算术注》卷十《重差》单列为《海岛算经》，在国子监使用。

【译注者介绍】

李继闵，江西九江人，西北大学教授、博士生导师，北京师范大学兼职教授；曾任西北大学数学系主任、自然科学史研究室主任。潜心研究中国古典数学领域多年，在中国数学史研究方面做出了独到的建树，成果丰硕。著有《九章算术》三部曲等，并发表多篇学术论文。

前言 ……………………………………………… 1 

刘徽《九章算术注》原序 ………………………… 1 

卷一 方田以御田畴界域 ……………………… 16 

卷二 粟米以御交质变易 ……………………… 86 

卷三 衰分以御贵贱禀税 ……………………… 119 

卷四 少广以御积幂方圆 ……………………… 142 

卷五 商功以御功程积实 ……………………… 199 

卷六 均输以御远近劳费 ……………………… 267 

卷七 盈不足以御隐杂互见 …………………… 344 

卷八 方程以御错糅正负 ……………………… 383 

卷九 勾股以御高深广远 ……………………… 439 

附录 海岛算经 ………………………………… 491 

后记 …………………………………………… 521

一、《九章算术》被誉为“算经之首”，是中国古代“算经十书”中最为重要的一种。它由西汉张苍、耿寿昌增补修订为定本后，经魏晋间人刘徽注释，唐代李淳风等人整理，而在唐宋两代作为国家高等学府数学教科书使用。它确立了中国古典数学的基本框架，规范了中国古典数学的表达方式，标志着中国古代数学体系的形成。

二、《九章算术》既是东方数学的重要经典，又是一部世界级数学名著。它是世界上最早系统叙述分数运算的著作；在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则；较早讨论了线性方程组的解法，并使用了矩阵初等变换的方法。《九章算术》不仅流传到日本、朝鲜，其中的一些内容还传播到印度、阿拉伯，甚至欧洲。

三、《九章算术》的内容十分丰富。各章名称分别是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，代表了中国传统数学的分科。所涉及的内容，涵盖测地学、商业数学、经济数学、工程数学、管理数学、农用数学、布点测量等领域。

四、三全本《九章算术附海岛算经》收入了《九章算术》原文、魏晋间人刘徽的《九章算术注》、唐李淳风等的《九章算术注释》，并将刘徽注释《九章算术》时所作的《重差》一卷（即唐时列为单行本的《海岛算经》）作为附录收入，为读者提供了一个“全”本。

五、《九章算术》作为一本应用问题集，其基本形式是“问（题目）、答（回答）、术（计算方法）”。全书246问，分属于53种算法。为方便读者阅读理解，并清晰、明确地演示其中的算法，“三全本”《九章算术（附海岛算经）》对全部题目进行了编号，体例上不仅包含题解、原文、注释、译文，而且根据需要配有插图和图草（演示计算过程）。2020年4月，《九章算术》列入《基础教育课程教材发展中心 中小学生阅读指导目录（2020年版）》初中段。

2020年12月，中国科学技术大学宣布成功构建了量子计算原型机，它的名字“九章”正是来源于《九章算术》。

《九章算术》成书于1世纪左右，是中国古代东方数学的代表作，历来被视为“算经之首”。它确立了中国古典数学的基本框架，规范了中国古典数学的表达方式，深刻影响了古代中国和东方的数学。

《九章算术》是以应用问题解法集成的体例编纂成书的，其基本形式是“问（题目）、答（回答）、术（算法）”全书246问，分属于53种算法。

卷一方田，主要讲各种图形面积的计算。 

卷二粟米，主要探讨依各种谷物的交换率而相互推求的比例算法。 

卷三衰分，即按比例分配。衰分讨论成正比关系的量，而返衰则讨论成反比关系的量。卷四少广，讨论由已知面积反求边长或周长。其中使用了开平方或开立方的算法。

卷五商功，讨论各种柱、锥、台体的求积。核心是四棱锥体积的计算，它奠定了中算家多面体体积理论的基础。 

卷六均输，探讨由正、反比关系复合而成的分配问题的解法，广泛用于徭役分配与调节运输。 

卷七盈不足，探讨双假设法及其实际应用。

[6-12] 今有善行者行一百步，不善行者行六十步①。 今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？ 

答曰：二百五十步。 

术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法；以善行者之一百步，乘不善行者先行一百步，为实；实如法得一步。按此术，以六十步减一百步，余四十步，即不善行者先行率也。善行者行一百步为追及率②。约之，追及率得五，先行率得二。于今有术，不善行者先行一百步为所有数，五为所求率，二为所有率，而今有之，得追及步也。 

【注释】 

①善行者行一百步，不善行者行六十步：此句给出善行者与不善行者的速率之比，即善行者每行100步之距，则不善行者行60步之距。善行者，善于行路的人。善，擅长，善于。行，走。步，长度单位，秦制1步=6尺。