数学物理方法初级教程

第一篇  复变函数论

第1章  复数的引入及其运算、复变函数               2
  
  1.1  实数集扩展到复数集的必要性               2 

    1.1.1  物理需求               2
    1.1.2  数集封闭性需求               3

  1.2  实数集扩展到复数集               4
    1.2.1  引入复数的基本假设               4
    1.2.2  复数的基本特点               5
  
  1.3  实数运算扩展到复数运算               5
    1.3.1  加法扩展               5
    1.3.2  减法扩展               5
    1.3.3  乘法扩展               5
    1.3.4  除法扩展               6
    1.3.5  幂运算扩展               6
  
  1.4  实变函数扩展到复变函数               12
    1.4.1  复变函数               12
    1.4.2  区域解释               13
    1.4.3  复变函数特例               13
    1.4.4  复变函数的二元实变函数表示               14
第2章  复变函数的导数与解析函数               16
  
  2.1  复变函数的导数               16
    2.1.1  柯西-黎曼条件               16
    2.1.2  函数可导的充分必要条件               17
    2.1.3  极坐标系下的柯西-黎曼条件               18
    2.1.4  复变函数的求导规则               18
  
  2.2  解析函数               19
    2.2.1  解析函数的定义               19
    2.2.2  解析函数特例               19
    2.2.3  解析函数的性质               19
    2.2.4  解析函数实部与虚部的关联               22
第3章  复变函数的积分               25
  
  3.1  复变函数的路径积分               25
    3.1.1  复变函数路径积分的定义               25
    3.1.2  路径积分的实变函数表示               25
    3.1.3  复变函数路径积分的性质               26
    3.1.4  积分特例               26
  
  3.2  函数积分与路径的关系               27
    3.2.1  单连通区域、复连通区域               27
    3.2.2  单连通区域上的柯西积分定理               28
    3.2.3  复连通区域上的柯西积分定理               29
    3.2.4  柯西积分定理总结               30
    3.2.5  重要积分               30
  
  3.3  柯西积分公式及推论               32
    3.3.1  柯西积分公式               32
    3.3.2  柯西积分公式的扩展               33
    3.3.3  柯西积分公式的推论               34
    3.3.4  柯西积分公式的应用               34
  
  3.4  不定积分               34

第4章  复变函数的幂级数展开               35
  
  4.1  复数项级数               35
    4.1.1  复数项级数的定义               35
    4.1.2  复数项级数收敛的判据               35
    4.1.3  收敛级数之间的关系               36
    4.1.4  各项为函数时复数项级数的收敛性               36
    4.1.5  收敛性、连续性结论               36
  
  4.2  幂级数               37
    4.2.1  幂级数的定义               37
    4.2.2  幂级数的收敛判据               37
    4.2.3  收敛半径计算例题               39
    4.2.4  幂级数与解析函数               40
  
  4.3  解析函数的幂级数展开               41
    4.3.1  解析函数的泰勒级数展开               41
    4.3.2  解析函数的洛朗级数展开               45
  
  4.4  函数的奇点               51
第5章  复变函数积分的留数定理               53
  
  5.1  积分环路包围函数奇点的积分               53
    5.1.1  一个孤立奇点的情况               53
    5.1.2  多个孤立奇点的情况               54
  
  5.2  函数奇点的留数计算               54
    5.2.1  一般方法               54
    5.2.2  可去奇点               54
    5.2.3  极点的留数               54
    5.2.4  留数计算例题               55
  
  5.3  留数定理的应用               58
    5.3.1  应用留数定理计算实变函数积分的可能性               58
    5.3.2  类型(一)——含三角函数的积分计算               59
    5.3.3  类型(二)——反常积分的计算               60
    5.3.4  类型(三)——可化为反常积分的情况               62
    5.3.5  类型(四)——实轴上有奇点的反常积分               64
第6章  函数的傅里叶变换               66
  
  6.1  函数展开为傅里叶级数               66
    6.1.1  周期函数展开为傅里叶级数               66
    6.1.2  傅里叶级数的收敛性               66
    6.1.3  奇函数、偶函数的傅里叶级数展开               67
    6.1.4  有限区域上的函数展开为傅里叶级数               69
    6.1.5  复数形式的傅里叶级数               69
  
  6.2  非周期函数的傅里叶变换               70
    6.2.1  实数形式的傅里叶变换               70
    6.2.2  复数形式的傅里叶变换               74
    6.2.3  傅里叶变换的基本性质               75
    6.2.4  多元函数的傅里叶积分               77
第7章  实变函数的拉普拉斯变换               81
  
  7.1  拉普拉斯变换的引入               81
    7.1.1  符号法               81
    7.1.2  傅里叶变换的延伸               82
  
  7.2  拉普拉斯变换及其基本性质               82
    7.2.1  拉普拉斯变换的定义               82
    7.2.2  一般函数的拉普拉斯变换               84
    7.2.3  拉普拉斯变换的基本性质               86
  
  7.3  拉普拉斯变换的反演               88
    7.3.1  黎曼-梅林反演公式               88
    7.3.2  有理分式的反演法               89
    7.3.3  查表法               90
    7.3.4  Mathematica软件应用               91
  
  7.4  拉普拉斯变换的应用               92
    7.4.1  拉普拉斯变换解方程的思路               93
    7.4.2  求解微分方程               93
  
附录  拉普拉斯变换函数表               96

第8章  Delta函数               99
  
  8.1  δ函数的定义               99