常微分方程及其工程应用

靳艳飞, 女，北京理工大学长聘教授, 博士生导师。年于西北工业大学获博士学位，主要从事非线性随机动力学与控制、随机振动能量采集、不确定性多体系统动力学研究, 主持国家自然科学项目5项，出版学术专著 1 部，获全国徐芝纶力学优秀教师奖、中国振动工程学会科学技术二等奖等。兼任中国振动工程学会副秘书长、《Journal of Vibration Testing and System Dynamics》编委、《应用力学学报》青年编委等。

第1章绪论

1.1工程系统的数学模型

1.2微分方程的基本概念....

1.3动力系统.

1.4本书的主要内容.

习题1

第2章常微分方程的初等积分法2.1变量分离方法.

2.2变量变换方法....

2.2.1齐次微分方程

2.2.2可化为齐次微分方程的方程2.3常数变易方法

2.3.1一阶线性微分方程

2.3.2伯努利(Bernoulli)微分方程2.4全微分方程和积分因子

2.4.1全微分方程....

2.4.2积分因子..........

2.5一阶隐式微分方程......

2.5.1可以解出y的隐式方程・

2.5.2可以解出x的隐式方程.

2.5.3不含或y的隐式方程

2.6简单的高阶微分方程

习题2

第3章常微分方程的基本定理

3.1解的存在性与唯一性定理

3.2解的延拓定理

3.3解对初值的连续依赖和可微性定理

3.4线性微分方程解的叠加性

3.5n阶齐次线性常微分方程的基本定理

3.6n阶非齐次线性常微分方程通解的结构定理习题3

第4章线性常微分方程

4.1n阶常系数齐次线性微分方程

4.2欧拉方程

4.3n阶常系数非齐次线性微分方程

4.3.1比较系数法

4.3.2拉普拉斯变换方法

4.4二阶变系数线性常微分方程

4.5单自由度振动系统

习题4

第5章线性常微分方程组

5.1一阶线性常微分方程组

5.2常系数齐次线性常微分方程组

5.2.1n个不同特征根情形下基本解矩阵的计算5.2.2特征根有重根情形下基本解矩阵的计算5.3常系数非齐次线性常微分方程组

5.4使用Maple求解常微分方程组

5.5动力吸振器

习题5

第6章非线性微分方程的定性分析6.1李雅普诺夫稳定性定理

6.1.1李雅普诺夫直接方法

6.1.2李雅普诺夫直接方法的几何意义6.2线性稳定性和奇点分类

6.2.1非线性微分方程的线性化

6.2.2线性微分方程的奇点分类

6.2.3 Routh-Hurwitz稳定性判据

6.3中心流形定理.....

6.4分岔

6.4.1平衡点的静态分岔

6.4.2平衡点的动态分岔

6.5保守系统

6.6全速度差交通流模型

6.6.1全速度差交通流模型的线性稳定性

6.6.2全速度差交通流模型的Hopf分岔

习题6

第7章常微分方程的数值解

7.1一阶常微分方程的数值解

7.1.1差分方法

7.1.2数值积分方法...

7.1.3泰勒展开法

7.2 Euler 方法和改进的 Euler方法

7.3Runge-Kutta方法

7.3.1二阶Runge-Kutta方法

7.3.2经典四阶Runge-Kutta方法..

7.4一阶常微分方程组的数值解

7.5基于MATLAB或 Maple 中 ODE 求解器的数值解7.5.1 MATLAB软件中的ODE 求解器，

7.5.2 Maple软件中的ODE 求解器

7.6非线性振动能量采集器

7.6.1非线性压电振动能量采集器建模

7.6.2双稳态情形...

7.6.3三稳态情形.

7.6.4双频谐波激励下三稳态振动能量采集习题7

参考文献

本书注重常微分方程理论方法的同时，也注重常微分方程的工程实际应用。旨在提高学生发现问题和解决问题的能力，通过理论和实践的反复循环，实现螺旋式上升。本书共七章。第一章简要介绍了工程问题的常微分方程建模，微分方程和动力系统的基本概念。第二章阐述了常微分方程的初等积分法，包括一些经典的一阶微分方程和特殊的高阶微分方程的解法。第三章给出了常微分方程的基本定理，特别介绍线性常微分方程的一些基本概念和基础理论。第四章和第五章分别讲述了线性常微分方程和线性常微分方程组，包括基本概念、求解方法及工程应用。第六章主要介绍了非线性微分方程的定性分析，包括奇点的稳定性、中心流形定理、分岔等。第七章阐述了常微分方程的数值解法，主要介绍了欧拉法、改进的欧拉法和龙格库塔方法，结合Matlab和Maple软件实现微分方程的数值求解，并列出了求解代码。