高等应用数学问题的MATLAB求解

第 1章计算机数学语言概述 1 

1.1数学问题计算机求解概述 1 

1.1.1为什么要学习计算机数学语言 1 

1.1.2数学问题的解析解与数值解 4 

1.1.3数学运算问题软件包发展概述 5 

1.1.4常规计算机语言的局限性 6 

1.2计算机数学语言简介 7 

1.2.1计算机数学语言的出现 7 

1.2.2有代表性的计算机数学语言 8 

1.3关于本书及相关内容 8 

1.3.1本书框架设计及内容安排 9 

1.3.2 MATLAB语言学习方法与资源 9 

1.3.3本课程与其他相关课程的关系 10 

1.3.4数学问题三步求解方法概述 10 

1.4习题 12

第 2章 MATLAB语言程序设计基础 13 

2.1 MATLAB程序设计语言基础 14 

2.1.1 MATLAB语言的变量与常量 14 

2.1.2数据结构 14 

2.1.3 MATLAB的基本语句结构 16 

2.1.4冒号表达式与子矩阵提取 17 

2.2基本数学运算 18 

2.2.1矩阵的算术运算 18 

2.2.2矩阵的逻辑运算 20 

2.2.3矩阵的比较运算 20 

2.2.4解析结果的化简与变换 21 

2.2.5基本离散数学运算 22 

2.3 MATLAB语言的流程结构 23 

2.3.1循环结构 24 

X高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 

2.3.2条件转移结构 25 

2.3.3开关结构 25 

2.3.4试探结构 26 

2.4函数编写与调试 26 

2.4.1 MATLAB语言函数的基本结构 27 

2.4.2变元检测段落 29 

2.4.3可变输入输出个数的处理 30 

2.4.4匿名函数与 inline函数 31 

2.4.5伪代码与代码保密处理 31 

2.5二维图形绘制 32 

2.5.1二维图形绘制基本语句 32 

2.5.2多纵轴曲线的绘制 34 

2.5.3其他二维图形绘制语句 35 

2.5.4隐函数绘制及应用 36 

2.5.5图形修饰 37 

2.5.6数据文件的读取与存储 38 

2.6三维图形表示 39 

2.6.1三维曲线绘制 39 

2.6.2三维曲面绘制 40 

2.6.3三维图形视角设置 43 

2.6.4参数方程的表面图 44 

2.6.5球面与柱面绘制 44 

2.6.6等高线绘制 45 

2.6.7三维隐函数图形绘制 46 

2.6.8三维曲面的旋转 47 

2.7四维图形绘制 48 

2.7.1三维动画 48 

2.7.2体视化数据显示 48 

2.7.3体视化处理工具 49 

2.8面向对象编程入门 50 

2.8.1面向对象编程的基本概念 50 

2.8.2类的设计 51 

2.8.3类的创建及对象显示 52 

2.8.4重载函数的编写 54 

2.9习题 57

第 3章微积分问题的计算机求解 62 

3.1极限问题的解析解 62 

3.1.1单变量函数的极限 63 

3.1.2多元函数的极限 65 

3.2函数导数的解析解 67 

3.2.1函数的导数和高阶导数 67 

3.2.2多元函数的偏导数 68 

3.2.3多元函数的 Jacobi矩阵与 Hesse矩阵 70 

3.2.4参数方程的导数 71 

3.2.5隐函数的偏导数 71 

3.2.6场的梯度、散度与旋度 73 

3.3积分问题的解析解 73 

3.3.1不定积分的推导 74 

3.3.2定积分与无穷积分计算 75 

3.3.3多重积分问题的 MATLAB求解 75 

3.4函数的级数展开与级数求和问题求解 76 

3.4.1 Taylor幂级数展开 76 

3.4.2 Fourier级数展开 79 

3.4.3级数求和的计算 81 

3.4.4序列求积问题 82 

3.4.5无穷级数的收敛性判定 83 

3.5曲线积分与曲面积分的计算 85 

3.5.1曲线积分及 MATLAB求解 85 

3.5.2曲面积分与 MATLAB语言求解 87 

3.6数值微分问题 88 

3.6.1数值微分算法 88 

3.6.2高精度数值微分算法的 MATLAB实现 88 

3.6.3二元函数的梯度计算 89 

3.7数值积分问题 91 

3.7.1由给定数据进行梯形求积 91 

3.7.2单变量数值积分问题求解 93 

3.7.3广义数值积分问题求解 95 

3.7.4积分函数的数值求解 96 

3.7.5双重积分问题的数值解 96 

3.7.6三重定积分的数值求解 99 

3.7.7多重积分数值求解 99 

3.8习题 100

第 4章线性代数问题的计算机求解 106 

4.1特殊矩阵的输入 106 

4.1.1数值矩阵的输入 107 

4.1.2稀疏矩阵的输入 110 

XII高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 

4.1.3符号矩阵的输入 111 

4.2矩阵基本分析 112 

4.2.1矩阵基本概念与性质 112 

4.2.2逆矩阵与广义逆矩阵 117 

4.2.3矩阵的特征值问题 121 

4.3矩阵的基本变换与分解 123 

4.3.1相似变换与正交矩阵 123 

4.3.2矩阵的三角分解和 Cholesky分解 123 

4.3.3矩阵的相伴变换、对角变换和 Jordan变换 128 

4.3.4矩阵的奇异值分解 131 

4.4矩阵方程的计算机求解 133 

4.4.1线性方程组的计算机求解 133 

4.4.2 Lyapunov方程的计算机求解 136 

4.4.3 Sylvester方程的计算机求解 139 

4.4.4 Diophantine方程的求解 141 

4.4.5 Riccati方程的计算机求解 142 

4.5非线性运算与矩阵函数求值 143 

4.5.1面向矩阵元素的非线性运算 143 

4.5.2矩阵函数求值 143 

4.5.3一般矩阵函数的运算 146 

4.5.4矩阵的乘方运算 148 

4.6习题 150

第 5章积分变换与复变函数问题的计算机求解 155 

5.1 Laplace变换及其反变换 155 

5.1.1 Laplace变换及其反变换的定义与性质 155 

5.1.2 Laplace变换的计算机求解 156 

5.1.3 Laplace变换问题的数值求解 158 

5.2 Fourier变换及其反变换 161 

5.2.1 Fourier变换及其反变换的定义 161 

5.2.2 Fourier变换的计算机求解 162 

5.2.3 Fourier正弦变换和余弦变换 163 

5.2.4离散 Fourier正弦变换和余弦变换 164 

5.2.5快速 Fourier变换 164 

5.3其他积分变换问题及求解 165 

5.3.1 Mellin变换 165 

5.3.2 Hankel变换及求解 166 

5.4 z变换及其反变换 167 

5.4.1 z变换及其反变换的定义 168 

5.4.2 z变换的计算机求解 168 

5.4.3双边 z变换 169 

5.4.4有理函数 z反变换的数值求解 169 

5.5复变函数问题的计算机求解 170 

5.5.1复数矩阵及其变换 170 

5.5.2复变函数的映射 170 

5.5.3 Riemann面绘制 171 

5.6复变函数问题的求解 173 

5.6.1留数的概念与计算 173 

5.6.2有理函数的部分分式展开 174 

5.6.3 Laplace反变换求解 177 

5.6.4 Laurent级数展开 177 

5.6.5封闭曲线积分问题计算 180 

5.7差分方程的求解 181 

5.7.1一般差分方程的解析求解方法 182 

5.7.2线性时变差分方程的数值解法 183 

5.7.3线性时不变差分方程的解法 184 

5.7.4一般非线性差分方程的数值求解方法 185 

5.8习题 186

第 6章代数方程与优化问题的计算机求解 191 

6.1代数方程的求解 191 

6.1.1代数方程的图解法 191 

6.1.2多项式型方程的准解析解法 192 

6.1.3一般非线性方程数值解 195 

6.1.4求解多解方程的全部解 197 

6.1.5更高精度的求根方法 201 

6.1.6欠定方程的求解 203 

6.2无约束优化问题求解 204 

6.2.1解析解法和图解法 204 

6.2.2基于 MATLAB的数值解法 205 

6.2.3全局优解与全局优解法 207 

6.2.4利用梯度求解优化问题 209 

6.2.5带有变量边界约束的优化问题求解 211 

6.3有约束优化问题的计算机求解 211 

6.3.1约束条件与可行解区域 211 

6.3.2线性规划问题的计算机求解 212 

6.3.3二次型规划的求解 217 

6.3.4基于问题的描述与求解 217 

XIV高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 

6.3.5一般非线性规划问题的求解 219 

6.3.6一般非线性规划问题的全局优解尝试 223 

6.4混合整数规划问题的计算机求解 223 

6.4.1整数规划问题的穷举方法 224 

6.4.2整数线性规划问题的求解 225 

6.4.3一般非线性整数规划问题与求解 226 

6.4.4 0–1规划问题求解 228 

6.4.5指派问题的求解 230 

6.5线性矩阵不等式问题求解 231 

6.5.1线性矩阵不等式的一般描述 232 

6.5.2 Lyapunov不等式 232 

6.5.3线性矩阵不等式问题分类 234 

6.5.4线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解 234 

6.5.5基于 YALMIP工具箱的优化求解方法 236 

6.6多目标优化问题求解 237 

6.6.1多目标优化模型 237 

6.6.2无约束多目标函数的最小二乘求解 238 

6.6.3多目标问题转换为单目标问题求解 238 

6.6.4多目标优化问题的 Pareto解集 241 

6.6.5极小极大问题求解 242 

6.6.6目标规划问题求解 243 

6.7动态规划及其在路径规划中的应用 243 

6.7.1图的矩阵表示方法 244 

6.7.2有向图的路径寻优 244 

6.7.3无向图的路径优搜索 247 

6.7.4绝对坐标节点的优路径规划算法与应用 247 

6.8习题 248

第 7章微分方程问题的计算机求解 254 

7.1常系数线性微分方程的解析解方法 254 

7.1.1常系数线性微分方程解析解的数学描述 254 

7.1.2微分方程的解析解方法 255 

7.1.3微分方程组的解析求解 257 

7.1.4线性状态空间方程的解析解 258 

7.1.5特殊非线性微分方程的解析解 258 

7.2微分方程问题的数值解法 259 

7.2.1微分方程问题算法概述 259 

7.2.2四阶定步长 Runge–Kutta算法及 MATLAB实现 261 

7.2.3一阶微分方程组数值解 261 

7.2.4微分方程数值解的验证 265 

7.3微分方程转换 266 

7.3.1单个高阶常微分方程处理方法 266 

7.3.2高阶常微分方程组的变换方法 268 

7.3.3矩阵微分方程的变换与求解方法 271 

7.4特殊微分方程的数值解 273 

7.4.1刚性微分方程的求解 274 

7.4.2隐式微分方程求解 277 

7.4.3微分代数方程的求解 279 

7.4.4切换微分方程的求解 281 

7.4.5随机线性微分方程的求解 282 

7.5延迟微分方程求解 284 

7.5.1典型延迟微分方程的数值求解 284 

7.5.2变时间延迟微分方程的求解 286 

7.5.3中立型延迟微分方程的求解 288 

7.6边值问题的计算机求解 289 

7.7偏微分方程求解入门 292 

7.7.1偏微分方程组求解 292 

7.7.2二阶偏微分方程的数学描述 294 

7.7.3偏微分方程的求解界面应用举例 295 

7.8基于 Simulink的微分方程框图求解 300 

7.8.1 Simulink简介 300 

7.8.2 Simulink相关模块 301 

7.8.3微分方程的 Simulink建模与求解 302 

7.9习题 308

第 8章数据插值与函数逼近问题的计算机求解 313 

8.1插值与数据拟合 313 

8.1.1一维数据的插值问题 313 

8.1.2已知样本点的定积分计算 316 

8.1.3二维网格数据的插值问题 318 

8.1.4二维散点分布数据的插值问题 319 

8.1.5高维插值问题 321 

8.1.6基于样本数据点的离散优化问题求解 322 

8.2样条插值与数值微积分问题求解 323 

8.2.1样条插值的 MATLAB表示 323 

8.2.2基于样条插值的数值微积分运算 325 

8.3由已知数据拟合数学模型 328 

8.3.1多项式拟合 328 

XVI高等应用数学问题的 MATLAB求解（第五版） 

8.3.2函数线性组合的曲线拟合方法 329 

8.3.3最小二乘曲线拟合 331 

8.3.4多变量函数的最小二乘函数拟合 333 

8.4已知函数的有理式逼近方法 333 

8.4.1 Padé近似 333 

8.4.2给定函数的特殊多项式近似 335 

8.5特殊函数及曲线绘制 337 

8.5.1误差函数与补误差函数 337 

8.5.2 Gamma函数&n