概率论与数理统计9787030337597
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作者陈荣江,王建平
出版社中国科技出版传媒股份有限公司
ISBN9787030337597
出版时间2011-09
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目录
丛书序前言第1章 随机事件与概率 1．1 随机事件 1．2 频率与概率 1．3 等可能概型 1．4 条件概率 1．5 事件的独立性 习题1 第1章自我测试题第2章 随机变量及其分布 2．1 随机变量及其分布函数 2．2 离散型随机变量及其概率分布 2．3 连续型随机变量及其概率分布 2．4 随机变量函数的分布 习题2 第2章自我测试题第3章 多维随机变量及其分布 3．1 二维随机变量及其分布函数 3．2 边缘分布 3．3 条件分布 3．4 随机变量的独立性 3．5 二维随机变量的函数的分布 习题3 第3章自我测试题第4章 随机变量的数字特征 4．1 随机变量的数学期望 4．2 方差 4．3 协方差和相关系数 4．4 矩、协方差阵 习题4 第4章自我测试题第5章 大数定律与中心极限定理 5．1 大数定律 5．2 中心极限定理 习题5 第5章自我测试题第6章 样本及抽样分布 6．1 总体与样本 6．2 抽样分布 习题6 第6章自我测试题第7章 参数估计 7．1 点估计 7．2 估计量的优良性准则 7．3 区间估计 习题7 第7章自我测试题第8章 假设检验 8．1 假设检验的基本概念 8．2 正态总体参数的假设检验 8．3 非参数假设检验 习题8 第8章自我测试题第9章 方差分析与回归分析 9．1 单因素试验的方差分析 9．2 双因素试验的方差分析 9．3 一元线性回归 9．4 多元线性回归简介 习题9 第9章自我测试题第10章 MATLAB在概率统计中的应用 10．1 MATLAB软件简介 10．2 MATLAB的概率统计函数的应用 习题10 ……习题参考答案参考文献附录
内容摘要
第1 章 随机事件与概率
概率论是研究随机现象的统计规律性的一个数学分支．恩格斯说过：“在表面上
是偶然性在起作用的地方，这种偶然性始终是受内部的隐蔽着的规律支配的，而问题
只是在于发现这些规律．”概率论的任务就在于揭露与研究随机现象的规律性．本章
首先阐明了在大量重复试验中随机事件的频率的稳定性，从而引出随机事件的概率
的概念．然后叙述概率的古典定义、概率的性质、条件概率、乘法公式、全概率公式、贝
叶斯公式以及事件的独立性，最后讲述独立试验序列中的二项概率．
1.1 随机事件
1.1 ．1 必然现象与随机现象
人们在实践活动中所遇到的现象，一般来说可分为两类：一类是必然现象，或称
确定性现象；另一类是随机现象，或称不确定性现象．必然现象是指在相同条件下重
复试验，所得结果总是确定的现象――只要试验条件不变，试验结果在试验之前是可
以预言的．例如，在标准大气压下，水被加热到100 ℃ 必然沸腾；两个同性的电荷一定
互斥；做匀速直线运动的物体，如无外力作用，必然继续做匀速直线运动等，这些现象
都是必然现象．随机现象是指在相同条件下重复试验，所得结果不一定相同的现象，
即试验结果是不确定的现象．对这种现象来说，在每次试验之前哪一个结果发生，是
无法预言的．例如，出生前对新生婴儿性别的判定；抛掷一枚质地均匀的硬币，硬币落
地后的结果是否为带国徽的一面朝上；从一批产品中，随机抽检一件产品，结果可能
是正品，也可能是次品；测量某个物理量，由于许多偶然因素的影响，各次测量结果可
能不相同等，这些现象都属于随机现象．
虽然随机现象在一定条件下，可能出现这样或那样的结果，而且在每一次试验或
观察之前不能预知这一次试验的确切结果，但人们经过长期的反复实践，发现这类现
象虽就每次试验结果来说，具有不确定性，但大量重复试验，所得结果却呈现出某种
规律性．例如：掷一枚质地均匀的硬币，当投掷次数很多时，就会发现出现正面和反面
的次数几乎各占一半；又如，对一个目标进行射击，当射击次数较少时，弹孔的分布没
有明显的规律性，但当射击次数非常多时，就会发现弹孔的分布呈现一定的规律性：
即弹孔关于目标的分布略呈对称性，且越靠近目标的弹孔越密，越远离目标的弹孔越
稀；再如，调查多户家庭，其消费水平呈现“两头少，中间多”的状况，即处于中间状态
的家庭占多数．
这种在每次试验中呈现不确定性，而在大量重复试验中又呈现某种统计规律性
的现象叫随机现象．概率统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一个数学分支，
它被广泛地应用于自然科学及社会科学的诸多领域中．
1.1.2 随机试验与随机事件、样本空间
对随机现象进行研究时，人们通常要进行大量的观察、试验．如果试验具有以下
三个特点，则称之为随机试验．
（1） 可以在相同条件下重复进行；
（2） 试验结果不止一个，且可以预知一切可能的结果的取值范围；
（3） 试验前不能确定会出现哪一个结果．
随机试验是一种含义较广的术语，它包括对随机现象进行观察、测量、记录或做
科学试验等．随机试验也简称为试验，记为E ．以后所提到的试验都是指随机试验．
在随机试验中可能发生也可能不发生的结果，称为随机事件，简称事件．
在一个试验中，不论可能的结果有多少个，总可以从中找出这样一组基本结果，
满足：
（1） 每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果；
（2） 任何事件，都是由其中的一些基本结果所组成．
随机试验中的每一个基本结果称为样本点，记为e ，只含有一个样本点的事件称
为基本事件，或记为｛ e｝ ．
随机试验E 的全体样本点组成的集合称为试验E 的样本空间，记为S ．
随机事件可表述为样本空间中样本点的某个集合，常用大写字母A ，B ，C ，… 表
示．显然，一切事件均可分解为若干基本事件的和，而基本事件不可再分．所谓事件A
发生，是指在一次试验中，当且仅当A 中包含的某个样本点出现．
在每次试验中一定发生的事件称为必然事件．样本空间S 包含所有的样本点，
每次试验它必然发生，因此，它是一个必然事件．必然事件用S 表示，它是样本空间S
的一个子集．在每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件，记为?．它是样本空
间S 的一个空子集．
必然事件与不可能事件可以说不是随机事件，但为了今后研究方便，把它们作为
随机事件的两个极端情形来处理．
下面是一些试验的例子．
E1 ：掷一颗骰子，观察所掷的点数是几．
E2 ：质检部门抽查市场某种商品的质量，检查商品是否合格．
E3 ：观察某网站一分钟内受到点击的次数．
E4 ：对某只灯泡做实验，观察其使用寿命．
这里所举的4 个试验中，若以Si 表示试验Ei 的样本空间（ i ＝ 1 ，2 ，3 ，4） ，则
S1 ＝ ｛1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6｝ ．
S2 ＝ ｛合格品，不合格品｝ ．
S3 ＝ ｛0 ，1 ，2 ，… ｝ ．
S4 ＝ ｛ t ，t ≥ 0｝ ．
需要说明的是：在E3 中，虽然网站一分钟内受到点击的次数是有限的，不会非常
大，但一般说来，人们从理论上很难定出网站一分钟内受到点击次数的有限上限．为
了方便，我们把上限视为∞ ．这样的处理方法在理论研究中经常被采用．
例1.1.1 掷一颗骰子，用A1 ＝ ｛1｝ ，A2 ＝ ｛2｝ ，… ，A6 ＝ ｛6｝分别表示所掷的结果
为“一点”至“六点” ，B 表示“偶数点” ，C 表示“奇数点” ，D 表示“四点或四点以上” ．若
试验的目的是观察所掷的点数是几，试写出样本空间；指出A1 ，A2 ，… ，A6 ，B ，C ，D 事
件中哪些是基本事件；表示事件B ，C ，D ．
解 投掷后可能有6 种不同的结果A1 ，A2 ，… ，A6 ，样本空间S ＝ ｛1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，
6｝ ；A1 ，A2 ，… ，A6 都是基本事件；B ＝ ｛2 ，4 ，6｝ ，C ＝ ｛1 ，3 ，5｝ ，D ＝ ｛4 ，5
，6｝ ．
例1.1.2 将一枚均匀对称的硬币掷两次，观察正反面出现的情况，写出此试验
的样本空间；若设A ＝ “两次掷出朝上的面相同” ，B ＝ “两次掷出朝上的面至少有一
个正面” ，表示事件A ，B ．
解 样本空间S ＝ ｛（反，反） ，（正，反） ，（反，正） ，（正，正）｝ ．A ＝ ｛（反，反） ，（正，
正）｝ ，B ＝ ｛（正，反） ，（反，正） ，（正，正）｝ ．
根据事件发生的意义，在例1.1 ．1 中，当投掷结果为“四点”时，事件A4 ，B ，D 均
发生．
1.1.3 事件之间的关系与运算
随机事件是一个集合，因此事件之间的关系与运算可以按集合论中的处理，但应
根据“事件发生与否”给出它们在概率论中的提法．
1 ．事件的包含与相等
若事件A 发生则导致事件B 发生，即A 中每个样本点都属于B ，则称A 含于B
或B 包含A ，记为A 炒B ．若A 炒B 且B 炒A ，则称A 与B 相等，记为A ＝ B ．
易知A 炒B 等价于若B 不发生则A 必不发生．对于任何事件，有?炒A 炒S ．
2 ．事件的和（并）
设A ，B 为两事件，则称事件“ A 发生或B 发生”为A 与B 的和事件，记为A ∪ B ．
它是由A ，B 中一切样本点共同组成的集合．
一般地，n 个事件A1 ，A2 ，… ，An 的和事件记为∪
n
i ＝ 1 Ai ，可数个事件A1 ，A2 ，… 的和
事件记为∪
∞
i ＝ 1 Ai ，它们都表示所列诸事件中至少有一个发生．
3 ．事件的积（交）
设A ，B 为两事件，则称事件“ A 与B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A ∩ B 或
A B ．它是由既属于A 又属于B 的样本点构成的集合．
一般地，n 个事件A1 ，A2 ，… ，An 的积事件记为∩
n
i ＝ 1 Ai ，可数个事件A1 ，A2 ，… 的积
事件记为∩
∞
i ＝ 1 Ai ，它们都表示所列诸事件全发生．
4 ．事件的差
设A ，B 为两事件，则称事件“ A 发生但B 不发生”为A 与B 的差事件，记为A -
B ．这是由属于A 但不属于B 的样本点组成的集合．
例如，在例1.1.2 中，A - B ＝ ｛（反，反）｝ ．
5 ．互斥（不相容）事件
若事件A 与B 不能同时发生，即A ∩ B ＝ ?，则称A 与B 为互斥事件，或互不相
容事件，这时A 与B 没有公共的样本点．显然，不同的基本事件是互不相容的．
6 ．互逆（对立）事件
设A ，B 为两事件，若A ∩ B ＝ ?且A ∪ B ＝ S ，则称A 与B 为互逆事件，或对立
事件，这时B 叫做A 的逆事件，记为A ，即A 不发生．显然，这时有B ＝ A ，A ＝ B ，A ＝
S - A ．易知，若A ，B 是任意两事件，则
A ?A ＝ ?， A ∪ ?A ＝ S ， A - B ＝ A ?B ， ?A ＝ A
由定义知，对立事件必为互不相容事件，反之，互不相容的两个事件未必为对立
事件．以上事件之间的关系与运算可以用文氏图来直观地表示．若用平面上的一个矩
形表示样本空间S ，矩形内的点表示基本事件，圆A 与圆B 分别表示事件A 与事件
B ，则A 与B 的各种关系及运算如图1.1 ．1 ~ 图1.1.6 所示．
7 ．事件的运算律
设A ，B ，Ai （ i ＝ 1 ，2 ，… ）为事件，则有
（1） 交换律
A ∪ B ＝ B ∪ A ， A ∩ B ＝ B ∩ A
（2） 结合律
（ A ∪ B） ∪ C ＝ A ∪ （ B ∪ C）
（ A ∩ B） ∩ C ＝ A ∩ （ B ∩ C）
（3） 分配律
A ∪ （ B ∩ C） ＝ （ A ∪ B） ∩ （ A ∪ C）
A ∩ （ B ∪ C） ＝ （ A ∩ B） ∪ （ A ∩ C）
（4） 德? 摩根律
A ∪ B ＝ A ∩ B ， A ∩ B ＝ A ∪ B
对于任意多个事件，有
∪ n
i ＝ 1 Ai ＝ ∩
n
i ＝ 1 Ai ， ∩
n
i ＝ 1 Ai ＝ ∪
n
i ＝ 1 Ai
∪ ∞
i ＝ 1 Ai ＝ ∩
∞
i ＝ 1 Ai ， ∩
∞
i ＝ 1 Ai ＝ ∪
∞
i ＝ 1 Ai
例1.1.3 设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 表示下列事件：
（1） A 发生而B 与C 都不发生；
（2） A 与B 都发生而C 不发生；
（3） A ，B ，C 都发生；
（4） A ，B ，C 恰有一个发生；
（5） A ，B ，C 中至少有一个发生；
（6） A ，B ，C 中不多于两个发生；
（7） A ，B 至少有一个发生而C 不发生；
（8） A ，B ，C 恰有两个发生．
解 （1） A ?B?C 或A - B - C ．
（2） A B C或A B - C ．
（3） A BC ．
（4） A ?B?C + ?A B?C + ?A ?BC ．
（5） A ∪ B ∪ C 或A ?B?C + ?A B?C + ?A ?BC + A B?C + A ?BC + ?A BC
+ A BC ．
（6） ?A ?B?C + A ?B?C + ?A B?C + ?A ?BC + A B?C + A ?BC + ?A BC
或A BC ．
（7） （ A ∪ B） ?C 或A ?B?C + ?A B?C + A B?C ．
（8） A B?C + A ?BC + ?A BC ．
1.2 频率与概率
1.2.1 频率及其性质
一个随机试验有多个可能的结果，但人们在实践中常常发现，各种可能的结果出
现的机会不尽相同．就是说，在多次重复试验中，有些结果出现的次数明显要多些，有
些则要少些，它们具有统计规律性．例如，我国人口中具有O 型血的人数明显地高于
其他血型．为了揭示这种规律性，合理地刻画事件在一次试验中发生的可能性大小，
我们先引进频率的概念，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数字
度量――概率．
定义1.2.1 在n 次重复试验中，若事件A 发生了nA 次，则称nA 为事件A 在n
次试验中发生的频数，称nA 与n 的比值nA / n 为事件A 在n 次试验中发生的频率，
记为fn （ A） ．
由定义，易知频率具有以下性质：
（1） 0 ≤ f n （ A） ≤ 1 ；
（2） f n （ S） ＝ 1 ；
（3） 若A1 ，A2 ，… ，Ak 为k 个两两互斥的事件，则
f n ∪
k
i ＝ 1 Ai ＝ Σ
k
i ＝ 1
f n （ Ai ）
性质（3）称为频率的有限可加性，它在定义概率时起到重要作用．我们在这里仅
就这一条性质给出一个简单证明．
设两个事件A ，B 不相容，又设在n 次试验中，A ，B ，A ∪ B 发生的频数分别为
nA ，nB ，nA ∪ B ．由于A 与B 不能同时发生，故有nA ∪ B ＝ nA + nB ，从而
主编推荐
精彩内容
陈荣江等编著的《概率论与数理统计》的编写注重讲清基本概念、基本理论与统计思想，强调基本方法的应用，略去较烦琐的理论推导，力求简洁、清晰地阐述一些概念产生的背景和重要结论使用的技巧和方法，有助于学生接受和掌握所学的内容，达到会用的目的。书中例题与习题较丰富，为便于实时检测学习的效果，每章后还配备了自我测试题，取材时注重启发性和应用性，着重培养学生的基本运算能力、分析与解决问题的能力。 全书共10章，～5章为概率论部分，是学习数理统计的推荐基础。第6～9章为数理统计部分，主要讲授样本及抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析。0章简要介绍MATLAB统计工具箱中部分函数的功能和使用方法，读者可按需选用。 《概率论与数理统计》可作为高等学校理工类、经管类、农林类本科各专业概率论与数理统计教材，也可供大专、函授或自考该课程的读者使用。
媒体评论
概率论与数理统计是现代数学的重要分支，是全国高等院校理工、经管类专业的主要基础课程，它在自然科学、经济管理和工程技术各领域都有着广泛的应用，随着计算机的普及和优秀统计软件的推广应用，概率统计在金融保险、生物医学等众多领域内所起的作用日趋明显。
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