振动系统的逆谱问题

魏朝颖，西安石油大学副教授，主要从事一线教学和科研工作。

第1章 概述

第2章 传输特征值的逆谱问题

第3章 Sturm－Liouville微分算子的逆谱问题

第4章 Dirac算子的逆谱问题

第5章 Jacobi矩阵的逆谱问题     

参考文献

第1章概述

振动系统中的微分算子谱与反谱理论是讨论在数学物理、各类应用和理论科学及工程技术问题所提出的各种有关算子谱结构、函数按特征值展开、算子的结构特性及由算子的谱信息唯一确定、重构算子等课题的专门研究领域.它与近代分析学科的几乎所有分支都有密切联系，并在量子力学、数学物理和许多涉及特征值计算的工程技术中均有重要应用.

1.1 Sturm-Liouville 问题和Dirac 问题的物理背景

作为振动系统的典型代表，Sturm-Liouville(简称S-L)问题更受研究者关注.

该问题的研究缘起于19世纪初叶Fourier对热传导问题的数学研究，Sturm和Liouville将Fourier的方法又进行了一般性的讨论，他们所得的结果，即形成了S-L问题理论，该理论后来成为解决一大类数理方程的理论基础.S-L问题不仅是常微分算子研究方法的起源地，也是量子力学中描述微观粒子状态的基本数学手段.许多知名数学家，诸如Weidam、Simon、Titchmarsh、Levison、Krein、Naimark等(见参考文献[1]~[11]）,均曾投入于S-L问题理论和应用的研究，特别在S-L问题的谱、逆谱、迹、亏指数理论等方面作出了开拓性的工作.因此，S-L理论已经逐步形成数学界和物理学界的一个非常重要的研究领域.

S-L方程可产生于细直杆的纵向振动问题[5]、非均匀弦的振动问题（5]、杆的轴向振动与扭转振动问题（1]、地球的扭动振动问题（6]、声波在管道中的传播问题（[13]、有限长均匀杆的热传导问题（14]、微波传输问题（15.16]等.根据牛顿第二定律，上述物理模型，都可描述为二阶偏微分方程的初值或边值问题，利用分离变量法求解该类问题，最终都往往导致如下的S-L问题：

……

该书立足于数学，结合相关的物理现象，从新的观点出发，对数学物理学科中被广泛关注的若干振动系统的反谱和反散射问题进行了系统和深入的研究，其中主要包括Sturm-Liouville差分算子、微分算子、Dirac微分算子和Jacobi算子。特别地，还研究这些系统的不完备谱数据的逆谱问题，其主旨在于选取最少的谱数据以确保系统是唯一的，并在此基础上给出算子的重构算法。