解析几何学史

第一章最初贡献…

第二章亚历山大时期

第三章中世纪

第四章近代早期序幕

第五章费马与笛卡儿

第六章评注时代

第七章从牛顿到欧拉…

第八章最终公式化阶段·

第九章黄金时代

附录…

巴比伦人在代数上的显著水平早在几千年前就有所显现.例如许多二次方程显然是用现在惯用的“配方法”或类似公式（在根式前加正号）来求解的；而三次方程则通过使用立方表来求解.有些工作指出了对数的粗略估计值，并且也有使用负数的例子.近期有公开资料①表明，巴比伦人已有一些抽象数论的基础知识，包括毕达哥拉斯三元数组的确定规则.他们可能还熟悉算术、几何和调和平均数的概念.能在代数上达到这样的水平本身就非常了不起，但是很难说这些工作从多大程度上最终决定了希腊的发展，毕竟解析几何的进一步发展是以一种完全不同的方式和精神进行的.

古希腊文明给其后继者留下了大量的算术和几何知识，但以数形结合为特征的代数几何是抽象概括的产物，这是埃及人和巴比伦人未能发现的.数值和空间关系最早源于对实例的实证调查，并通过粗略的归纳过程扩展到其他类似情况.通过这种方法得出的结论也许可以用一般术语来理解，但他们总是用具体数值项而非一般定理来表述.此外，现存的证据表明，古希腊人从未使用过正式的演绎推理.但由于希腊人②强调抽象概括的价值（解析几何就是一个典型例子）及其演绎阐述，他们通常被视为严格意义上的数学奠基人.这一重大变化是如何或为何发生的一直是人们热议的话题，但至今未得出明确的结论.然而，值得注意的是，这场早期的知识革命大约发生在文明中心的明显地理转移时期.以前的中心例如尼罗河、底格里斯河和幼发拉底河等河谷；但到了公元前8世纪中叶，这些古老的河流文明遭遇了建立在地中海周围朝气蓬勃的大洋文明.

泰勒斯（约前640一前546）和毕达哥拉斯（约前572一前501）在很大程度上或至少特别影响了公元前6世纪希腊的学术氛围，这正是所谓数学的真正起源；但他们的贡献更多在于抽象视角以及材料的演绎排列，而非任何新颖的主题.就最初的发现而言，泰勒斯和毕达哥拉斯的定理被错误命名，但根据其他已知关系中对定理的合理推论，这些名称也许是合理的.这些人的著作没有保存下来，但根据后来的记述（尤其是帕普斯和普罗克鲁斯），一致将演绎法的使用归功于“第一位数学家”——米利都学派的泰勒斯；而数学发展为一门独立而抽象的学科（博雅艺术）则是萨摩斯岛和克罗托纳的“数学之父”毕达哥拉斯的功劳.简而言之，这两位最先出名的数学家是论证几何学的创始人.泰勒斯在几何学上的贡献尤为突出.他似乎对算术或古希腊时期代数与几何的结合贡献甚少，而毕达哥拉斯及其门徒却在此方向进一步发展.早期人们把时间和空间与数量联系起来，但毕达哥拉斯学派却试图通过将事物与自然数的性质联系起来用以解释所有现象.其著名的“万物皆数”观点启发了许多数学分支的形成，其中有好有坏，包括解析几何的要素以及数字学.作为该程序的一部分，毕达哥拉斯学派①继续研究古希腊的长度、面积和体积问题，并且坚信数在任何情况下都能与几何量相关联.他们的早期工作中隐含了一个看似合理的假设，即线段之间的关系（面积和体积也是如此）可以通过整数比来表示，因此比率和比例的概念成为所有希腊数学的基础简单的比例被应用于古希腊数学的许多方面，尤其是在几何测量问题上.在约公元前1650年的阿姆士纸草书中可以清楚地发现比例概念，而在早期的莫斯科纸草书中也有表示直角三角形中较大边与较小边比例的术语.同一时期的巴比伦人在月相表中使用与线性插值相关的比例，并且熟悉简单的几何级数.但在希腊时代之前，似乎没有对比率和比例的纯理论研究古代一般分数概念的缺失对科学和数学影响甚深，因为它导致了比例概念而非更一般的函数概念占据了两千年来思想的主导地位.对于现代词“ratio”，希腊人有两种表达方式②——“diastema”（字面意思是“间隔”）和“logos”（意思是“单词”），尤其是在表达含义或见解的意义上.后者通常用于数学中，指的是毕达哥拉斯以比率表达事物内在本质的思想，比率的语言及理论主要是从音乐理论发展而来，据说，毕达哥拉斯从音乐中发现了最古老的数学物理定律和声的本质在于振动弦长度之间应该是简单整数的特定比率.希腊语中用“analogja”表示比例或比率相等，其字面意思是具有“相同的比率”.这在某种程度上相当于现代使用方程表示函数关系，尽管受到的限制要大得多，但两千……

本书以广泛概貌代表为主要对象，将解析几何的历史发展作为一个整体进行了综合考察。本书还探讨了解析几何引发的问题——数与几何量大小的相关性，介绍了解析几何的产生条件，给出了解析几何的发展历程，最后论述了坐标系的建立将几何对象和数、几何关系和函数之间建立起了密切的联系，将空间形式的研究归结成比较成熟且容易驾驭的数量关系的研究。