经济数学基础精要与例解9787030681232

第1章 极限与连续　　1.1 概念、性质与定理　　1.1.1 函数　　1.1.1.1 概念　　1.设，如果对任意的 x ∈ X，在某个对应规则下有**的 y(y ∈ Y )与之对应，则称 y是 x的函数，记为 y = f(x). X称为函数 y = f(x)的定义域，定义域常记为 D(f)，而 f为对应规则， x为自变量， y为因变量.对固定的x ∈ D(f)，相对应的值 y常称为函数值，可由 f(x)计算，即 y = f(x).函数值的全体称为 y = f(x)的值域，常记为 R(f).这类函数称为单变量单值实函数.　　2.设，如果对任意的 x =(x1， ，xn) ∈ X，在某个对应规则下有**的 y(y ∈ Y )与之对应，则称y是x或 x1， ，xn的函数，记为 y = f(x1， ，xn)或 y= f(x). X称为函数 y = f(x1， ，xn)的定义域，定义域常记为 D(f)，而 f为对应规则， xi为第 i个自变量， y为因变量.对固定的 (x1， ，xn) ∈ D(f)，相对应的值 y常称为函数值，可由 f(x1， ，xn)计算，即　　y = f(x1， ，xn).函数值的全体称为 y = f(x1， ，xn)的值域，常记为 R(f).　　这类函数称为多变量 (n元)单值实函数.　　3.设 f(x1， ，xn)((x1， ，xn) ∈ D(f))是一个给定的函数，如果对任意的 (x1， ，xn) ∈ D(f)，存在正数 M使得 |f(x1， ，xn)| . M，则称函数 f(x1， ，xn)是有界的.　　依此， f(x1， ，xn)在点 (x10 ， ，x0 )附近有界指的是，存在正数 M和 δ，使) II， n0)2 + } 得，当 (x1， ，xn) ∈ (x1) ， ，xn) I(x1 . x1 +(xn . xn0 )2 <δ } (圆形邻域)或者 (x1， ，xn) ∈ (x1， ，xn)I I|x1 . x1| < δ， ， |xn . xn| <δ (方形邻域)时，　　4.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数，如果对任意的 x ∈ D(f)， f(.x)= f(x)成立，则称 f(x)为偶函数.如果对任意的 x ∈ D(f)， f(.x)= .f(x)成立，则称 f(x)为奇函数.　　5.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数 ，如果存在数 T ，使得对任意的 x ∈ D(f)， f(x + T )= f(x)成立 ，则称 f(x)为周期函数 ， T为周期 ，*小的正数 T称为 f(x)的*小正周期.　　6.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数 ，如果对任意的 x1，x2 ∈ D(f)，且 x1 <x2， f(x1)=""f(x2))成立 ，则称 f(x)为单调递增 (减)函数 ;如果对任意的 x1，x2 ∈ D(f)，且 x1 <x2， f(x1)="" .="" f(x2)(f(x1)="" f(x2))成立="" ，则称="" f(x)为单调不减="" (增)函数或单调上升="" (下降)函数.如果="" f(x)在区间="" i上单调递增="" (减)，则区间="" i称为="" f(x)的单调递增="" (减)区间="" .如果="" i上单调不减="" (增)或单调上升="" (下降)，则区间="" f(x)的单调不减="" (下降)区间.="" 　　7.设 f(x)(x ∈ D(f))是一个给定的函数 ，如果对任意的 x1，x2 ∈ D(f)和对任意的数 α ∈ [0， 1]，下列不等式成立 ，且等号仅当 x1 = x2，或 α=0，或 α =1时成立，
　　f(αx1 + (1-α)x2) ≤ αf(x1) + (1-α)f(x2)
　　(f(αx1 + (1-α)x2) ≥ αf(x1) + (1-α)f(x2))，
　　则称 f(x)为上 (下)凹函数.
　　特别地，如果函数 f(x)(x ∈ D(f))是一元函数时，即对任意的 x1，x2 ∈ D(f)， α ∈ [0， 1]，下列不等式成立且等号仅当 x1 = x2，或 α =0，或 α =1时成立，
　　f(αx1 + (1-α)x2) ≤ αf(x1) + (1-α)f(x2)
　　(f(αx1 +