分形函数维数与信号分析9787312055324

华小强博士，国防科技大学电子科学学院讲师，长期从事智能信号处理的研究工作，主持科研项目6项，发表学术论文40余篇。

周鹤峰博士，国防科技大学气象海洋学院副教授，长期从事声全息相关技术研究，主持科研项目7项，发表学术论文30余篇，出版专著1部。

前言

第1章确定性分形的数学背景

1.1引言

1.2迭代函数系统

1.3可数迭代函数系统

1.4局部可数迭代函数系统

1.4.1局部迭代函数系统

1.4.2局部可数迭代函数系统的存在性及其解析性质

1.5分形维数

1.6广义分形维数

1.6.1一些特例

1.6.2广义分形维数的极限情形

1.6.3广义分形维数的范围

1.7结束语

第2章分形函数

2.1引言

2.2插值函数

2.3分形插值函数

2.4隐变量分形插值函数

2.5分形插值函数的经典微积分

2.6结束语

第3章分形函数的分数阶微积分

3.1引言

3.2线性分形插值函数

3.3二次分形插值函数的黎曼-刘维尔分数阶微积分

3.4分形维数

3.5带变尺度因子的二次分形插值函数的分数阶微积分

3.6结束语

……

第4章可数数据的分形插值函数

第5章多重分形分析和小波分解在EEG 信号分类中的应用

第6章模糊多重分形分析在ECG 信号分类中的应用

参考文献

第1章确定性分形的数学背景

1.1引言

数学中用欧氏几何来描述自然对象的历史与科学本身的出现时间一样古老。在我们的直观理解中,直线、正方形、矩形、圆形与球体等都是传统几何学的基本形状，数学主要关心的是如何用这些基本形状来模拟、通近或分析自然现象。事实上，自然界中的物体包括但不限于这些通常只由整数维表征的欧几里得对象,但我们却将自己禁锢在了整数维空间中。即便是现在,我们在初等教育阶段也只会学习“有长度的物体是一维的，有长度和宽度的物体是二维的,有长度、宽度和高度的物体是三维的”。那么是否有人想过为什么人们总是往整数维空间靠拢呢?据我们所知几乎没人思考过这个问题,即使现实中存在着非整数维对象。然而,有一个人解决了这一问题，他就是伯努瓦，曼德勃罗(Benoit B. Mandelbrot)。曼德勃罗在其创造性的工作中提出了一个新的科学术语分形。多年来他对这类问题一直感到困惑，他意识到自然界并不仅仅局限于欧几里得空间或整数维空间,相反，人们周围所能看到的大部分自然物体的形状都很复杂，无法用传统的欧氏几何来充分描述它们，而分形几何能定量地描述这样的复杂结构,这使得它不可替代。曼德勃罗用分形的概念彻底地革新了欧氏几何，分形的概念几乎在每一个科学分支中都引发了广泛关注。他在著作《大自然的分形几何学》中提出了这一新概念，自此以后,这本书就一直是科学家和数学爱好者的标准参考书，从某种意义上说，分形的概念将许多表面上不相关的主题整合到了一起。

在大量的研究工作中,分形的思想几乎被应用于每一个科学分支，以便更深刻地理解许多尚未解决的问题。然而,现实中并没有一个完美的分形定义,定义分形最简单的方法是将其视为一个在不同放大倍数下都表现出自相似性的对象。“分形”通常是一种粗糙或零碎的几何形状，并且可以分成多个局部，每个局部(至少近似地)都是整体的缩小形式,这种特性称为自相似性。“分形”一词源自拉丁语“fractus”,意思是破碎或断裂，用来描述形状极不规则以至于无法用传统几何形状进行拟合的物体。在曼德勃罗的原文中，他从数学上将“分形”定义为豪斯多夫(Hausdorff)维数严格大于其拓扑维数的集合。粗略地讲,分形集比经典几何中所考虑的集合更加“不规则”,具有严格的自相似性或统计自相似性,曼德勃罗等人利用这一性质对大量的自然现象进行了建模。哈钦森(Hutchinson)从理论上给出了严格的自相似性的概念，巴恩斯利(Barnsley)将这一概念进行了推广。

……

本书共包括6章，主要个绍了分形的理论知识以及应用，内容包括确定性分形的一些数学基础与定义、分形函数、分形函数上的分数阶微积分、可数数据的分形插值函数、多重分形与小波分解在EEG信号分类中的应用，以及模糊多重分析在ECG信号分类中的应用。