高考数学典型类型题解题方法与出试规律

图书标准信息

• 作者 孙相晨
• 出版社 电子工业出版社
• 出版时间 2014-01
• 版次 1
• ISBN 9787121221637
• 定价 39.80元
• 装帧 平装
• 开本 16开
• 纸张 其他
• 页数 324页
• 字数 518千字

【内容简介】

本书由多年从事高中数学教学工作的高级教师根据长期探讨和研究的结果编撰而成。全书内容分为两部分：第一部分为各典型类型题及解题方法。第二部分为各典型类型题在2009—2013年高考数学试题中出试的统计表（表一和表二），用以推测下一年高考数学试题的类同题。读者若按书中介绍的方法去做，一定会取得较大的进步。

【作者简介】

孙相晨毕业与齐齐哈尔师范学院，担任黑龙江和北京重点中学的高中数学老师。

【目录】

第一部分  典型类型题

一、立体几何

1.计算证题中直线垂直直线,来完成求证的直线垂直平面

2.转化法证直线垂直平面

3.向量法证直线l垂直平面α

4.已知直线垂直平面,求待定“点”的坐标

5.若证直线l∥平面α，则证直线l⊥n(n 为α平面法向量)

6.若证直线l∥平面α，则转化为证平面α′∥平面α，且l?α′，则l∥α

7.“立几法”求直线与平面所成的角

8.“向量法”求直线与平面所成的角

9.“立几法”求二面角的平面角

10.“向量法”求二面角的平面角

11.“立几法”求点到平面的距离

12.“向量法”求点到平面的距离

13.“平行条件”下的待定探求

14.“垂直条件”下的待定探求

15.“已知距离条件”下的待定探求

16.利用已知二面角θ求有关θ角的三角函数的最值

17.证平面垂直平面转化为平面的法向量n1⊥n

18.用椭圆的定义确定多面体取得体积最值时的条件，求体积最值时，作一个辅助截面，作为求体积最值时的底面，然后求解

19.结合“设而不求”消参数，用“数量积”为0，证直线垂直直线

有关解法注意点

二、导数与函数

1.利用导数求函数的单调性

2.求字母参数的取值范围

3.利用导数证明有关不等式的成立

4.利用导数求函数的极值或最值

5.利用导数求线性规划中的约束条件

6.利用已知求导数后，再组成方程组，求题目的待定字母

7.先构造函数，再利用导数，判定函数的单调性，结合题中的图像，作出相关函数图像的分析，判定选择图像

8.在选择题中不要忽略用导数证明不等式的成立，且在解题中还要结合应用赋值法和图像法

9.函数零点题型

10.利用导数求最值，判别二曲线相互位置或其交点个数

有关解法注意点

三、概率

1.频率直方图、分层抽样、概率计算、随机变量分布、相互结合的题型

2.灵活判别（离散型）随机变量取值的题型

3.灵活判别“题目”为哪种“分布”的题型

4.利用随机变量分布列的性质或数学期望求“分布列”中有关的概率

5.求几何概率与考查三角函数图像，性质及导数，定积分相互结合题型

6.比较两个随机变量方差的大小，可转化为考查两个随机变量ξ1，ξ2各自对应值变化，ξ取值波动性大的方差较大

7.利用已知EX（数学期望），ED（数学方差），求题目中相关的待定字母（或其比值）

有关解法注意点

四、数列

1.已知数列an的递推公式，求an（或在已知an递推关系式基础上用累加法求an）

2.利用已知求出构造的辅助数列{cn+b}的递推关系式及通项公式（含cn与an关系），进一步可求an

3.用已知求得an的递推关系式，然后对得到的递推关系中的参数进行分类讨论（或用累加法）求an

4.结合用导数确定出函数的极值后，用观察法写出an的通项公式an，再用数学归纳法证之成立，进而求得an

5.结合分类讨论求解数列an(或Sn)的分段形式

6.由已知求出Sn（数列的前n项），再用Sn-?Sn-1?求得an（数列的通项公式）

7.结合数列有关知识证明不等式

8.利用已知导出辅助数列bn的递推关系式，在此基础上再导出所求证数列an的递推关系式，然后去完成题目求证的数列为等比（或等差）数列

9.灵活变形已知条件（如解方程组，等式两边同加（减）一个式子），导出求证数列递推关系式进而完成题目求证的an为等比（差）数列

10.把求Sn转化为几部分，求出的各部分的和相加，可得所求的Sn

11.错位相减法求Sn

12.裂项（拆项）结合累加（叠加）法，求Sn

13.从函数的角度看Sn，求Sn的最值

有关解法注意点

五、解析几何

1.结合向量的坐标运算，运用“转化思想”，求动点P的曲线方程

2.结合向量的坐标运算，利用转化思想，再用“直接法”求动点P的曲线方程

3.两次使用“转化法”的思想，设辅助参数y0（且设而不求y0），对题中参数λ进行适当讨论，求动点P的曲线方程

4.对得到含已知参数λ的曲线方程进行参数λ的分类讨论，进而确定参数λ在各具体条件下对应的所求P点的曲线方程

5.利用导数求斜率Kx=x0，建立f（x0）?的解析式，结合基本不等式求最值

6.在类同解析几何“5”的基础上，增加了设辅助参数K（设而不求），对参数K进行技巧性变形，进而求得最值

7.结合图形的分类讨论，求最值

8.利用“判别式”建立h和t的不等式A（h为题中所求的最值，t为辅助参数）,利用已知再建一个h的不等式B（B不含t)，解B，将h的解集结合A后，可求最值

9.M为已知椭圆上的动点，C，D为椭圆焦点，且知椭圆方程，求|MC|×|MD|的最大值

10.先用转化思想把求最值的“式子”变形，求得“变形式子”的最值后，间接可得原题所求的最值

11.把求最值的式子表示成P动（x0,y0）中x0或y0的函数式，利用函数思想求最值

12.“交轨法”结合消参数，求曲线方程

13.利用a，b，c的勾股定理关系式，结合已知导出①＇用b同时表示a，c；②＇用a表示b，c，皆可求离心率e

14.用坐标表示已知的向量关系式，结合韦达定理，导出a,c关系式，可直接求得ca，即e可求

15.把由已知得到的a，b，c关系式，两边分别除以a或a?2，得关于e的一元二次方程，解此方程可求e

16.简化、减少圆锥曲线运算量的一种常见题型

17.向量坐标运算与分类讨论结合判别“是否存在”

18.把是否存在转化为相关变量t的变化，而t的变化再度转化为有关离心率e的变化讨论的题型

19.把是否存在转化为相关量x0的确定，而解x0的方法是：通过已知建立有关x0的方程，从而确定是否存在的结论

20.“不存在”性的问题判断

21.技巧变形，利用“比值”消去参数，完成题目证明或计算

22.多个参数，设而不求，逐个消参数，求直线l的方程

23.求参数的取值范围

24.“证”或“求”定值

25.如何证曲线过定点

有关解法注意点

六、三角函数

1.利用正（余）弦定理边角互化或在此基础上与平面向量坐标有关计算相结合，求值或角

2.利用正（余）弦定理边、角互化，在此基础上建立三角形边的方程（或方程组），求值或角

3.解三角形中，有关三角形的形状、解的个数或角的范围讨论

4.化简三角函数式与向量的坐标运算相结合求最值

5.选定自变量角C，引入辅助角φ建立三角函数式，求最值

6.利用三角函数的单调性，结合图像及自变量取值范围的特点，求最值

7.利用三角函数关系式,化简、配方、换元为一元二次函数（或化成同一个角、同一三角函数）求最值

8.利用三角函数关系式，把求式转化成同一个角、同一个三角函数式，求周期

9.结合已知f(x)的最值，求f(x)=Asin(ωx+φ)的解析式

10.已知f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像，求其解析式

11.直接应用函数的奇偶性、有界性等相关函数性质，进行函数图像分析，得出结论

12.根据函数图像性质，组建所求字母参数不等式，再利用基本不等式解组建新不等式，可求出字母参数的取值范围

13.化简函数解析式，结合函数图像，求参数K取值范围

有关解法注意点

七、平面向量

1.与解三角形正（余）弦定理结合，求向量模的取值范围

2.在“选建平面直角坐标系”、坐标运算的基础上，把求式转化为与圆有关的最值问题，进而求向量模的取值范围

3.结合有关三角函数性质，判定向量α与β夹角的取值范围

4.向量的数量积与基本不等式结合求最值

5.由已知的向量的共线或垂直关系，求题中的待定字母

6.选建直角坐标系,确定求最值的自变量，变形题目求最值的式子，间接求得所求的最值

7.灵活运用“坐标”化简运算，注意向量的几何意义，求最值或取值范围

8.结合线性规划,建立目标函数z,求z的取值范围

9.灵活选取题中向量坐标,把求式转化成坐标的运算

10.用向量的加减法化归转化求得向量式，进而求向量的数量积

11.求向量数量积的取值范围时，若不能应用三角函数性质时，可直接设参数变量λ，用向量的几何意义的加减法建立λ的函数关系式解之

有关解法注意点

八、线性规划

1.由已知先建立目标函数后求最值

2.最优解的确定

3.组建不等式与分类讨论结合，求字母参数或其取值范围

4.考查建立较多约束条件的应用题

5.结合约束条件灵活求题目中待定字母值

6.结合基本不等式，求目标函数的最值

7.结合已知图形中的对称性质、约束条件，求最值

8.转化法在线性规划中应用于求取值范围题型

9.代入验算法解线性规划中的选择题

10.组建不等式与确定目标函数的最值点相结合,求字母参数取值范围

有关解法注意点

九、三视图

1.已知俯视图、正视图，求相应的侧视图

2.由三视图中的一个（或两个）视图,灵活确定相应的立体图（直观图），求其几何体的体积或面积

3.已知几何体的立体图（直观图），求几何体的正视图（主视图）

4.已知几何体的三视图，判别其直观图

有关解法注意点

十、二项式定理

1.已知两个（或两个以上）二项式相乘或相加，求某两项系数的和或差

2.用“换元法”变形题目中的二项式，求二项式某项系数或有关待定字母

〖LM〗3.已知二项式展开式中某项的系数，常数项或某两项的常数项与系数的数量关系，求二项式中的待定字母

4.已知二项式，求其展开式中不含某项的系数之和

5.二项式中赋特殊值法与极限知识相结合，进而可求极限或其他相关数学量

有关解法注意点

十一、框图

1.根据已知框图，求框图中计数变量或赋值语句

2.根据题中程序设计语言中的条件语句，求输出m值

3.已知框图中输出值P，求框图中有关的输入值

4.已知框图，结合数列的裂项求和法，求输出S

5.程序框图知识与不等式表示平面区域及概率定义知识相结合的题型

有关解法注意点

第二部分  统计表〖HT〗〖ST〗〖HT〗

同一典型类型题在同一省、市，不同年的高考数学试题中“出试”统计表［表一］

（全国Ⅰ）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（课标卷）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（北京）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（广东）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（山东）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（江苏）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（浙江）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（安徽）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（天津）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（福建）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（辽宁）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（湖南）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（陕西）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（湖北）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（重庆）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（四川）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

（江西）典型类型题在2009—2013年高考中“出试”统计表

同一典型类型题在同一年、不同省、市和全国试卷“出试”统计表［表二］

同一典型类型题在同一年（2009），不同省、市和全国卷“出试”统计表

同一典型类型题在同一年（2010），不同省、市和全国卷“出试”统计表

同一典型类型题在同一年（2011），不同省、市和全国卷“出试”统计表

同一典型类型题在同一年（2012），不同省、市和全国卷“出试”统计表

同一典型类型题在同一年（2013），不同省、市和全国卷“出试”统计表