问题驱动的中学数学课堂教学:函数与微积分卷

直到这套丛书后一卷杀青甫就，才如释重负。在此需要感谢我的几位数学教育方向的博士，他们为这套丛书的撰写付出了不少劳动。如果没有他们博士阶段的工作积累，要在短短几年内完成这项工程不小的任务是不可想象的。
经历了过去20多年的改革，中学数学内容已然发生了翻天覆地的变化。记得2000年在英国访问时，兰卡斯特大学（Lancaster University）的斯蒂芬·鲍尔（Stephone Power）教授问我： “中国的中学是不是教授微积分？”那时我并没有深度介入中学数学，但我知道中学阶段虽然教授微积分，其时并未列入高考必考内容（似乎只有上海卷涉及微积分）。如今时过境迁，前不久，当我梳理高考内容时，发现“集合、数列、函数、导数”已然占了高考1/3左右的分量，如果将向量、概率与数理统计算上，已经占了高考数学绝大部分内容。这让我不由自主地思考起一个问题： 中学教师们准备好了吗？
这套丛书的撰写多少有些偶然，几年前，我把此丛书的理论与实践卷交给了清华大学出版社的刘颖博士，其时并未打算继续写下去。刘博士读了书稿后，建议我好出一套丛书。犹豫再三，终还是决定继续写。由于有师范专业的缘故，浸淫中学数学十多年，慢慢发现，随着课程内容的推陈出新，中学数学课堂大有可改进之处，借此机会出一套参考书供有缘人参考未尝不是一件好事。
虽然本书不是官方指定的培训参考书，但仅凭零售便印刷了若干次，这已经证明了该书的价值。说明中学教师们需要这样的书，学生们也需要这样的书。
在拟定写作计划时，函数与微积分卷是包含了积分内容的，但新版教材删除了定积分内容，计划自然需要跟上变化，好在此卷在后完成，可以作出适当调整。但微积分作为完整的理论体系，残缺不全终究是个遗憾，所以在对历史的梳理过程中，我们并没有回避积分理论，只是案例设计中没有涉及积分内容。

读者在阅读本卷时可能会明显感觉到与教材的差异，这种差异并非体现在内容的广度，而在于内容体系与呈现方式。关于这一点，从案例的设计足可以看出来。例如我们在介绍数列时使用了数学归纳法，它作为一种不可或缺的论证工具被踢出了中学教材显得有些奇怪，或许是我们对课程标准理念的理解不到位。教师可以按照自己的理解决定是否需要在课堂上介绍数学归纳法。在介绍三角函数时不仅限于正弦函数、余弦函数以及正切函数，而是把三角函数与反三角函数都提了一下，指出它们都属于基本初等函数类，但详细介绍则仅限于正弦函数、余弦函数及正切函数以便与教材一致。在介绍幂函数时也不仅仅限于有理指数的幂函数，还包括了一般实数指数幂函数，因为教材对于无理指数是有过介绍的（否则无法引入指数函数）。我们也特别强调一个函数在一点可导并不意味着可以通过其导函数来求值，这是有前提的，即导函数在某一点的极限存在时方可按此方法求该点的导数。学生在初学阶段固然不必理会这个结论，但教师不可不明白。

本书对概念的界定也力求严格，例如在处理函数的单调区间时，强调单调区间是使得函数单调的区间。按照这个定义，仅仅求出导函数的零点还不够，还需要进一步检验导数在零点的左右符号是否发生了变化。如果变化了，单调性自然变了，零点就构成单调区间的一个端点，否则就不是。例如考察y=x3的单调性时，按照标准程序，可以对函数求导得f′(x)=3x2, 令f′(x)=0，解得x0=0。x0=0将函数的定义域分成了两个区间： (-∞,0)与(0, ∞)，我们是不是可以说这个函数的单调区间为(-∞,0)与(0, ∞)？显然不行，因为函数在整个实数域上都是单调递增的。还有一种情况也需要注意，那就是函数在某个点可能没有定义或者不可导，此时也需要将这些特殊点拿出来考察其左右两边导数符号是否发生了变化。例如y=1x在x=0点没有定义，这时就需要分别考察导函数在(-∞，0)与(0, ∞)上的符号，从而确定其单调性。又如y=|x|在原点不可导，但函数在零点左右的导数符号发生了变化，所以其单调区间也有两个： (-∞，0)与(0, ∞)。
讨论函数的导数不可能绕开极限，本书没有回避极限，甚至没有回避函数的连续性。与导数概念相比，无论是函数的极限还是连续性都不是晦涩难懂的概念，只要不涉及极限的严格语言，在不失严谨性的前提下通过通俗直观的解释完全可以让学生理解。对于这个问题，一线师生有发言权，因为他们是真正的践行者，还是留待他们实践检验吧！当然，我们不主张中学阶段过度地拓展，例如有些教师将中值定理、洛必达法则都一股脑教给了学生，因为有了这些定理与法则，很多问题的解决变得方便了许多。
后一章收录了近若干年与数列、函数、导数内容有关的部分试题供读者参考。囿于篇幅以及丛书风格的统一，本书不提供解答。
在本套丛书告罄之际，向所有支持我们的读者表示衷心的感谢！曾有不少读者多次询问后续各卷的出版问题，正是读者们的敦促、鼓励与支持，才使得这套丛书得以顺利完成。如果这套丛书的出版能为中学数学教育事业产生哪怕是微弱的影响，我们的心血就没有白白付出。

曹广福

2022年1月

本书基于数学内容的思想性针对高中函数与导数内容为中学数学教师和大学师范生以及数学教育研究生提供了建设性意见。对函数与微积分的历史做了一番梳理，本着尊重历史与突出数学思想的原则设计了大量案例，其设计源于教材又不拘泥于教材。

曹广福,1960年出生，江苏海安人，博士，教授，博士生导师。主要从事数学研究与数学教育工作，在国内外重要刊物上公开发表研究论文100余篇，连续主持了六项国家自然科学基金，三项高等学校博士点专项（博导类）基金，2003年获得首届国家高等学校教学名师奖

第1章数列/ 

1.1数列简史

1.1.1古巴比伦与古埃及关于数列的研究

1.1.2中国古代关于数列的研究

1.1.3数列的部分和与无穷级数

1.1.4正项级数的收敛问题

1.1.5一般数项级数的收敛问题

1.2数列教学策略

1.3数列教学案例设计

第2章函数/ 

2.1函数简史

2.1.1函数概念的萌芽

2.1.2函数概念的公式化

2.1.3函数概念的一般化

2.1.4更广的函数

2.2函数教学策略

2.2.1函数概念的教学

2.2.2函数性质的教学

2.2.3初等函数的教学

2.3函数教学案例设计

目录

目录

第3章一元函数的导数及应用/ 

3.1微积分发展简史

3.1.1微积分的萌芽：  穷竭法与割圆术

3.1.2微积分的酝酿：  四类科学问题

3.1.3微积分的创立

3.1.4微积分的符号化

3.1.5牛顿与莱布尼茨微积分的比较

3.1.6微积分的严格化

3.2导数教学策略

3.2.1导数概念及其运算法则

3.2.2导数的应用

3.3导数及其应用教学案例设计

附录高考与命题/ 

附录A漫谈高考

A.1关于高考

A.2关于高考命题

附录B思维能力重于解题技巧

B.1思维能力是核心

B.2思路胜于技巧

B.3“应试”与“素质”的平衡

附录C部分试题

C.1数列

C.2函数

C.3函数导数

参考文献/ 

名词索引/ 

本书基于数学内容的思想性针对高中函数与导数内容为中学数学教师和大学师范生以及数学教育研究生提供了建设性意见。对函数与微积分的历史做了一番梳理，本着尊重历史与突出数学思想的原则设计了大量案例，其设计源于教材又不拘泥于教材。

曹广福,1960年出生，江苏海安人，博士，教授，博士生导师。主要从事数学研究与数学教育工作，在国内外重要刊物上公开发表研究论文100余篇，连续主持了六项国家自然科学基金，三项高等学校博士点专项（博导类）基金，2003年获得首届国家高等学校教学名师奖