0，无穷大和糟糕的13

   早在 3 万年前，或许是出于对实用性的追求，人类 创造出了数字。当时，人们利用在物体上刻痕的方式进 行计数。数字的使用标志着人类从对事物定性的、带有 主观色彩的评估向定量的、有客观结论辅助的评估过渡。 关于数量的多少等相类似的问题都可以由数字客观地决 定，而不会受到诸如等级、权势或声誉等因素的影响， 因此用数字评估相对来说是“公平的”。

    除了用于解决实际问题外，数字从一开始还在人们 认识、探索世界方面发挥着重要作用。在所有人类文化 中，关于宇宙学的问题总会被提及，比如太阳、月亮和 星星在天空中的位置为什么会移动？是如何移动的？按 照什么规律移动？很多神话传说常常试图对此类问题进行解答。其实，对这些问题的解释是有科学依据的，因 为人们所预测的结果是依据表格中记录的数字总结分析 得出的。当人们试图观察、记录天体并得出结果时，便 诞生了天文学。公元前 3000 年，美索不达米亚的数学 家就是这一领域的先驱。

    公元前 6 世纪，毕达哥拉斯学派 a 赋予了数字新的 含义。当时，科学界的核心问题是探讨世界存在的本原， 是什么使世界的存在成为可能并保持活力。对于这个问 题，人们给出的答案各不相同，但对于毕达哥拉斯来说， 答案是明确的：数字是事物决定性的基础。这意味着人 们不仅可以在世间万物的现象中发现数字，用数字来描 述世界，而且重要的是，数字是宇宙运行的基础。万 物皆是由数字组成的，可以说，没有数字，世界就无法 正常运转。

    综上所述，数字是非常重要的，它们是开启世界之 门的钥匙。

    这不仅适用于广义上的数字，也同样适用于狭义上 的数字。因此，本书要为大家解答的就是：个别数字有 什么特殊的含义吗？还是每个数字都有它独特的意义 呢？每个数字都是开启世界某一领域的钥匙吗？

    关于这一问题，人们有两种截然不同的观点。

    种观点是：在这些数字中，每个数字都与其他 数字一样。也就是说，所有的数字都是同样有趣或者无 趣，没有哪个数字比其他数字特殊。数字只有在作为一 个整体时才有意义。

    这一观点的支持者们认为，数字就像数轴上的点， 这些点排成一排，像无限长的珍珠串一样。从这个角度 来看，诸如“我们从哪个数字开始数？”或者“我们朝 哪个方向去数？”是完全无所谓的，因为这些数字看起 来极其相似。因此，数字的名称只是表面上的称呼，与 数字的本质毫无关系。

    第二种观点与种截然相反，认为每一个数字都 是特殊的，没有哪两个数字是一样的，每一个数字都有 其独有的特征。

    数学家们有时也会支持这种观点，他们认为所有的数字都是有趣的，甚至通过“证明”来支持这种说法。 假设存在一些无趣的数字，那么还会有一个更小的无趣 的数字存在——这一点无疑是数字本身的一个非常有趣 的属性。

    我个人比较倾向第二种观点。或许并不是每一个数 字都很有趣，但许多数字都具有很明显的特征，尤其是 数值较小的数字。因此，不同的数字有着不同的特征。 比如，当我们谈到数字 6，7 和 8 的时候，你不仅会想 到这些数字像门牌号一样按顺序排列，还会不由自主地 发觉有些事物只与其中的一个数字相匹配，而不适用于 另外两个数字。

     是什么让数字如此有趣呢？当然，除了数字本身的 数学属性以外，还包括数字背后的传说和故事，或者说 人们对数字的接受史。这本书试图解答人们这两个方面 的疑惑，并探索它们是否关联、如何关联。例如，人们 可能会问，数字的数学属性是否也可以解释它们的文化 历史意义或在日常生活中的用途。

    当我们考虑一个数字的数学属性时，我们大多会想 到这样的问题：它能被其他数字整除吗？或者，它是一个质数（也叫“素数”）或平方数（也叫“正方形数”）吗？ 它与其他数字是什么关系？它是一个无理数吗？

    而当我们谈及数字数学以外的属性时，或许会联想 到以下几个方面，如童话故事中的数字、宗教中的数字、 自然界中的数字等，当然也有一些故事不单单以数字为 主题，还涉及数学家们的逸事。

* * *

    本书中所提到的数字都有单独一章专门介绍。你可 以了解数值小一点的数字（如 1，2，3 和 0），或者数 值大一点的数字（如人类有史以来数到的的数字）， 也可以了解到如 或圆周率 π 这样特殊的数字。

    尽管有关其中一些数字的图书可能（或许已经）编 写得很厚，但本书中介绍这些数字的篇幅基本相同。你 可以根据自己的喜好，按任何顺序阅读本书。

    无论你是否有数学知识的基础，都不会影响你阅读 本书。在阅读过程中，你还会在不经意间学习到一些数 学知识。如果遇到有关联的数字，还会涉及二进制数、三角形数、完全数、球体堆积、帕斯卡三角形、柏拉图 立体或无理数、无穷大以及一些尚未解决的数学问题等。

    另外，本书的大多数章后面还配有附加信息，其中 涉及相关数字的数学信息，以及其他方面的一些信息。

    在此，我要感谢我身边的很多人，感谢他们在过去 的几年里激励我思考，与我共同探讨，帮助我撰写出有 关数字的奇妙故事。我在与他们的交流中解开疑惑，获 取灵感，汲取精华，后总结成文，这些经历都是成就 本书的宝贵财富。

    我希望这些关于数字的趣味故事能给广大读者带来 启发，为你们开启通往数字世界的大门。此外，这些有 关数字的实例也有助于你们更好地理解现实世界和人类 的精神世界。

    这是一本颠覆你认知的数学书，它还原了数字和数学符号的起源、特征和发展真相，解答了数学界中那些颠覆认知的谜题，讲述了拥有超强大脑的科学英雄发现数字的离奇故事，介绍了数学问题的意外发现及由此引发的其他迷人猜想。

    你知道将一张A4纸对折多少次才能使其厚度足以到达月球？正六万五千五百三十七边形是怎样被构造出来的？古巴比伦人发明的60进制是通过怎样的方式计算的？多利安人是如何建造出大小正好是原祭坛两倍的新祭坛的？……这些匪夷所思的问题及答案都藏在这本神奇的数学书里。

阅读本书不需要太多的数学基础知识，只需要你抱着一颗好奇的心。

 这是一本颠覆你认知的数学书，它还原了数字和数学符号的起源、特征和发展真相，解答了数学界中那些颠覆认知的谜题，讲述了拥有超强大脑的科学英雄发现数字的离奇故事，介绍了数学问题的意外发现及由此引发的其他迷人猜想。

 你知道将一张A4纸对折多少次才能使其厚度足以到达月球？正六万五千五百三十七边形是怎样被构造出来的？古巴比伦人发明的60进制是通过怎样的方式计算的？多利安人是如何建造出大小正好是原祭坛两倍的新祭坛的？……这些匪夷所思的问题及答案都藏在这本神奇的数学书里。

阅读本书不需要太多的数学基础知识，只需要你抱着一颗好奇的心。

    阿尔布雷希特·贝特尔斯帕赫（Albrecht Beutelspacher），德国吉森大学离散数学和几何学名誉教授，吉森数学博物馆创始馆长。他获得了诸多大奖，包括2000年德国科学基金会传播者奖、2004年德国智商奖、2008年黑森州文化奖和2014年德国物理学会自然科学出版奖等。

第 1 章　1：独“一”无二

第 2 章　2：迥然不同

第 3 章　3：“三”位一体

第 4 章　4：“四”面八方

第 5 章　5：自然之数

第 6 章　6：自然之形

第 7 章　7：无稽之“数”

第 8 章　8：神奇之美

第 9 章　9：枯燥无味?

第 10 章　0：象征空无

第 11 章　10：有理之数

第 12 章　11：神秘数字

第 13 章　12：整体大于部分之和

第 14 章　13：疯狂之数

第 15 章　14：B A C H

第 16 章　17：高斯数

第 17 章　21：兔子和向日葵

第 18 章　23：生日悖论

第 19 章　42：答案

第 20 章　60：数字

第 21 章　153：“鱼”数

第 22 章　666：兽数

第 23 章　1 001：传奇之数

第 24 章　1 679：对话外星人

第 25 章　1 729：拉马努金数

第 26 章　65 537：箱中之数

第 27 章　5 607 249：欧帕尔卡数

第 28 章　267 -1：无言地计算

第 29 章　-1：荒谬之数

第 30 章　2/3：残破之数

第 31 章　3.125：简而不凡

第 32 章　0.000…：微乎其微

第 33 章　 ：超级“无理”

第 34 章　 ：“倍立方”

第 35 章　φ：黄金分割

第 36 章　π：神秘的超越数

第 37 章　e：与日俱增

第 38 章　i：“虚”无缥缈？

第 39 章　∞：无穷无尽

附 录

    这是一本颠覆你认知的数学书，它还原了数字和数学符号的起源、特征和发展真相，解答了数学界中那些颠覆认知的谜题，讲述了拥有超强大脑的科学英雄发现数字的离奇故事，介绍了数学问题的意外发现及由此引发的其他迷人猜想。

    你知道将一张A4纸对折多少次才能使其厚度足以到达月球？正六万五千五百三十七边形是怎样被构造出来的？古巴比伦人发明的60进制是通过怎样的方式计算的？多利安人是如何建造出大小正好是原祭坛两倍的新祭坛的？……这些匪夷所思的问题及答案都藏在这本神奇的数学书里。

阅读本书不需要太多的数学基础知识，只需要你抱着一颗好奇的心。

    阿尔布雷希特·贝特尔斯帕赫（Albrecht Beutelspacher），德国吉森大学离散数学和几何学名誉教授，吉森数学博物馆创始馆长。他获得了诸多大奖，包括2000年德国科学基金会传播者奖、2004年德国智商奖、2008年黑森州文化奖和2014年德国物理学会自然科学出版奖等。

23：生日悖论

    你拿来一个骰子，投掷几次，例如 6 次。我就这样 做了，得到的结果是 4，2，3，2，2，6。让我惊讶的是， 1 到 6 中不是所有的数字都出现了，例如 1 和 5 就没有 出现，而出现过的数字竟然反复出现。第四次投掷得到 了一个 2，而第五次又是一个 2。

如果由你来掷骰子，结果或许不同。也许次尝 试得到的数字不是 4。或许也没有得到多个 2，但很可 能另一个数字出现了两次。也许不是在第四次，而是在 次到第二次，或者第五次或第六次投掷时出现了 2。 任何事情都有可能发生——但有一件事我还是比较肯定的：你的投掷结果也将至少出现一次重复。

    我这样肯定，不是因为我有超能力，而是因为这是 一个数学问题。它可以证明，就算是投掷四次，重复的 可能性也很大。

    我们计算一下这个概率。首先，我们计算一下连续 四次都没有投掷出相同数字的概率。次投掷的结果 有 6 种可能性。而在第二次投掷时，我们只考虑 5 种 可能性，因为投掷出的所有数字都应该不同，所以第 一次投掷得到的数字被排除。于是，在第三次投掷时， 我们只考虑 4 种可能性，第四次投掷只考虑 3 种可能 性。所以，连续投掷四次没有重复数字的情况总共有 6×5×4×3 种，这几个数字相乘的结果是 360。

    投掷四次，一共有 6×6×6×6=1 296 种组合。因此， 四次投掷不出现重复数字的概率计算方式是 360/1 296， 这个分数的值约为 0.278。这意味着，在四次投掷中， 结果都不同的概率只有约 27.8%。相反，至少出现两个 相同数字的概率是约 72.2%。即在近乎四分之三的尝试 中，前四次投掷都会出现重复数字。

    当然，也可能你很幸运，六次投掷的结果都不同。 但是我们并不总是那么幸运，这个概率仅有约 1.5%（可 用上文所述的计算方法计算）。

    我们去猜一群人中有哪两个人的生日相同，若想大 概率猜中，则这群人的数量至少是多少？这个问题早 是由奥地利数学家理查德·冯·米塞斯（Richard von Mises，1883—1953 年）在 1930 年提出的。很快，这 个问题及其答案就被传开了，并被赋予了“生日悖论” 之名，因为这个答案对许多数学家来说都是难以理解的。 这个答案就是 23。

    在一个至少有 23 个人的群体中，两个人在同一天 过生日的概率只有约50.7%。但是，这个概率增加得很快： 30 个人的时候已经是约 70%，而 50 个人的时候则会上 升到难以置信的约 97%。

    例如，在足球比赛中，球场上有 23 个人，即两队 各 11 名球员外加一名裁判。这些人中两个人的生日在 同一天的概率约为 50%。

    在学校里，一个班的人数往往超过 23 个人，有的会有 25 至 30 个人。因此，一个班中也经常会出现两名 同学生日相同的情况。如果我们同时观察两个拥有 50 名学生的班，几乎就可以找到两名生日相同的学生。

    这其实是一个“悖论”：如果先挑选出 23 个不同生 日的人，那么生日悖论就不起作用了。例如，你可以选 择任意一个月的前 23 天。不过，只要不是根据生日挑 选出一群人，那么生日悖论就会有效。

    现在，悖论的意思更多的是，尽管某个现象在我们 看来完全不可信，但它仍然真实地存在。

    但是，我们怎么才能认可生日悖论？基本上与掷骰 子的方式相同。你可以想象一个有 365 个面的巨大骰子， 并“投掷”23 次，看看数字重复的概率有多大。

    我们这样来论证生日悖论：一年中 23 个人生日都 不同的组合数是：365×364×363×…（23 个因数）， 而 23 个人生日所有可能的组合数是：365×365×365×… （也是 23 个因数）。那么，23 个人生日都不一样的概率 就可以用个算式 365×364×363×…除以第二个算 式 365×365×365×…来计算。得到的结果表明，23个人的生日都不同的概率是 49.3%；而存在两个生日相 同的人的概率是 50.7%。

    20 世纪初，柏林的一位医生威廉·弗利斯（Wilhelm Fliess，1858—1928 年）和维也纳心理学家赫尔曼·斯 沃博达（Hermann Swoboda，1873—1963 年）都独立 地发现了“生物节律”。其基本观点是，“生物钟”对人 类体力的影响周期为 23 天，对人类情绪的影响周期为 28 天（后来又增加了“智力节律”，影响周期为 33 天）。 各种节律的交织形成了人的生物节律。（不过，这些周 期性节律和其确切的周期都不能通过主观的经验来进行 有效验证。）

    精 神 分 析 学 派 的 创 始 人 西 格 蒙 德· 弗 洛 伊 德 （Sigmund Freud，1856—1939 年）是弗利斯的好朋友， 因此很快就了解到了与 23 和 28 相关的生物节律。他对 数字 23 和 28 极为看重，因为他意识到这两个数字可以 用来计算出其他重要的数字。

    例如，弗洛伊德发现，许多知名人士都是在 51 岁 的时候去世，而 51 这个数字正好是 23 与 28 的和。此外，每个月的 13 日是弗洛伊德的幸运日——不用觉得奇怪， 其原因或许在于，他可能会想：13=3×23-2×28 （即 69-56）。

    弗洛伊德如此重视 23 和 28 这两个数字，也可能是 由于他只拥有一个聪明的大脑，却不是一个数学家。因 为有两个简单的数学事实会不可避免地让他感到失望， 从而让他对这些数字不再抱有幻想。

    个令其失望的事实是，23 和 28 不仅可以用来 计算出有趣的数字，而且可以计算出所有的数字。例如， 7=6×28-7×23，1=11×23-9×28。其实，如果能计算 出数字 1，就能计算出所有的数字，因为将 1 相加多次 就会得到想要的数字。

    第二个事实会令弗洛伊德更加失望，即所有这些 性质都与 23 和 28 无关。但如果有两个数字的公 约数是 1，它们就会有这些性质。例如，我们也可以用 5 和 7 计算出所有的自然数：6=4×5-2×7，8=3×5- 1×7，12=5 7。 从 数 字 24 开 始， 甚 至 不 需 要 用 减 号，例如 24=2×5 2×7，25=5×5，26=1×5 3×7，27=4×5 1×7，28=4×7，等等。

    这些或许会令弗洛伊德失望，但对数学家来说却是 一个惊喜，因为他们获得了一个新定理。

这是一本引人入胜的数学书，它证明了每个数字都是通往世界的钥匙……

——《星期日世界报》

你可以随时翻阅本书，随时沉浸在数字世界中，像在宝库中挖掘宝藏一样找到自己喜欢的数字。

——《南德意志报》

本书讲述了大量数学知识，是一部令人兴奋的数字文化史。

——德意志新闻社