MATLAB数值算法手册

MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，常用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。MATLAB已成为数学建模和求解的重要工具之一。

数学建模是通过计算得到的结果解释实际问题，并接受实际的检验，建立数学模型的全过程。在数学建模过程中，需要对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。最终利用获取的数据资料，对模型的所有参数进行求解计算。

数学模型建立后，就需要对模型进行求解，随着计算技术的发展，涌现了众多的求解算法。MATLAB提供了众多的数学函数用于求解各种问题。本书摒弃利用MATLAB内置函数的求解方法，结合常用的经典数值方法，利用MATLAB编写函数实现，既能帮助读者掌握算法的内涵，也能实现对各种现实问题的求解。

1．本书特点

本书以算法理论为基础，以代码实现为根本。根据数学建模后可能采用的求解算法进行讲解，理论联系实际，帮助读者掌握算法的MATLAB实现方法。本书提供的MATLAB算法实现函数均通过了典型算例的验证，准确性值得信赖，读者也可以根据需要自行验证。

本书结合编者多年的数学建模经验与实际问题的求解方法，将数学建模后的求解方法及其MATLAB实现详细地讲解给读者。读者根据求解需要，可以从本书中选择恰当的方法对问题进行求解，既可以直接调用本书的函数，也可以根据自己的需要修改本书提供的函数实现问题的求解。

本书直接根据数值算法理论编写了独立的MATLAB函数，尽量少地采用MATLAB内置函数，这样可以方便读者根据需要对求解函数进行修改以实现特定问题的求解。

例如，MATLAB提供了chol()函数，可以实现对称正定矩阵的Cholesky分解，而本书则编写了choll()函数来实现，它们的求解结果是一致的。读者在学习过程中可能会发现，本书编写的个别函数与MATLAB内置函数的求解结果会有出入，这是由于采用的算法或求解精度需求不同造成的。

2．本书内容

本书面向从事数学建模工作的科技工作者，尤其适合参加数学建模大赛的读者。本书在简单介绍MATLAB基础知识后，给出了各种数值问题的求解算法，并用MATLAB进行实现。本书内容安排如下。

第1章  MATLAB基本运算  第2章  常用运算

第3章  矩阵分解               第4章  特征值与特征向量

第5章  线性方程组           第6章  非线性方程

第7章  非线性方程组        第8章  数据插值

第9章  曲线拟合               第10章  数值积分

第11章  常微分方程组      第12章  数据分析

第13章  极值问题              第14章  数学变换与滤波

第15章  序列排序              第16章  特殊函数求值

附录A  内部运算符及函数一览

本书所有代码均已在MATLAB R2020a/R2022a中调试运行通过。虽然本书中编写的函数也可以采用MATLAB内置函数减少代码行数，但是编者并未采用，这样可以更好地与算法相结合。

3．读者对象

本书不仅适合寻求提高数学模型求解能力的读者，更适合有志于参加全国数学建模大赛的在校学生，具体读者对象如下：

MATLAB工程应用技术人员         广大科研工作者

数学建模大赛参赛者                   数值算法爱好者

高等院校的教师和学生               培训机构的教师和学员

4．读者服务

为了方便解决本书中的疑难问题，读者在学习过程中遇到与本书有关的技术问题，可以访问“算法仿真”微信公众号与编者保持联系，并获取更多资源。后期编者还会将本书算法使用MATLAB内置函数的实现代码不定期分享到公众号中，读者可与本书运行结果进行对比学习。

5．本书作者

本书由温正编著，虽然在本书的编写过程中力求叙述准确、完善，但由于水平有限，书中欠妥之处在所难免，希望读者和同仁能够及时指出，共同促进本书质量的提高。

最后再次希望本书能为读者的学习和工作提供帮助！

编  者

2023年2月

本书针对数学建模中常用的数值算法的实现编写了MATLAB程序，帮助读者使用相关算法实现科学问题的求解。

全书共16章，首先简单介绍了MATLAB基本运算，然后重点介绍了MATLAB数学建模中常用数值算法的实现方法，包括常用运算、矩阵分解、特征值与特征向量、线性方程组、非线性方程与方程组、数据插值、曲线拟合、数值积分、常微分方程组、数据分析、极值问题、数学变换与滤波、序列排序、特殊函数求值等内容；附录部分给出了MATLAB自带的数学函数，方便读者查阅验证。本书提供了全部MATLAB程序代码，方便读者直接调用。本书程序代码按照算法的实现流程编写，尽量少地采用MATLAB内置函数。

本书算法均通过MATLAB函数实现，可供广大科研工作者、工程技术人员直接使用。本书特别适合参加数学建模大赛的选手选用，也可以作为高等院校数值分析课程的配套参考书。

温正 北京航空航天大学博士后，现就职于中国航天科技集团，精通MATLAB、Mathematica、Lingo等工程仿真计算软件；熟练掌握利用MATLAB解决数学建模、科学计算、算法优化、机器学习等工程应用问题；在国内外期刊发表学术论文多篇，申请并获得授权专利多项，曾获得国防科学技术成果奖等奖项，读书期间获光华奖学金及优秀研究生等多项荣誉。

第1章MATLAB基本运算1

1.1生成矩阵1

1.2加减运算4

1.3乘法运算5

1.4除法运算6

1.5矩阵分解运算7

1.6矩阵求秩7

1.7复数矩阵8

1.8三角函数运算10

1.9指数和对数运算11

1.10常见分布随机数13

第2章常用运算18

2.1多项式运算18

2.2常规矩阵求逆23

2.3对称正定矩阵求逆27

2.4托普利兹矩阵求逆29

2.5求一般行列式的值33

2.6产生随机数35

第3章矩阵分解39

3.1对称正定矩阵的乔利斯基分解39

3.2矩阵的三角分解41

3.3一般实矩阵的QR分解43

3.4一般实矩阵的奇异值分解47

3.5奇异值分解法求广义逆61

第4章特征值与特征向量64

4.1约化实矩阵为赫申伯格矩阵64

4.2双重步QR法66

4.3约化对称矩阵为对称三对角阵73

4.4变形QR法77

4.5雅可比法81

4.6雅可比过关法87

4.7乘幂法90

10MATLAB数值算法手册

第5章线性方程组95

5.1全选主元高斯消去法95

5.2全选主元高斯-约当消去法99

5.3追赶法102

5.4列选主元高斯消去法105

5.5分解法110

5.6平方根法114

5.7列文逊法117

5.8高斯-赛德尔迭代法122

5.9共轭梯度法124

5.10豪斯荷尔德变换法126

5.11广义逆法129

5.12病态方程组求解132

第6章非线性方程135

6.1对分法135

6.2牛顿迭代法137

6.3埃特金迭代法139

6.4试位法141

6.5连分式法142

6.6QR法.146

6.7牛顿下山法147

第7章非线性方程组156

7.1梯度法156

7.2拟牛顿法.159

7.3广义逆法163

7.4蒙特卡罗法167

第8章数据插值175

8.1拉格朗日插值175

8.2连分式插值177

8.3埃尔米特插值181

8.4埃特金逐步插值.182

8.5光滑插值.185

8.6三次样条插值191

8.7二元插值.200

第9章曲线拟合204

9.1最小二乘曲线拟合204

9.2切比雪夫曲线拟合208

9.3里米兹法求最佳一致逼近多项式213

9.4矩形域的最小二乘曲面拟合217

目录11

第10章数值积分226

10.1变步长梯形求积法226

10.2变步长辛卜生求积法228

10.3自适应梯形求积法229

10.4龙贝格求积法231

10.5连分式求积法233

10.6分部求积法237

10.7勒让德-高斯求积法240

10.8拉盖尔-高斯求积法242

10.9埃尔米特-高斯求积法.243

10.10切比雪夫求积法244

10.11蒙特卡罗求积法246

10.12计算二重积分247

10.13计算多重积分254

第11章常微分方程组258

11.1变步长欧拉法258

11.2变步长龙格-库塔法261

11.3变步长基尔法264

11.4变步长默森法268

11.5连分式法272

11.6变步长特雷纳法279

11.7变步长维梯法284

11.8双边法全区间积分287

11.9阿当姆斯预报校正法全区间积分291

11.10哈明法全区间积分295

11.11吉尔法积分刚性方程组298

11.12二阶初值问题314

11.13二阶边值问题322

第12章数据分析335

12.1随机样本分析335

12.2一元线性回归分析340

12.3多元线性回归分析342

12.4逐步回归分析346

12.5半对数数据拟合357

12.6对数数据拟合359

第13章极值问题362

13.1一维极值连分式法362

13.2n维极值连分式法365

13.3不等式约束线性规划问题求解369

12MATLAB数值算法手册

13.4单形调优法求n维极值374

13.5复形调优法求约束条件下的n维极值379

第14章数学变换与滤波387

14.1傅里叶级数逼近387

14.2快速傅里叶变换389

14.3快速沃尔什变换396

14.4五点三次平滑398

14.5卡尔曼滤波400

14.6α-β-γ滤波406

第15章序列排序409

15.1冒泡排序409

15.2快速排序411

15.3希尔排序413

15.4堆排序415

第16章特殊函数求值418

16.1伽马函数418

16.2误差函数423

16.3贝塞尔函数425

16.4不完全贝塔函数441

16.5概率分布函数444

16.6积分函数448

参考文献459

附录A内部运算符及函数一览460

本书针对数学建模中常用的数值算法的实现编写了MATLAB程序，帮助读者使用相关算法实现科学问题的求解。

全书共16章，首先简单介绍了MATLAB基本运算，然后重点介绍了MATLAB数学建模中常用数值算法的实现方法，包括常用运算、矩阵分解、特征值与特征向量、线性方程组、非线性方程与方程组、数据插值、曲线拟合、数值积分、常微分方程组、数据分析、极值问题、数学变换与滤波、序列排序、特殊函数求值等内容；附录部分给出了MATLAB自带的数学函数，方便读者查阅验证。本书提供了全部MATLAB程序代码，方便读者直接调用。本书程序代码按照算法的实现流程编写，尽量少地采用MATLAB内置函数。

本书算法均通过MATLAB函数实现，可供广大科研工作者、工程技术人员直接使用。本书特别适合参加数学建模大赛的选手选用，也可以作为高等院校数值分析课程的配套参考书。

温正 北京航空航天大学博士后，现就职于中国航天科技集团，精通MATLAB、Mathematica、Lingo等工程仿真计算软件；熟练掌握利用MATLAB解决数学建模、科学计算、算法优化、机器学习等工程应用问题；在国内外期刊发表学术论文多篇，申请并获得授权专利多项，曾获得国防科学技术成果奖等奖项，读书期间获光华奖学金及优秀研究生等多项荣誉。

Jim Tung MathWorks

“科学与工程计算技术丛书”汇集了MATLAB/Simulink支持的领域——大规模编程、机器学习、科学计算、机器人等。我很高兴地看到该丛书与MathWorks一直以来追求的目标一致一一帮助用户提高科学与工程技术研究的效率。

林晓阳中国科学院

MATLAB可以完成数学计算、系统仿真、理论验证等工作，已经成为国内外学者热衷采用的科研辅助工具。《MATLAB数值算法手册》首先系统论述了数值算法的理论基础，然后给出了MATLAB实现函数，并提供了所有函数源代码，是学习MATLAB数值计算不可多得的参考书。

张岩 北京航空航天大学

MATLAB被誉为工程应用首选软件平台，也是数学建模大赛的首选工具。《MATLAB数值算法手册》面向中、高级读者，提供了大量的数学问题的数值求解方法，是一本难得的MATLAB数值算法手册。

刘浩哈尔滨工业大学

《MATLAB数值算法手册》结合作者多年的MATLAB使用经验，将数值算法的MATLAB实现方法介绍给读者。书中代码详尽、内容全面、可拓展性强，是一本值得珍藏的数值算法工具书。

沈再阳中国核工业集团

《MATLAB数值算法手册》对于读者学习MATLAB数值算法知识，并利用MATLAB开发实践性课题或解决实际工程问题，都具有十分重要的参考价值。相信利用本书提供的知识，读者能够更好地解决科学工程问题。