算术之美

前言 教育的进步是这个时代显著的特征之一，人们从未像现在这样对教育产生如此浓厚的兴趣。人们改善现有的教育方法，用各种积极引导的趣味活动代替常规枯燥乏味的教育方式，教育逐渐形成了一门专业学科，指导人们如何进行专业教学。算术方法的改进在一定程度上反映和引领了教育的进步。1826年前，人们学习算术是用来计数或者机械地解决一些问题。人们只是沿用一些简单的运算，没有人去思考为什么这样计算。只有极少数天资聪慧的人才会意识到运算过程中有一些知识需要思考。在算术史的这段空白期，一颗新星冉冉升起，那就是开创心算先河的沃伦·科尔本（Warren Colburn）。他的这一方法吸引了一些天资聪慧的人，他们采纳了这种新的教学方法，决定用独立自主的思维方式来颠覆枯燥、惯性的思维方式。在沃伦·科尔本的影响下，算术从一个枯燥的运算规则转变为一门充满活力和趣味的新兴学科。书中的分析方法，成为贯穿整个学科的一条黄金线，并使算术的各个分支变得简单迷人。 很多人在初学习算术时都要使用机械式的学习方法，在没有接触新的分析学习方法之前是不能体会到其改革的意义的。虽然新的分析式学习方法影响巨大，但是它并不能涵盖算术的所有精髓，也不足以全面完善一门学科。我们用分析式思维区分和简化问题的同时，也需要运用综合性思维。比较法和归纳法的各种关系通过思维逻辑将它们结合在一起，所以我们应该将这两者看作是一个整体。为了完善算术科学与其教学方法，我们需要做的是理解算术本身蕴含的哲学概念，同时将分解法不连贯的约束条件符合逻辑地联系在一起。 值得注意的是，在对称逻辑和完整性方面，算术学与几何学之间存在着很大的不同。源自古希腊的几何学如同朱庇特（Jove）的《密涅瓦》（Minerva）一样完美。由明确的定义和不证自明的真理开始，几何学通过一路演绎变成了伟大的定律，其拥有清晰的思维、严密的推理和精确的真理基础，堪称卓越与完美的典范。它成了希腊古典文化思想中的经典之作。几何学是逻辑学的完善，欧几里得（Euclid）和荷马（Homer）一样值得千古传颂。 伟大的思想家们对算术的思考越来越感兴趣，花费大量的时间在算术属性上进行推测，但是这些并没有推动这门学科的发展。截至1876年我们应用的算术系统主要是在近三四个世纪发展起来的，发明者并不像古希腊先贤们那样有逻辑性，甚至有部分算法是源自贸易的需要，使得算术在科学上的精确结果不像几何学那样具有推理过程。毋庸置疑的是，算术在本质上是有逻辑基础和逻辑过程的。本书写作的意图就是为了尽量证明算术的真实本质，展现算术组成部分的逻辑关系，帮助算术学奠定一个像几何学一样的逻辑基础。 本书除了导论之外共分为五篇，导论主要讲述算术的逻辑概论和算术发展史两部分内容，其中算术发展史又分为阿拉伯数字系统的起源、基础算法起源、算术学早期作者。 本书的篇论述了算术的性质，包括数字的性质、算术语言、算术推理。其中，重点介绍了算术推理的本质。第二篇讲述了分解法、合成法。第三篇论述了比较法。分解法、合成法、比较法是算术的三合一基础，这种新概论得到了公众的普遍认可。第四篇对分数进行了充分讨论，展示了分数的性质以及它们和整数的逻辑关系。同时，也充分讨论了小数的起源、运算，循环小数的运算和原则等。第五篇讲述了名数的性质。文中认为名数是连续量的数值表示，其中一些假设单位当作一种度量。这样引出了对名数的一个新定义，同时也陈述了不同种类名数的起源，并讲述了很多关于它们的有趣故事。 这本书让我回想起我和学生们在教室中讨论这些概念的快乐时光，对于很多学生来说，这些概念的发表会纪念那些逝去的日子。我完成的这部作品，有优点也有缺点，发表它是希望可以帮助到年轻的学者们，并且能在一定程度上使人们对算术这个有趣且有魅力的学科有更全面的认识。

本书的篇论述了算术的性质，包括数字的性质、算术语言、算术推理。其中，重点介绍了算术推理的本质。第二篇讲述了分解法、合成法。第三篇论述了比较法。分解法、合成法、比较法是算术的三合一基础，这种新概论得到公众的普遍认可。第四篇对分数进行了充分讨论，展示了分数的性质以及它们和整数的逻辑关系。同时，也充分讨论了小数的起源、运算，循环小数的运算和原则等。第五篇讲述了名数的性质。文中认为名数是连续量的数值表示，其中一些假设单位当作一种度量。这样引出了对名数的一个新定义，同时也陈述了不同种类名数的起源，并讲述了很多关于它们的有趣故事。

本书的第一篇论述了算术的性质，包括数字的性质、算术语言、算术推理。其中，重点介绍了算术推理的本质。第二篇讲述了分解法、合成法。第三篇论述了比较法。分解法、合成法、比较法是算术的三合一基础，这种新概论得到公众的普遍认可。第四篇对分数进行了充分讨论，展示了分数的性质以及它们和整数的逻辑关系。同时，也充分讨论了小数的起源、运算，循环小数的运算和原则等。第五篇讲述了名数的性质。文中认为名数是连续量的数值表示，其中一些假设单位当作一种度量。这样引出了对名数的一个新定义，同时也陈述了不同种类名数的起源，并讲述了很多关于它们的有趣故事。

爱德华·布鲁克斯(1831-1912)美国教育家，著有多部教科书。1854 年在纽约蒙提切洛学院担任数学教师，1855年任宾夕法尼亚州米勒斯维尔大学数学教授。

导 论节 算术逻辑概论 … 3 第二节 算术的起源与发展 … 8 第三节 算术学早期作者… 17 第四节 算术运算的起源… 31篇 算术的性质章 数字的性质 … 55节 数字——算术的主旨… 55 第二节 数字的定义… 60 第三节 数字的分类……63 第四节 古代的数字概念… 67 第二章 算术语言… 74节 命数法…74 第二节 计数法… 81 第三节 86 第四节 命数法的准则… 90 第五节 其他数系… 95 第六节 十二进制数系… 100 第七节 希腊算术…… 108 第八节 罗马算术 … 113 第九节 可感知的算术 … 118 第三章 算术推理… 130 节 算术中的推理… 130 第二节 算术推理的性质 … 134 第三节 基础运算的推理… 139 第四节 算术分解 … 145 第五节 算术中的方程… 153 第六节 算术的归纳法… 156第二篇 合成法和分解法章 基础运算… 163节 加法… 163 第二节 减法… 168 第三节 乘法… 174 第四节 除法… 179 第二章 衍生运算… 185 节 行生运算的介绍… 185 第二节 合成… 187 第三节 因数分解… 191 第四节 公约数… 195 第五节 小公倍数… 202 第六节 乘方… 205 第七节 开方… 211第三篇 比较法章 比率和比例… 231节 比较法介绍… 231 第二节 比率的性质… 233 第三节 比例的性质… 241 第四节 单比例的应用… 244 第五节 复合比例… 250 第六节 比例的历史… 257 第二章 级数… 267节 算术级数… 267 第二节 几何级数… 271 第三章 百分比… 277 节 百分比的性质… 277 第二节 利息的性质… 282 第四章 数字理论… 288节 数字理论的性质… 288 第二节 偶数和奇数… 291 第三节 质数和合数… 294 第四节 完全数和不完全数… 298 第五节 数的整除性… 303 第六节 7的整除性… 310 第七节 数字9的性质… 317第四篇 分 数章 简分数… 323节 分数的性质… 323 第二节 简分数的分类… 329 第三节 简分数的运算… 334 第四节 连分数… 341 第二章 十进制分数… 348 节 十进制的起源… 348 第二节 小数的运算… 359 第三节 循环的性质… 363 第四节 循环的运算… 366 第五节 循环的原则… 372 第六节 互补循环节… 377 第七节 新的循环形式… 382第五篇 名数节 名数的性质… 391 第二节 长度测量… 398 第三节 重量测量… 411 第四节 价值测量… 419 第五节 时间测量… 435 第六节 度量衡系统… 446我们抬头瞻仰它曾经的辉煌亚特兰蒂斯的寻找能否开启一扇文明之门这个古老而又神秘的世界我们一起来探索吧!

本书的篇论述了算术的性质，包括数字的性质、算术语言、算术推理。其中，重点介绍了算术推理的本质。第二篇讲述了分解法、合成法。第三篇论述了比较法。分解法、合成法、比较法是算术的三合一基础，这种新概论得到公众的普遍认可。第四篇对分数进行了充分讨论，展示了分数的性质以及它们和整数的逻辑关系。同时，也充分讨论了小数的起源、运算，循环小数的运算和原则等。第五篇讲述了名数的性质。文中认为名数是连续量的数值表示，其中一些假设单位当作一种度量。这样引出了对名数的一个新定义，同时也陈述了不同种类名数的起源，并讲述了很多关于它们的有趣故事。

爱德华·布鲁克斯(1831-1912)美国教育家，著有多部教科书。1854 年在纽约蒙提切洛学院担任数学教师，1855年任宾夕法尼亚州米勒斯维尔大学数学教授。

章 算术逻辑论述算术科学是人类思想纯粹的产物之一，是早萌发于人们脑海中的想法之一，与人们的生活经验密切相关，随着人类的发展而开展起来，与人们的日常思想言论相互交织。算术理念的精确性和各部分简单明了的关联性吸引着喜欢思考的人们，成为思想家们热爱谈论的话题。一代又一代的学者们为算术学的发展作出了贡献，算术学也随之发展为一门科学，以其精炼的法则和毋庸置疑的结论著称。 算术学的发展得益于古代先贤们的启蒙和各个时期伟大思想家们的理论基础和支持。为了它，毕达哥拉斯（Pythagoras）将全部精力用在沉思中，柏拉图（Plato）提供了深思熟虑后的推测为了解开算术的神秘真理，亚里士多德（Aristotle）展现出了他绝伦的聪慧天资。算术学的算法和原理凝聚了人们从古至今的智慧结晶——印度人巧妙的思想、希腊人经典的思想、意大利和英格兰人的实践精神等。算术学凝聚了人们上千年的智慧，在几代人深刻的头脑中闪耀出思想的瑰宝。虽然过去的学者们为算术学的发展作出了巨大贡献，却少有学者将算术学作为一门学科，去探究和追溯将算术各部分结合成一个整体系统的哲学思想。算术学不像几何学那样有着完美的对称性和极好的逻辑性。算术学是一个包含了太多碎片的系统，没有人尝试去协调各个部分，用一条逻辑将它们串联成一个统一的整体。弥补这一不足是一部算术哲学作品的特殊目标，也是本书作者尝试去做的一项任务。所有学科都是真理与法则的统一系统，算术学有自己的基本概念，由此衍生出了从属概念。从属概念又产生相关联的其他概念，后使这部分组合成既独立又互相关联的整体。那么，算术学的基本概念和其衍生概念是什么它们演变的法则是什么每一个独立运算的哲学属性是什么?将它们结合成为一个统一系统的逻辑路线又是怎样的?这些是我们在研究算术哲学时先遇到的问题，它们是决定上层建筑的基石。本书将在章算术学的逻辑概论里回答这些问题，同时介绍算术学的基础运算和该学科的划分情况。 读者需要特别关注一下算术学逻辑概论，它不仅仅是作者所有研究的基础，也是整个系统的框架。算术逻辑概论认为本学科是基于三种基本运算的方法———合成法、分解法和比较法。其他的通用运算都是以这三种运算为基础发展而来的。这一结论成了研究算术学及其各部分相互关联的新起点，剖析了尘封几个世纪的错误观点。我们的个问题就是算术学的逻辑概论是什么。所有的数值概念都是从单位开始的，它是算术学的起源与基础。作为算术的基本概念，我们有了所有数字及以此为基础的整个学科。现在让我们从本章开始看看算术学的起源与发展。由于单位可以增加或分解，因而产生了两类数字————整数和分数。整数在合成过程中产生，分数在分解过程中产生。各个数字组合成后得到整数，一个整数进行分解后得到分数。通过合并单位得到数值后，我们可以再合并两个或者更多的数值，然后通过合并得到更大的数值，或者我们可以通过分解得到较小的数值，数字可以结合也可以分解，前面的两个过程分别叫作合成和分解。因此，合成法和分解法是算术运算中的两种基本算法。这两种基本运算通过改进和演变产生了其他的运算方法。算术从初的概念看仅仅包含了两层含义∶加大或者减小数字，即合并或分解数字。因此，算术学初的运算法则即合成法和分解法。为了解决什么时候合并、怎样合并、什么时候分解、怎样分解的问题，我们引入了一个推理过程，叫作比较法。比较法的运算过程是比较分析两个数及其之间的关系。合成法和分解法是机械过程，比较法是思维过程。比较法指导原始算法，并且修改原始算法，从而产生了以原始算法为基础的新算法和脱离原始算法的新算法。也就是说，通过比较法这一思维过程，原始的合成法和分解法被指导和修改后产生其他新的算法，这些新的算法有些是以合成法和分解法为基础的，有些是独立于合成法和分解法之外的。算术学由此演变。同几何学一样，算术学是由比较法的产生而创建起来的，而比较法是学者们开启算术学趣味与魅力宝库的钥匙。综上所述，算术学基本的三项算法分别是合成法、分解法和比较法。合成法和分解法是基础的机械运算，一般以数学公式表示。比较法是基础的思维运算，用来控制机械运算并表达机械运算的含义，也使算术学迅速发展，延伸出其他的分支学科。换句话说，算术学有一个三位一体的基础，即合成法、分解法和比较法，也由它们发展而来。我们可以通过研究这些运算，分析其中的数字、性质和由这些基础运算发展而来的各部分之间的关系来探究算术科学的逻辑特征。
合成法，一般叫作加法。加法在合成运算中的一种特殊情况是当所有的加数都相同时，它们可以用乘法。因数合成得到合数的运算可以叫作复合运算。倍数（由特殊因数合成形成的运算）和乘方（由相同因子合成的运算）都包含在乘方运算中。因此，乘方、倍数和复合都是乘法运算的特殊情况，而乘法又是加法的特殊情况。因此，加法运算包含了数字可以应用的所有合成运算。分解法，即加法的反运算，叫作减法。减法的一种特殊情况是减数一直是同一个数或者相等的数，确定减数被减去了多少次的过程，叫作除法。因数分解是除法的另一种特殊情况，在因数分解中需要明确一个数分解的所有因子。开方是因数分解的一种特殊情况，在开方中需要知道相等的因子。公约数是因数分解的一种情况，公约数是指一个整数同时是几个整数的约数。因此，除法运算包含因数分解、公约数和开方，同时又因为除法是减法的一种特殊情况，所以上述所有的运算在逻辑上都属于减法的一般分解运算。比较法，是通过比较而产生不同的算术运算方法。通过比较数字，我们认识到了差和商的关系。用一个量测量另一个量得到比。相同比之间的比较得到比例。级数相差、相同比数的比较产生了算术级数和几何级数。在比较名数时，当单位是人为规定的时候，我们猜测名数会随着单位值的不同而改变，同时我们也能将一定数量的单位数转化成同一种类的另一个单位数，因此就有了叫作约简的运算过程。在比较非名数时，人们重点研究数之间的一些特定或特殊关系，从而得到了数的特性或原则。在比较数值时，我们可以先假设一些数值作为比较参考的基础，然后按照这个基础展开数的关系，当这个基础是100 时，我们就有了百分比这个运算过程  由此，我们对数字科学有了一个概括性的了解，也更加清楚算术学科各部分之间的关系。算术是由合成法和分解法两个基础运算构建而成的，合成法和分解法由比较法控制，从而发展出新的运算方法。纯粹的算术学是以合成法、分解法和比较法为基础发展而来的，算术学剩余的部分是以应用算术的名义解决实际问题或理论问题。这是一个全新而重要的观点。在这之前人们一直认为是加法和减法组成了整个算术学，其他所有的运算过程都包含在加减法中，并且由加减法发展而来。这个谬论是导致逻辑学家们得出"算术没有推理过程”这一荒诞结论的众多因素之一。假设在初期的合成法和分解法中没有推理过程，并且是这两种运算方法组成了整个算术学，则逻辑学家们就自然而然地认为算术学本身没有推理过程。而本书对此进行分析的目的就是纠正错误，让算术学展现其本身真正的光芒。合成法和分解法是原始的机械运算过程，比较法是思维过程，用它神奇的“魔法棒”触碰了合成法和分解法，使它们生根发芽，发展出其他算法。比较法也成了与合成法和分解法不同的算法基础。这些算法不是通过合成法和分解法构建发展而来，而是以比较法为基础。上述算术学概述仅是由单纯的数值概念归纳而来，与算术语言无关。算术基础运算过程根据数值的不同计数法进行了修正，即罗马和希腊计数法中的运算方法与阿拉伯计数法中的运算方法。减法里“借一当十”的借位法，乘法和除法的特殊运算都产生于阿拉伯计数法。分数和小数的一部分运算方法是由其采用的计数法引起的，同时循环节的原则和运算过程起源于相同的方式。当表示数值的计数法不同时，二次方根和三次方根的方法也会不同。由此可见，算术学的基础划分方法是针对单纯的数值概念进行划分的，划分后各部分采用的运算过程根据采用计数法的不同进行了修正，同时算术学还因为计数法衍生了一些相应的法则和运算。值得注意的是，作为一门计算学科，算术需要借助巧妙的计数法才能使其魅力得以发挥。
这是一个全新而重要的观点。在这之前人们一直认为是加法和减法组成了整个算术学，其他所有的运算过程都包含在加减法中，并且由加减法发展而来。这个谬论是导致逻辑学家们得出"算术没有推理过程”这一荒诞结论的众多因素之一。假设在初期的合成法和分解法中没有推理过程，并且是这两种运算方法组成了整个算术学，则逻辑学家们就自然而然地认为算术学本身没有推理过程。而本书对此进行分析的目的就是纠正错误，让算术学展现其本身真正的光芒。合成
法和分解法是原始的机械运算过程，比较法是思维过程，用它神奇的“魔法棒”触碰了合成法和分解法，使它们生根发芽，发展出其他算法。比较法也成了与合成法和分解法不同的算法基础。这些算法不是通过合成法和分解法构建发展而来，而是以比较法为基础。