大学生数学竞赛习题精讲（第3版）

图书标准信息

• 作者 陈兆斗；黄光东；赵琳琳；邓燕
• 出版社 清华大学出版社
• 出版时间 2020-04
• 版次 3
• ISBN 9787302545019
• 装帧 其他
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸

【内容简介】

本书是为大学生数学竞赛（非数学专业）编写的教学辅导教材，内容覆盖了大学高等数学(微积分)等课程。全书共有7章，共约1200多道题，其中有精心选取的全国竞赛（非数学类）的部分原题。书中还给出了*近几届全国大学生数学竞赛（非数学类）的试卷，有别于试卷本身的“参考答案”，我们对部分题目重新做了解答，为读者提供了更高质量的参考解答。题目难度有一定的差异，以适合不同层次和不同专业的学生对数学竞赛或考研辅导的需求。全部习题都附有较详细的解答，以便于读者自学。书中经典的基本题约占二分之一，且涵盖的题目类型广泛，近年数学竞赛的很多题目都可在本书中找到踪影。对于经济和管理类的学生，除了“曲线与曲面积分”一节的内容之外，其他章节皆适用。此外，书中加入了一些历史上的数学名题，如“*速降线问题”“等周问题”“圆周率是无理数”； 还提供了一些数学新题，如“公路占地原理”“弯管的启示”等，以适合高层次学生对数学知识的追求。新版中对每一节的习题都做了详细的分类，特色题大都给予命名并开列在目录中，以帮助读者归纳和查找，使该书的内容更加系统化。

【作者简介】

陈兆斗：1950年生人，理学硕士，中国地质大学（北京）数学教师，教授。多年参加北京市大学生数学竞赛的命题工作，并多次对学生做竞赛辅导。 

科研方面，参加过国家自然科学基金和863等科研项目；在国内外发表过30多篇论文。编写教材方面，编写出版了《高等数学（工本）》北京大学出版社（2006年）（主编），《高等数学（工本）习题详解》清华大学出版社（2006年）（主编），《高等数学（下册）》北京大学出版社（2008年）（主编）。

【目录】

目录

第1部分要点、例题与习题

第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.1.1内容要点

1.1.2例题选讲

1.1.3习题汇编

 内容分类

一般数列的极限

递推、迭代数列的极限

数列的收敛速度

数列极限的综合题

函数极限

 特色题

数列极限的平均值例2

数列xn 1=c xn的极限例3

用比值法和根值法求数列极限例5

数列an，n-p趋于零的速度比较例7（1）

lnαx,xβ,eγx趋于无穷大速度的比较例7（2）

用施托尔茨定理求数列极限题10

用夹逼准则求数列极限题12

数列 sinnθ 的极限题15

用单调有界原理求数列极限题25

方程tanx=x的根所成数列的

极限题37

交叉迭代的数列极限题41

空间中4个点交叉迭代的点列

极限题43

幂指型极限的等价无穷小代换题51

用微分中值定理求极限题52

笛卡儿叶形线的渐近线题56

函数 (ax1 ax2 … axn)/n1/x的

极限题61

x→0 时函数 xxxx的极限题62

1.2一元函数的连续性

1.2.1内容要点

1.2.2例题选讲

1.2.3习题汇编

 内容分类

介值定理、零点定理与连续性

函数方程与连续性

连续函数的应用题

 特色题

2x的函数方程例1

椭圆的外切正方形例2

奇偶次多项式的实零点与最值例3

连续性与不动点例4

最大、最小函数的连续性题8

地球上的同温点题14

陈家全的百米世界纪录题15

方桌的平稳摆放问题题17

“一刀二饼”问题题19

第2章一元函数微分学

2.1导数、微分中值定理

2.1.1内容要点

2.1.2例题选讲

2.1.3习题汇编

 内容分类

求导法

高阶导数

导函数的性质

微分中值等式

 特色题

用递推公式求x=0处arctanx的

高阶导数例3

导函数的极限定理例5

导函数的介值定理例7

微分中值等式的一般解法例10

函数行列式的导数题14

相关变化率题16

反函数的二三阶导数题27

 

导数不为零的函数是单调函数题33

导函数没有第一类间断点题34

重根与导函数题39

其他特色题题2，25（2），31

2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及

泰勒公式

2.2.1内容要点

2.2.2例题选讲

2.2.3习题汇编

 内容分类

泰勒公式

泰勒公式与不等式

函数的单调性与不等式

函数的凹凸性与不等式

函数的极值与最值

 特色题

函数展开为麦克劳林公式的常用

方法例1

麦克劳林公式与等价无穷小例2

泰勒公式与不等式例3，4

极值的高阶导数判别法例8

关于严格凹（凸）不等式例10

从低阶到高阶排列的4个无穷小题7

若尔当不等式 2θπ≤sinθ≤θ题24

反函数的凹凸性题29

平均值不等式题35

柯西不等式题36

凹凸函数与最值题44

数列 {nn}的最大项题46

函数∑ni=1|x－ai|的最小值题47

伯努利不等式(1 x)α≥1 αx题49

其他特色题

题9，26，27，28，32，37，39，54

2.3一元函数微分学综合题

 内容分类

导数与函数方程、恒等式

方程的根与导数

优化问题

其他综合题

 特色题

f(x)=tanx的函数方程题4

方程2x=x2 1有3个不同的实根

题17

多项式［(x2－1)n］(n)的实零点分布

题20

由图形判断x3－3x p=0的根题26

公路上的选址问题与重心法题30

函数1 x … xn/n!的实零点题38

e是无理数题43

误差悖论与泰勒公式题45

与arctanx的高阶导数有关的问题题47

数列{nsin(2πen!)}的极限题50

最大熵原理题55

其他特色题

题1，10，14，15，24，42，49，57

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.1.1内容要点

3.1.2例题选讲

3.1.3习题汇编

 内容分类 

有理函数的积分

三角函数有理式的积分

无理函数的积分

幂三指函数的积分

综合题

 特色题

有理函数积分的5个常见类型例1

三角函数有理式积分的常用换元法例2

函数系{Pn(x)eλx}对原函数的封

闭性例8

非常规分解的有理函数的积分题2

∫tannxdx与∫sinnxdx的递推公式题5

∫cosmxsinnxdx的递推公式题7

用倒代换计算的积分题10

∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的积分

题13

函数系{Pn(x)eaxcosbx Qn(x)eaxsinbx}对原函数的封闭性题15

分段函数的原函数题26

3.2定积分及其在几何与物理中的

应用

3.2.1内容要点

3.2.2例题选讲

3.2.3习题汇编

 内容分类

定积分与广义积分的计算

积分等式及变限积分

定积分在几何与物理中的应用

 特色题

某些定积分的简算例2，题1

连接两点的最短路径是线段例4

求变项和的极限例5

定积分与微元法例6

图形绕斜轴的旋转体体积例7，题30

正交函数系题7,8

柱壳法求旋转体体积题29

椭圆外等距线的长度题38

惠更斯摆的等时性题44

旋轮线的等时性题45

其他特色题例3，题2，15，17，19，23

3.3定积分综合题

 内容分类

积分不等式

积分极限

其他综合题

 特色题

积分的柯西不等式题3

凹凸形函数的积分不等式与等式题15

积分极限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx题21

积分极限 limx→ ∞∫x0|sint|dt/x题29

原函数的奇偶性和周期性题32

圆周率π是无理数题37

最大微分熵题43

其他特色题题2,4，11，12,18，42，48

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.1.1内容要点

4.1.2例题选讲

4.1.3习题汇编

 特色题

下料问题例1

曲面上的蚂蚁寻路问题例2，题14

正劈锥的参数方程例3

默比乌斯带的参数方程例5

一般旋转曲面的参数方程例6

在椭球面上截圆题1

单叶双曲面是直纹面题6

欧拉四面体问题题8

齐次函数与锥面方程题11

空间圆的参数方程题15

礼花绽放题21

其他特色题题16，17，18

4.2多元函数的极限、连续与微分

4.2.1内容要点

4.2.2例题选讲

4.2.3习题汇编

 内容分类

多元函数的极限与连续

偏导数

全微分

高阶偏导数

综合题

 特色题

x2 y2的方向导数与偏导数例4

已知全微分求原函数例7，题18

高阶偏导数例10，题20

解偏微分方程例13，题31

极坐标下的偏导数题6

调和函数题21,22

一个二元函数的恒等式题34

齐次函数题38

其他特色题例8，题7，37

4.3多元函数微分学的应用

4.3.1 内容要点

4.3.2例题选讲

4.3.3习题汇编

 内容分类

多元函数微分学的几何应用

多元函数的极值与最值

多元函数微分学的综合题

 特色题

曲线簇的包络线例2，题6,7

等距线例3，题9

最远（近）点的垂线原理例5，题24,25，26，27

一个不寻常的切线问题题2

椭球面的切线束题10

柱面方程的特征题11

唯一极值非最值的例子题22

点到3条直线的距离之和最小题32

4点共圆时四边形的面积最大题36

三角形的费马点题37

其他特色题题15，21，37，38，

第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.1.1内容要点

5.1.2例题选讲

5.1.3习题汇编

 内容分类

重积分的计算与简算

重积分的一般变量代换

含参数的积分

积分不等式

求面积和体积问题

综合题

 特色题

重积分的对称奇偶性例1

用重心法计算的重积分例3

卷积的计算例7，题21

卷积的运算律题20

二次型与椭圆的面积题31

二次型与椭球的体积题33

其他特色题例5,6，题5，11，22，23，26，34，42，44

5.2曲线积分与曲面积分

5.2.1内容要点

5.2.2例题选讲

5.2.3习题汇编

 内容分类

曲线积分

对面积的曲面积分

对坐标的曲面积分

 特色题

用平移变换计算的一个曲线积分例1

闭曲线内部有奇点的曲线积分例2

调和函数的平均值定理例4

灵活选择的面积微元 例5

用积分坐标的转换计算曲面积分例6，题22

用轮换对称计算的曲面积分例9

凑原函数计算曲线积分题10

用对称奇偶性计算曲面积分题14

用斯托克斯公式计算曲线积分

题27，28

其他特色题题6，11，23，30

5.3多元函数积分学的应用

5.3.1内容要点

5.3.2例题选讲

5.3.3习题汇编

 内容分类

多元积分学的几何应用

多元积分学的物理应用

 特色题

用微元法解释对称奇偶性例1，题1

用曲线积分求柱面的面积例2

星形线的旋转面面积例3

圆锥面铺平后其上的曲线长度不变例4

公路隔离栏原理例5

公路占地原理例6

等周问题的证明例7

圆柱面铺平后其上的曲线长度不变

题2

咕噜金定理题6

弯管的启示题8

阿基米德定律的推导题16

旋转液面的形状题18

雪堆的融化问题题19

第6章无穷级数

6.1数项级数

6.1.1内容要点

6.1.2例题选讲

6.1.3习题汇编

 内容分类

级数求和

正项级数

一般项级数

综合题

 特色题

拆项相消法求级数的和例1，题1

正项级数的敛散性与一般项趋于零的

速度例3

正项级数敛散性的积分判别法例4

条件收敛级数中的正负项级数例5

条件收敛的级数不满足加法交换律

例6

用泰勒公式分解级数例7，题29，30

级数的敛散性与数列的敛散性例8

比较法的极限形式不适合非正项

级数例9

一个二重级数的敛散性题17

数列xn=cosxn－1的敛散性题45

斐波那契数列与黄金分割比题47

无穷积分的敛散性与级数的敛散性题51,52

狄利克雷积分∫ ∞0(sinx/x)dx条件收敛题53

压缩映射原理题58

其他特色题题13，14，31，34，35，48

6.2函数项级数

6.2.1内容要点

6.2.2例题选讲

6.2.3习题汇编

 内容分类

幂级数的收敛域

函数的幂级数展开式

幂级数求和

一般函数项级数

综合题

 特色题

两个幂级数和的收敛域例1

e－1/x2不能展开为麦克劳林级数例6

傅里叶级数的闭合性公式例8

幂级数 ∑∞n=1sinnn2xn的收敛域题5

斐波那契数列的母函数题14

∑∞n=0sinnx与∑∞n=0cosnx的收敛域题20

用傅里叶级数求数项级数的和题24

有理函数的幂级数特征题30，31

提不尽的银行存款题38

傅里叶级数的维尔丁格不等式题42

用傅里叶级数证明等周问题题43

其他特色题题19，25，34，37

第7章微分方程

7.1初等积分法与线性方程

7.1.1内容要点

7.1.2例题选讲

7.1.3习题汇编

 内容分类

用初等积分法解微分方程

线性微分方程

综合题

 特色题

积分因子例1，题8，9

非齐次线性方程特解的算子解法例5,6，7，题11

二阶线性齐次方程的朗斯基行列式例8

由通解求方程形式题1

二阶常系数非齐次线性方程的一个新

解法题19

用逆算子求不定积分∫x3e2xdx题20

可化为常微分方程的偏微分方程题21

其他特色题题14,25

7.2微分方程的应用题

 内容分类

微分方程的物理应用

微分方程的几何应用

其他应用题

 特色题

将地球变为黑洞题1

滑行距离问题题2

浮筒的振动题3

单摆小幅摆动的周期题4

悬链线题7

最速降线问题题8

马王堆一号墓的年代考证题9

攀岩的路径题10

雨滴流淌的轨迹题11

曳物线题12

追线问题题13

横渡江河的线路题14

摆渡线路题15

4人追逐线路题16

盘山公路的修筑题17

湖泊污染的治理题18

降雪与扫雪问题题21

凶犯的排除题22

给CPU降温题23

新技术的推广题24

第2部分习 题 解 答

第1章一元函数的极限与连续

1.1极限

1.2一元函数的连续性 

第2章一元函数微分学

2.1导数、微分中值定理

2.2导数与函数的单调、极值、凸凹及

泰勒公式

2.3一元函数微分学综合题

第3章不定积分与定积分

3.1不定积分

3.2定积分及其在几何与物理中的

应用

3.3定积分综合题

第4章多元函数微分学

4.1函数与图形

4.2多元函数的极限、连续与微分

4.3多元函数微分学的应用

第5章多元函数积分学

5.1重积分

5.2曲线积分与曲面积分

5.3多元函数积分学的应用

第6章无穷级数

6.1数项级数

6.2函数项级数

第7章微分方程

7.1初等积分法与线性方程

7.2微分方程的应用

附录A中国大学生数学竞赛大纲

（非数学类）

附录B8~11届全国大学生数学竞赛预赛

（非数学类）赛题及解答

第8届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2016年）

第9届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2017年）

第10届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2018年）

第11届全国大学生数学竞赛预赛赛题

（非数学类，2019年）

附录C7~10届全国大学生数学竞赛决赛

（非数学类）赛题及解答

第7届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2016年）

第8届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2017年）

第9届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2018年）

第10届全国大学生数学竞赛决赛赛题

（非数学类，2019年）

附录D常用公式与记号

参考文献