矩阵论

上篇 基础篇

第1章矩阵的几何理论

引言什么是矩阵的几何理论

1.1线性空间上的线性算子与矩阵

1.1.1线性空间

习题1（1）

1.1.2线性算子及其矩阵

习题1（2）

1.2内积空间上的等积变换

1.2.1内积空间

习题1（3）

1.2.2等积变换及其矩阵

习题1（4）

*1.3埃尔米特变换及其矩阵

1.3.1对称变换与埃尔米特变换

1.3.2埃尔米特正定、半正定矩阵

1.3.3矩阵不等式

1.3.4埃尔米特矩阵特征值的性质

*1.3.5一般的复正定矩阵

习题1（5）

第2章λ矩阵与若尔当标准形

引言什么是矩阵标准形

2.1λ矩阵

2.1.1λ矩阵的概念

2.1.2λ矩阵在相抵下的标准形

2.1.3不变因子与初等因子

2.2若尔当标准形

2.2.1数字矩阵化为相似的若尔当标准形

*2.2.2若尔当标准形的其他求法

习题2

第3章矩阵的分解

引言矩阵分解的意义

3.1矩阵的三角分解

3.1.1消元过程的矩阵描述

3.1.2矩阵的三角分解

3.1.3常用的三角分解公式

3.2矩阵的ＱＲ(正交三角)分解

3.2.1ＱＲ分解的概念

3.2.2QR分解的实际求法

3.3矩阵的秩分解

3.4矩阵的奇异值分解和极分解

3.5矩阵的谱分解

3.5.1正规矩阵

3.5.2正规矩阵的谱分解

3.5.3单纯矩阵的谱分解

习题3

第4章赋范线性空间与矩阵范数

引言范数是什么

4.1赋范线性空间

4.1.1向量的范数

4.1.2向量范数的性质

习题4（1）

4.2矩阵的范数

4.2.1矩阵范数的定义与性质

4.2.2算子范数

4.2.3谱范数的性质和谱半径

习题4（2）

4.3摄动分析与矩阵的条件数

4.3.1病态方程组与病态矩阵

4.3.2矩阵的条件数

*4.3.3矩阵特征值的摄动分析

习题4（3）

下篇应用篇

第5章矩阵微积分及其应用

引言讨论矩阵微积分的必要性

5.1向量序列和矩阵序列的极限

5.1.1向量序列的极限

5.1.2矩阵序列的极限

5.2矩阵级数与矩阵函数

5.2.1矩阵级数

5.2.2矩阵函数

5.3函数矩阵的微分和积分

5.3.1函数矩阵对实变量的导数

5.3.2函数矩阵特殊的导数

5.3.3矩阵的全微分

5.3.4函数矩阵的积分

*5.4矩阵微分方程

5.4.1常系数齐次线性微分方程组的解

5.4.2常系数非齐次线性微分方程组的解

5.4.3n阶常系数微分方程的解

习题5

第6章广义逆矩阵及其应用

引言什么是广义逆矩阵

6.1矩阵的几种广义逆

6.1.1广义逆矩阵的基本概念

6.1.2减号逆A-

6.1.3自反减号逆A-r

6.1.4小范数广义逆A-m

6.1.5小二乘广义逆A-l

6.1.6加号逆A 

6.2广义逆在解线性方程组中的应用

6.2.1线性方程组求解问题的提法

6.2.2相容方程组的通解与A-

6.2.3相容方程组的极小范数解与A-m

6.2.4矛盾方程组的小二乘解与A-l

6.2.5线性方程组的极小小二乘解与A 

习题6

第7章几类特殊矩阵与特殊积

引言什么是特殊矩阵与特殊积

7.1非负矩阵

7.1.1非负矩阵与正矩阵

7.1.2不可约非负矩阵

7.1.3素矩阵与循环矩阵

7.2随机矩阵与双随机矩阵

7.3单调矩阵

7.4M矩阵与H矩阵

7.4.1M矩阵

7.4.2H矩阵

7.5T矩阵与汉克尔矩阵

习题7（1）

7.6克罗内克积

7.6.1克罗内克积的概念

7.6.2克罗内克积的性质

7.7阿达马积

7.8反积及非负矩阵的阿达马积

7.9克罗内克积应用举例

7.9.1矩阵的拉直

7.9.2线性矩阵方程的解

习题7（2）

第8章矩阵在数学内外的应用

引言

8.1矩阵在数学内部的应用

8.1.1矩阵在代数中的应用

8.1.2矩阵在几何中的应用

8.1.3矩阵在图论中的应用

8.2矩阵在数学之外的应用

8.2.1矩阵在信息编码中的应用

8.2.2矩阵在经济模型中的应用

8.2.3矩阵在生物种群生长繁殖问题中的应用

8.2.4矩阵在控制论中的应用

附录模拟考试自测试题（共15套）

参考文献