考研数学常考题型解题方法技巧归纳（数学一）（毛纲源）

图书标准信息

• 作者 毛纲源
• 出版社 华中科技大学出版社
• 出版时间 2022-04
• 版次 1
• ISBN 9787568080156
• 定价 88.00元
• 装帧 平装
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸
• 页数 668页
• 字数 1.092千字

【内容简介】

全书共分为三篇：第*篇为高等数学，第二篇为线性代数，第三篇为概率论与数理统计。本书重点讲述考纲中与基本概念、基本理论、基本方法有关的经典试题，内容丰富，题型广泛、全面，任何一年的真题均可在本书中找到对应的题型。　　 本书对各类重点常考题型的解题思路、方法和技巧进行归纳总结，对容易出错的地方以“注意”的形式作了详尽的注解加以强调。各类题型的解法除了给出一般的解题方法外，还给出了简便的解法，能激发读者阅读此书的兴趣。讲解各类题型的解法时，尽量做到通俗易懂、由浅入深、富于启发，便于自学。 因而本书是一本广度、深度及难度均适合广大考生使用的辅导书，如能认真学习阅读此书，考研数学高分不是梦。

【作者简介】

毛纲源教授是我社的特约作者，先后编著并在我社出版的图书品种达20余种，其出书数量在国内实属罕见，不论是数学辅导书（经济类、理工类）的编写，还是考研数学辅导书的编写，都体现了老一辈教师严谨治学的工作作风，作为毛老师系列图书的责任编辑也从中受益匪浅.同时，毛老师的系列图书十几年来一直作为我社的畅销书和常销书，在读者心目中赢得了良好的口碑，已有数十万学子从中受益。

【目录】

第1篇 高 等 数 学

1.1函数、极限、连续(2)

1.1.1求几类与复合函数有关的函数表示式(2)

题型1.1.1.1已知f(x)和φ(x),求f［φ(x)］或φ［f(x)］(2)

题型1.1.1.2求分段点相同的两分段函数的复合函数(2)

1.1.2函数的奇偶性(3)

题型1.1.2.1判别（证明）函数的奇偶性(3)

题型1.1.2.2奇、偶函数性质的应用(5)

1.1.3讨论函数的有界性和周期性(5)

题型1.1.3.1判定有限开区间内连续函数的有界性(5)

题型1.1.3.2判定无穷区间内连续函数的有界性(6)

题型1.1.3.3讨论函数的周期性(6)

1.1.4理解极限概念(7)

题型1.1.4.1正确理解极限定义中的“εN”“εδ”“εX”语言的含义(7)

题型1.1.4.2正确区别无穷大量与无界变量(8)

题型1.1.4.3正确运用极限的保序性、保号性(9)

题型1.1.4.4正确运用极限的四则运算法则及夹逼准则求极限(10)

题型1.1.4.5正确理解乘积极限的存在性(11)

题型1.1.4.6正确理解复合函数极限的存在性(11)

1.1.5求未定式极限(12)

题型1.1.5.1求00型或∞∞型极限(12)

题型1.1.5.2求0·∞型极限(16)

题型1.1.5.3求∞-∞型极限(17)

题型1.1.5.4求幂指函数型（00型，∞0型,1∞型)极限(17)

1.1.6求数列极限(21)

题型1.1.6.1求数列通项为n项和的极限(21)

题型1.1.6.2求由递推关系式给出的数列极限(26)

1.1.7求几类特殊子函数形式的函数极限(28)

题型1.1.7.1求需先考察左、右极限的函数极限(28)

题型1.1.7.2求含根式差的函数极限(31)

题型1.1.7.3求含或可化为含指数函数差的函数极限(31)

题型1.1.7.4求含lnf(x)的函数极限，其中limx→□f(x)=1(32)

题型1.1.7.5求含有界变量因子的函数极限(32)

1.1.8求含参变量的函数极限limn→∞φ(n,x)(33)

题型1.1.8.1求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)为或可化为F(x)g(n)指数函数型(33)

题型1.1.8.2求limn→∞φ(n,x),其中φ(n,x)为或可化为g(n)F(x)幂函数型(33)

题型1.1.8.3求limt→t0φ(t,x)，其中φ(t,x)可化为g(t)F(x)型或F(x)g(t)型(34)

题型1.1.8.4求limn→∞φ(n,x)或limt→t0φ(t,x)，其中φ(n,x)=F(n,x)g(x,n)或φ(t,x)=F(t,x)g(t,x)

(34)

1.1.9已知一极限求其待定常数或含未知函数的另一极限(35)

题型1.1.9.1由含未知函数的一(些)极限，求含该函数的另一极限(35)

题型1.1.9.2已知极限式的极限，求其待定常数(36)

1.1.10比较和确定无穷小量的阶(38)

题型1.1.10.1比较无穷小量的阶(39)

题型1.1.10.2确定无穷小量为几阶无穷小量(40)

1.1.11讨论函数的连续性及间断点的类型(40)

题型1.1.11.1判别函数的连续性(40)

题型1.1.11.2讨论分段函数的连续性(41)

题型1.1.11.3判别函数间断点的类型(43)

1.1.12连续函数性质的两点应用(44)

题型1.1.12.1证明存在ξ∈［a,b］，使含ξ的等式成立(45)

题型1.1.12.2证明方程实根的存在性(46)

1.2一元函数微分学(48)

1.2.1导数定义的四点应用(48)

题型1.2.1.1判断函数在某点的可导性(48)

题型1.2.1.2利用导数定义求某些函数的极限(52)

题型1.2.1.3利用导数定义讨论函数性质(54)

题型1.2.1.4利用导函数符号及函数单调性比较函数值的大小(54)

1.2.2讨论分段函数的可导性及其导函数的连续性(54)

题型1.2.2.1讨论分段函数的可导性(54)

题型1.2.2.2讨论分段函数的导函数的连续性(55)

题型1.2.2.3讨论一类特殊分段函数在其分段点的连续性、可导性及其导函数的连续性

(56)

1.2.3讨论含值函数的可导性(56)

题型1.2.3.1讨论值函数|f(x)|的可导性(56)

题型1.2.3.2讨论函数f(x)=|φ(x)|g(x)的可导性(57)

1.2.4求一元函数的导数和微分(58)

题型1.2.4.1求复合函数的导数(58)

题型1.2.4.2求反函数的导数(59)

题型1.2.4.3求隐函数的导数(59)

题型1.2.4.4求分段函数的一阶、二阶导数(60)

题型1.2.4.5求幂指函数及含多个因子连乘积的函数的导数(60)

题型1.2.4.6求由参数方程所确定的函数的导数(61)

题型1.2.4.7求某些简单函数的高阶导数(62)

题型1.2.4.8求一元函数的微分(64)

1.2.5利用函数的连续性、可导性确定其待定常数(66)

题型1.2.5.1利用函数的连续性确定其待定常数(66)

题型1.2.5.2根据函数的可导性确定其待定常数(66)

1.2.6利用微分中值定理的条件及其结论解题(67)

1.2.7利用罗尔定理证明中值等式(69)

题型1.2.7.1证明中值等式f′(ξ)=0或f″(ξ)=0(69)

题型1.2.7.2证明存在ξ∈(a,b)，使cf′(ξ)=dg′(ξ)，其中c,d为常数(70)

题型1.2.7.3证明存在ξ∈(a,b)，使k(ξ)f′(ξ) h(ξ)f(ξ)=Q(ξ)(70)

题型1.2.7.4证明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)g′(ξ) f′(ξ)g(ξ)=0(72)

题型1.2.7.5证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ)g(ξ)-f(ξ)g′(ξ)=0 (g(ξ)≠0)(72)

题型1.2.7.6证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)f(ξ)=0(73)

题型1.2.7.7证明存在ξ∈(a,b)，使nf(ξ) ξf′(ξ)=0(n为正整数)(73)

题型1.2.7.8证明存在ξ∈(a,b)，使f(ξ)g(ξ)=f″(ξ)g″(ξ)，即f(ξ)g″(ξ)-f″(ξ)g(ξ)=0(73)

题型1.2.7.9证明存在ξ∈(a,b)，使f′(ξ) g′(ξ)［f(ξ)-bξ］=b(74)

题型1.2.7.10证明与定积分有关的中值等式(74)

1.2.8拉格朗日中值定理的应用(76)

题型1.2.8.1证明与函数改变量(增量)有关的中值（不）等式(77)

题型1.2.8.2证明函数与其导数的关系(77)

题型1.2.8.3求解与函数差值有关的问题(78)

题型1.2.8.4证明多个中值所满足的中值等式(79)

题型1.2.8.5求中值的极限位置(80)

1.2.9利用柯西中值定理证明中值等式(81)

题型1.2.9.1证明两函数差值（增量）比的中值等式(81)

题型1.2.9.2证明两函数导数之比的中值等式(81)

1.2.10泰勒定理的两点应用(82)

题型1.2.10.1证明与高阶导数有关的中值（不）等式(82)

题型1.2.10.2计算按常规方法不好求的未定式极限(83)

1.2.11利用导数证明不等式(84)

题型1.2.11.1证明函数不等式(85)

题型1.2.11.2证明数值不等式(89)

1.2.12讨论函数的性态(90)

题型1.2.12.1证明函数在区间I上是一个常数(90)

题型1.2.12.2证明(判别)函数的单调性(90)

题型1.2.12.3讨论函数是否取得极值(91)

题型1.2.12.4利用二阶微分方程讨论函数是否取极值，其曲线是否有拐点(93)

题型1.2.12.5求曲线凹凸区间与拐点(93)

题型1.2.12.6求函数的单调区间、极值、值(96)

题型1.2.12.7求曲线的渐近线(98)

1.2.13利用函数性态讨论方程的根(99)

题型1.2.13.1讨论不含参数的方程实根的存在性及其个数(99)

题型1.2.13.2讨论含参数的方程实根的存在性及其个数(100)

1.2.14函数性态与函数图形(101)

题型1.2.14.1利用函数性态作函数图形(101)

题型1.2.14.2利用函数的图形，确定其导函数的图形(102)

题型1.2.14.3利用导函数的图形，确定原来函数的性态(103)

1.2.15一元函数微分学的应用(103)

题型1.2.15.1求平面曲线的切线方程和法线方程(103)

题型1.2.15.2求解与切线在坐标轴上的截距有关的问题(105)

题型1.2.15.3求解与两曲线相切的有关问题(105)

题型1.2.15.4求解与平面曲线的曲率有关的问题(106)

1.3一元函数积分学(108)

1.3.1原函数与不定积分的关系(108)

题型1.3.1.1原函数的概念及其判定(108)

题型1.3.1.2求分段函数的原函数或不定积分(109)

题型1.3.1.3利用积分运算与微分运算的互逆关系求解与原函数有关的问题(110)

1.3.2各类被积函数不定积分的算法(110)

题型1.3.2.1求被积函数为f(x)/g(x)的不定积分,其中f(x)=g′(x)或f′(x)=1/g(x)

(110)

题型1.3.2.2计算被积表达式中出现或可化为f(φ(x))和φ′(x)dx乘积的不定积分(112)

题型1.3.2.3计算被积函数仅为一类函数或为两类不同函数乘积的不定积分(112)

题型1.3.2.4计算简单无理函数的不定积分(114)

题型1.3.2.5求∫1(ax b)kf1(ax b)k-1dx，其中k≠1为正实数(117)

题型1.3.2.6求被积函数的分母为或可化为相差常数的两函数乘积的积分(117)

题型1.3.2.7求三角函数有理式的不定积分(118)

题型1.3.2.8求被积函数含复合对数函数或复合反三角函数为因子函数的积分(119)

题型1.3.2.9有理分式函数∫P(x)Q(x)dx(P(x),Q(x)为多项式)的积分算法(120)

题型1.3.2.10用留数法求有理分式函数的不定积分(121)

1.3.3利用定积分性质计算定积分(122)

题型1.3.3.1利用其几何意义计算定积分(122)

题型1.3.3.2计算对称区间上的定积分(124)

题型1.3.3.3计算周期函数的定积分(126)

题型1.3.3.4利用定积分的常用计算公式计算定积分(127)

题型1.3.3.5计算被积函数含函数导数的积分(128)

题型1.3.3.6比较和估计定积分的大小(130)

题型1.3.3.7求解含积分值为常数的函数方程(131)

题型1.3.3.8计算几类需分子区间积分的定积分(131)

题型1.3.3.9计算含参变量的定积分(134)

题型1.3.3.10计算需换元计算的定积分(134)

题型1.3.3.11求连续函数的定积分的极限(136)

1.3.4求解与变限积分有关的问题(137)

题型1.3.4.1计算含变限积分的极限(137)

题型1.3.4.2求变限积分的导数(139)

题型1.3.4.3求变限积分的定积分(142)

题型1.3.4.4讨论变限积分函数的性态(143)

1.3.5证明定积分等式(144)

题型1.3.5.1证明定积分的变换公式(144)

题型1.3.5.2证明含定积分的中值等式(145)

1.3.6证明定积分不等式(146)

题型1.3.6.1证明积分限相等时不等式两端成为零的积分不等式(146)

题型1.3.6.2证明函数f(x)在［a,b］上的定积分满足的不等式，其中f(x)在［a,b］上满足拉格朗日中值定理的条件，且在区间端点处取零值(147)

题型1.3.6.3证明被积函数或其主要部分高阶可导的定积分不等式(148)

题型1.3.6.4已知f(x)的定积分表达式，证其所满足的定积分不等式(149)

1.3.7计算反常积分(149)

题型1.3.7.1计算无穷区间上的反常积分(149)

题型1.3.7.2判别无界函数的反常积分的敛散性，如收敛，计算其值(152)

题型1.3.7.3判别混合型反常积分的敛散性，若收敛,计算其值(154)

1.3.8定积分的应用(155)

题型1.3.8.1已知曲线方程，求其所围平面图形的面积(155)

题型1.3.8.2已知曲线所围平面图形的面积(或其旋转体体积)反求该曲线(157)

题型1.3.8.3计算平面曲线的弧长(157)

题型1.3.8.4计算平行截面面积已知的立体体积(158)

题型1.3.8.5求旋转体体积(158)

题型1.3.8.6求旋转体的侧(表)面积(161)

题型1.3.8.7求解几何应用与值问题相结合的应用题(161)

题型1.3.8.8计算变力所做的功(163)

题型1.3.8.9计算变速运动的位移(163)

题型1.3.8.10计算液体的侧压力(164)

题型1.3.8.11计算细杆对质点的引力(164)

题型1.3.8.12计算函数在区间上的平均值(165)

1.4向量代数和空间解析几何(166)

1.4.1向量代数及其简单应用(166)

题型1.4.1.1用坐标表达式进行向量运算(166)

题型1.4.1.2计算向量的数量积、向量积、混合积(167)

题型1.4.1.3利用向量运算证明(确定)向量关系(169)

1.4.2求平面方程(169)

题型1.4.2.1求过已知点的平面方程(170)

题型1.4.2.2求过已知直线的平面方程(171)

题型1.4.2.3根据平面在坐标轴上的相对位置求其方程(171)

题型1.4.2.4求过两平面交线的平面方程(172)

1.4.3求直线方程(173)

题型1.4.3.1求过已知点的直线方程(174)

题型1.4.3.2求过已知点且与已知直线相交的直线方程(174)

题型1.4.3.3求与两直线相交的直线方程(175)

题型1.4.3.4求直线在平面上的投影直线方程(176)

1.4.4讨论直线与平面的位置关系(176)

题型1.4.4.1讨论平面间的位置关系(176)

题型1.4.4.2讨论直线与直线的位置关系(178)

题型1.4.4.3讨论直线与平面的位置关系(179)

1.4.5求点到平面或到直线的距离(179)

题型1.4.5.1求点到平面的距离(180)

题型1.4.5.2求点到直线的距离(181)

1.4.6求二次曲面方程和空间曲线在坐标面上的投影方程(182)

题型1.4.6.1求坐标面上曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面方程(182)

题型1.4.6.2求空间曲线绕坐标轴旋转所得的曲面方程(183)

题型1.4.6.3求母线平行于坐标轴的柱面方程(184)

题型1.4.6.4求空间曲线在坐标面上的投影方程(185)

1.4.7求解空间解析几何与线性代数、微积分相结合的综合题(185)

1.5多元函数微分学及其应用(188)

1.5.1正确理解二元函数连续、可偏导及可微之间的关系(188)

题型1.5.1.1依定义判别二元函数在某点是否连续、可偏导及可微(188)

题型1.5.1.2判别二元函数连续、可偏导、可微之间的关系(190)

1.5.2计算多元函数的偏导数和全微分(191)

题型1.5.2.1利用隐函数存在定理确定隐函数(191)

题型1.5.2.2求抽象复合函数的偏导数(191)

题型1.5.2.3求隐函数的导数(194)

题型1.5.2.4求显函数的偏导数(196)

题型1.5.2.5求与方向导数和梯度有关的问题(197)

题型1.5.2.6求二元函数的全微分(200)

1.5.3多元函数微分学的应用(200)

题型1.5.3.1已知空间曲线的参数方程，求其切线或法平面方程(200)

题型1.5.3.2已知空间曲线为两曲面的交线，求其切线或法平面方程(201)

题型1.5.3.3已知空间曲面方程，求其切平面或法线方程(202)

题型1.5.3.4求二元函数的极值和值(204)

题型1.5.3.5求二(多)元函数的条件极值(206)

1.6多元函数积分学(209)

1.6.1利用区域的对称性化简多元函数的积分(209)

题型1.6.1.1计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分(209)

题型1.6.1.2计算积分区域关于直线y=x对称的二重积分(211)

题型1.6.1.3计算积分区域具有轮换对称性的三重积分(212)

题型1.6.1.4计算积分曲线（面）具有对称性的类曲线（面）积分(212)

题型1.6.1.5计算平面积分曲线关于y=x对称的类曲线积分(213)

题型1.6.1.6计算空间积分曲线（曲面）具有轮换对称性的类曲线（曲面）积分(214)

1.6.2交换积分次序及转换二次积分(214)

题型1.6.2.1交换二次积分的积分次序(214)

题型1.6.2.2转换二次积分(216)

1.6.3计算二重积分(217)

题型1.6.3.1计算被积函数分区域给出的二重积分(217)

题型1.6.3.2计算圆域或部分圆域上的二重积分(218)

题型1.6.3.3计算含二重积分的极限(220)

1.6.4计算三重积分(222)

题型1.6.4.1计算积分域的边界方程中含某个变量的方程只有两个的三重积分(222)

题型1.6.4.2计算积分区域为旋转体的三重积分(223)

题型1.6.4.3计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分(223)

题型1.6.4.4计算被积函数至少缺两个变量的三重积分(225)

题型1.6.4.5计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分(226)

1.6.5计算曲线积分(226)

题型1.6.5.1计算类平面曲线积分(227)

题型1.6.5.2求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题(228)

题型1.6.5.3计算平面上与路径有关的第二类曲线积分(232)

题型1.6.5.4计算空间第二类曲线积分(234)

题型1.6.5.5计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分(236)

1.6.6计算曲面积分(238)

题型1.6.6.1计算类曲面积分(238)

题型1.6.6.2计算第二类曲面积分(241)

题型1.6.6.3计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分(248)

题型1.6.6.4已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数(248)

1.6.7多元函数积分学的应用(249)

题型1.6.7.1计算空间曲线的弧长(249)

题型1.6.7.2求曲面面积(249)

题型1.6.7.3计算立体体积(251)

题型1.6.7.4求质量、质心、形心及转动惯量(252)

题型1.6.7.5计算变力沿曲线所做的功(256)

题型1.6.7.6计算物体对质点的引力(257)

题型1.6.7.7计算向量场的散度与流量(通量)(259)

题型1.6.7.8计算向量场的旋度与环流量(260)

1.7级数(262)

1.7.1判别三类常数项级数的敛散性(262)

题型1.7.1.1判别正项级数的敛散性(262)

题型1.7.1.2判别交错级数的敛散性(267)

题型1.7.1.3判别任意项级数的敛散性(269)

1.7.2证明常数项级数的敛散性(272)

题型1.7.2.1证明一般项为或可化为相邻两项代数和的级数的敛散性(272)

题型1.7.2.2已知一级数收敛，证明相关级数收敛(272)

题型1.7.2.3已知一般项有极限，证明该级数的敛散性(273)

题型1.7.2.4证明(判别)一般项为(含)定积分的级数的敛散性(274)

题型1.7.2.5证明一般项用递推关系式给出的级数的敛散性(274)

题型1.7.2.6已知函数高阶可导，证明由该函数值组成的级数的敛散性(275)

题型1.7.2.7利用级数的收敛性，求有关数列的极限(275)

1.7.3幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法(276)

1.7.4求幂级数与数项级数的和(278)

题型1.7.4.1求∑∞n=1P(n)xn的和函数，P(n)为n的多项式(278)

题型1.7.4.2求∑∞n=01Q(n)xn的和函数，Q(n)为n的多项式(280)

题型1.7.4.3求含阶乘因子的幂级数的和函数(282)

题型1.7.4.4求数项级数的和(285)

1.7.5将简单函数间接展开成幂级数(288)

题型1.7.5.1求反三角函数的幂级数展开式(288)

题型1.7.5.2将对数函数展成幂级数(289)

题型1.7.5.3将有理分式函数展成幂级数(289)

题型1.7.5.4将三角函数展成幂级数(289)

题型1.7.5.5利用幂级数展开式求函数的高阶导数(290)

1.7.6傅里叶级数(290)

题型1.7.6.1将周期函数展为傅里叶级数(290)

题型1.7.6.2求傅里叶系数(295)

题型1.7.6.3求傅里叶级数的和函数在某点的值(295)

1.8常微分方程(297)

1.8.1求解一阶线性微分方程(297)

题型1.8.1.1求解可分离变量的微分方程(297)

题型1.8.1.2求解齐次方程(298)

题型1.8.1.3求解一阶线性方程(299)

题型1.8.1.4求解几类可化为一阶线性方程的方程(300)

题型1.8.1.5求解方程P(x,y)dx Q(x,y)dy=0(302)

题型1.8.1.6求解由变量的增量关系给出的一阶方程(303)

题型1.8.1.7求满足某种性质的一阶微分方程的特解(303)

1.8.2求解二阶(高阶)线性微分方程(305)

题型1.8.2.1利用线性微分方程解的结构和性质求解有关问题(305)

题型1.8.2.2求解可降阶的二阶微分方程(306)

题型1.8.2.3求解高阶常系数齐次线性方程(307)

题型1.8.2.4求解二阶常系数非齐次线性方程(308)

题型1.8.2.5变换已知的微分方程为新的形式，并求其解(311)

题型1.8.2.6求解欧拉方程(313)

题型1.8.2.7求解含变限积分的方程(313)

题型1.8.2.8求解可化为一阶线性微分方程的函数方程(314)

1.8.3已知特解反求其常系数线性方程(314)

题型1.8.3.1已知特解反求其齐次方程(314)

题型1.8.3.2已知特解反求其非齐次方程(315)

1.8.4用微分方程求解几何和物理中的简单应用题(317)

第2篇 线 性 代 数

2.1计算行列式(322)

2.1.1计算数字型行列式(322)

题型2.1.1.1计算非零元素主要在一条或两条对角线上的行列式(322)

题型2.1.1.2计算非零元素在三条线上的行列式(323)

题型2.1.1.3计算行(列)和相等的行列式(324)

题型2.1.1.4计算范德蒙行列式(325)

题型2.1.1.5求代数余子式线性组合的值(327)

题型2.1.1.6计算n阶可逆矩阵的所有代数余子式的和(327)

2.1.2计算抽象矩阵的行列式(328)

题型2.1.2.1求由行(列)向量表示的矩阵的行列式的值(328)

题型2.1.2.2计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(329)

题型2.1.2.3计算含零子块的四分块矩阵的行列式(330)

题型2.1.2.4证明方阵的行列式等于零，或不等于零(330)

2.1.3克拉默法则的应用(331)

2.2矩阵(333)

2.2.1证明矩阵的可逆性(333)

题型2.2.1.1已知一矩阵等式，证明有关矩阵可逆,并求其逆矩阵(333)

题型2.2.1.2证明矩阵A可逆，且A-1=B(334)

题型2.2.1.3证明和(差)矩阵可逆(335)

题型2.2.1.4求矩阵的逆矩阵,该矩阵含一(些)矩阵的逆矩阵(336)

题型2.2.1.5证明方阵为不可逆矩阵(337)

2.2.2矩阵元素给定，求其逆矩阵的方法(337)

2.2.3求解与伴随矩阵有关的问题(338)

题型2.2.3.1计算与伴随矩阵有关的矩阵行列式(339)

题型2.2.3.2求与伴随矩阵有关的矩阵的逆矩阵(340)

题型2.2.3.3求与伴随矩阵有关的矩阵的秩(340)

题型2.2.3.4求伴随矩阵(340)

2.2.4计算n阶矩阵的高次幂(341)

题型2.2.4.1计算能分解为一列向量与一行向量相乘的矩阵的高次幂(341)

题型2.2.4.2计算能相似对角化的矩阵的高次幂(342)

题型2.2.4.3计算能分解为两可交换矩阵之和的矩阵的高次幂(343)

题型2.2.4.4计算其平方等于原矩阵或单位矩阵倍数的矩阵的高次幂(343)

2.2.5求矩阵的秩(344)

题型2.2.5.1求元素具体给定的矩阵的秩(344)

题型2.2.5.2求含抽象矩阵或含待定常数的矩阵的秩(345)

题型2.2.5.3已知矩阵的秩，求其待定常数(348)

2.2.6分块矩阵乘法运算的应用举例(349)

2.2.7求解矩阵方程(350)

题型2.2.7.1求解含单位矩阵加项的矩阵方程(350)

题型2.2.7.2求解只含一个未知矩阵的矩阵方程(352)

题型2.2.7.3求解含多个未知矩阵的矩阵方程(352)

题型2.2.7.4已知一矩阵方程，求方程中某矩阵的行列式(354)

2.2.8初等变换与初等矩阵的关系的应用(355)

题型2.2.8.1用初等矩阵表示相应的初等变换(355)

题型2.2.8.2利用初等矩阵的逆矩阵的性质计算矩阵(356)

2.3向量(357)

2.3.1判别向量组线性相关与线性无关(357)

题型2.3.1.1用线性相关性定义做选择题、填空题(357)

题型2.3.1.2判别分量已知的向量组的线性相关性(358)

题型2.3.1.3证明几类向量组的线性相关性(359)

题型2.3.1.4已知向量组的线性相关性，求其待定常数(364)

2.3.2判定向量能否由向量组线性表示(365)

题型2.3.2.1判定分量已知的向量能否由向量组线性表示(365)

题型2.3.2.2判断一抽象向量能否由向量组线性表示(366)

题型2.3.2.3判别一向量组能否由另一向量组线性表示(367)

2.3.3两向量组等价的判别方法及常用证法(368)

2.3.4向量组的秩与极大线性无关组(371)

题型2.3.4.1求分量给出的向量组的秩及其极大线性无关组(372)

题型2.3.4.2将向量用极大线性无关组线性表示(373)

题型2.3.4.3证明抽象向量组的秩有关问题(373)

题型2.3.4.4证某向量组为一极大无关组(375)

2.3.5向量空间(376)

题型2.3.5.1求解空间的基、标准正交基(规范正交基)(376)

题型2.3.5.2求过渡矩阵(378)

题型2.3.5.3求向量在某组基下坐标的相关问题(379)

2.4线性方程组(383)

2.4.1判定线性方程组解的情况(383)

题型2.4.1.1判定齐次线性方程组解的情况(383)

题型2.4.1.2判定非齐次线性方程组解的情况(385)

2.4.2由其解反求方程组或其参数(387)

题型2.4.2.1已知AX=0的解的情况，反求A中参数(387)

题型2.4.2.2已知AX=b的解的情况，反求方程组中参数(388)

题型2.4.2.3已知其基础解系，求该方程组的系数矩阵(389)

2.4.3证明一组向量为基础解系(390)

2.4.4基础解系和特解的简便求法(391)

2.4.5求解含参数的线性方程组(392)

题型2.4.5.1求解方程个数与未知数个数相等的含参数的线性方程组(393)

题型2.4.5.2求解方程个数与未知数个数不等的含参数的线性方程组(393)

题型2.4.5.3求解参数仅出现在常数项的线性方程组(394)

题型2.4.5.4求含参数的方程组满足一定条件的通解(395)

题型2.4.5.5求解有无穷多解的矩阵方程(396)

2.4.6求抽象线性方程组的通解(397)

题型2.4.6.1A没有具体给出，求AX=0的通解(397)

题型2.4.6.2已知AX=b的特解，求其通解(398)

题型2.4.6.3利用线性方程组的向量形式求(证明)其解(400)

2.4.7求两线性方程组的非零公共解(401)

题型2.4.7.1求两齐次线性方程组的非零公共解(401)

题型2.4.7.2证明两齐次线性方程组有非零公共解(404)

题型2.4.7.3讨论两方程组同解的有关问题(404)

2.5矩阵的特征值、特征向量(406)

2.5.1求矩阵的特征值、特征向量(406)

题型2.5.1.1求元素给出的矩阵的特征值、特征向量(406)

题型2.5.1.2证明(求)抽象矩阵的特征值、特征向量(408)

2.5.2由特征值和(或)特征向量反求其矩阵(410)

题型2.5.2.1由特征值和(或)特征向量反求矩阵的待定常数(410)

题型2.5.2.2已知特征值、特征向量，反求其矩阵(411)

题型2.5.2.3计算Anβ,其中β为列向量,A为方阵(413)

2.5.3求相关联矩阵的特征值、特征向量(413)

2.5.4判别同阶方阵是否相似(415)

题型2.5.4.1判别或证明方阵是否可对角化(415)

题型2.5.4.2判别或证明两同阶方阵是否相似(418)

2.5.5相似矩阵性质的简单应用(419)

2.5.6与两矩阵相似有关的计算(420)

题型2.5.6.1矩阵A可相似对角化，求A中待定常数及可逆矩阵P，使P-1AP=diag(λ1,λ2,…，λn),其中λ1,λ2,…,λn为A的特征值(420)

题型2.5.6.2A为实对称矩阵，求A中待定常数及正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ=diag(λ1,λ2,…，λn)，其中λ1，λ2，…，λn为A的特征值(421)

题型2.5.6.3A为实对称矩阵，求与其相似的对角矩阵Λ(422)

题型2.5.6.4已知矩阵A和可逆矩阵P满足一等式，求矩阵B，使P-1AP=B(423)

2.6二次型(424)

2.6.1化二次型为标准形或规范形(424)

题型2.6.1.1化二次型为标准形(424)

题型2.6.1.2已知二次型的标准形，确定该二次型(434)

2.6.2判别或证明实二次型（实对称矩阵）的正定性(435)

题型2.6.2.1判别或证明具体二次型（或实对称矩阵）的正定性(436)

题型2.6.2.2判别或证明抽象的二次型(或实对称矩阵)的正定性(438)

题型2.6.2.3确定参数的取值范围使二次型或其矩阵正定(439)

题型2.6.2.4证明与正定矩阵相关联的矩阵的正定性(440)

2.6.3合同矩阵(441)

题型2.6.3.1判别两实对称矩阵合同(441)

题型2.6.3.2讨论矩阵等价、相似及合同的关系(442)

第3篇 概率论与数理统计

3.1随机事件和概率(446)

3.1.1随机事件间的关系及运算(446)

题型3.1.1.1描绘随机试验的样本空间(446)

题型3.1.1.2用式子表示事件关系及其运算(446)

题型3.1.1.3利用事件运算的性质或图示法简化事件算式(447)

题型3.1.1.4求满足一定条件的事件关系(447)

3.1.2直接计算随机事件的概率(448)

题型3.1.2.1计算古典型概率(448)

题型3.1.2.2计算几何型概率(449)

题型3.1.2.3计算伯努利概型中事件的概率(451)

3.1.3间接计算随机事件的概率(452)

题型3.1.3.1计算和、差、积事件的概率(452)

题型3.1.3.2求与包含关系有关的事件的概率(455)

题型3.1.3.3计算与互斥事件有关的事件的概率(455)

题型3.1.3.4求与条件概率有关的事件的概率(455)

题型3.1.3.5求与他事件有关的单个事件的概率(456)

题型3.1.3.6判别或证明事件概率不等式(457)

3.1.4几个计算概率公式的实际应用(457)

题型3.1.4.1用加法公式求解实际应用题(457)

题型3.1.4.2用条件概率与概率的乘法公式求解实际应用题(458)

题型3.1.4.3用全概公式和逆概(贝叶斯)公式求解实际应用题(459)

题型3.1.4.4利用抽签原理计算事件概率(462)

3.1.5判别事件的独立性(463)

题型3.1.5.1判别(证明)两事件相互独立(463)

题型3.1.5.2判别(证明)n(n>2)个事件相互独立(464)

3.2一维随机变量及其分布(466)

3.2.1分布列、概率密度及分布函数性质的应用(466)

题型3.2.1.1判别分布列、概率密度及分布函数(467)

题型3.2.1.2利用分布的性质，确定待定常数或所满足的条件(469)

题型3.2.1.3求随机变量落在某点或某区间上的概率(469)

3.2.2求分布列(概率分布)、概率密度及分布函数(471)

题型3.2.2.1求概率分布(分布律)及其分布函数(471)

题型3.2.2.2求连续型或混合型随机变量的分布函数或其取值(473)

题型3.2.2.3求概率密度(475)

3.2.3利用常见分布计算有关事件的概率(476)

题型3.2.3.1利用二项分布计算伯努利概型中事件的概率(476)

题型3.2.3.2利用超几何分布计算事件的概率(478)

题型3.2.3.3利用几何分布计算事件的概率(479)

题型3.2.3.4利用泊松分布计算事件的概率(480)

题型3.2.3.5利用均匀分布计算事件的概率(481)

题型3.2.3.6利用指数分布计算事件的概率(482)

题型3.2.3.7利用正态分布计算事件的概率(484)

题型3.2.3.8利用相关分布与二项分布相结合计算事件的概率(487)

3.2.4求随机变量函数的分布(487)

题型3.2.4.1已知一离散型随机变量的分布,求其函数(另一离散型随机变量)的分布(488)

题型3.2.4.2已知一连续型随机变量的分布，求其函数(另一连续型随机变量)的分布(489)

题型3.2.4.3已知一连续型随机变量的分布,求其函数(离散型随机变量)的分布(492)

题型3.2.4.4讨论随机变量函数分布的性质(493)

3.3二维随机变量的联合概率分布(494)

3.3.1求二维随机变量的分布(494)

题型3.3.1.1求二维离散型随机变量的联合分布律(494)

题型3.3.1.2求二维随机变量的边缘分布(497)

题型3.3.1.3由联合分布、边缘分布求条件分布(501)

题型3.3.1.4由条件分布反求联合分布、边缘分布(504)

题型3.3.1.5已知分区域定义的联合密度，求其分布函数(505)

3.3.2随机变量的独立性(506)

题型3.3.2.1判别两随机变量的独立性(506)

题型3.3.2.2利用独立性确定联合分布中的待定常数(510)

3.3.3计算二维随机变量取值的概率(511)

题型3.3.3.1计算两离散型随机变量运算后取值的概率(511)

题型3.3.3.2求二维连续型随机变量落入平面区域内的概率(512)

题型3.3.3.3求与max(X,Y)或(和)min(X,Y)有关的概率(513)

题型3.3.3.4求系数为随机变量的二次方程有根、无根的概率(514)

3.3.4求二维随机变量函数的分布(514)

题型3.3.4.1已知(X，Y)的联合分布律，求Z=g(X,Y)的分布律(514)

题型3.3.4.2求两随机变量之和的分布(517)

题型3.3.4.3已知X，Y的分布，求max(X,Y)或(和)min(X,Y)的分布(520)

3.4随机变量的数字特征(523)

3.4.1求一维随机变量的数字特征(523)

题型3.4.1.1求随机变量的数学期望与方差(523)

题型3.4.1.2求随机变量函数的数学期望与方差(527)

题型3.4.1.3计算随机变量的矩(530)

3.4.2求二维随机变量的数字特征(531)

题型3.4.2.1求(X，Y)的函数g(X，Y)的数学期望和方差(531)

题型3.4.2.2计算协方差和相关系数(534)

3.4.3计算两类分布的数字特征(539)

题型3.4.3.1计算正态分布的数字特征(539)

题型3.4.3.2计算Z=max(X,Y)或(和)W=min(X,Y)的数字特征(540)

3.4.4讨论随机变量相关性与独立性的关系(543)

题型3.4.4.1确定两随机变量相关与不相关(543)

题型3.4.4.2讨论相关性与独立性的关系(544)

3.4.5已知数字特征，求分布中的待定常数(545)

3.4.6求解两类综合应用题(547)

题型3.4.6.1求解与数字特征有关的实际应用题(547)

题型3.4.6.2求解概率论与其他数学分支的综合应用题(547)

3.5大数定律和中心极限定理(550)

3.5.1用切比雪夫不等式估计事件的概率(550)

3.5.2大数定律成立的条件和结论(552)

题型3.5.2.1利用三个大数定律成立的条件解题(554)

题型3.5.2.2求随机变量序列依概率的收敛值(556)

3.5.3两个中心极限定理的简单应用(557)

题型3.5.3.1利用棣莫弗拉普拉斯定理近似计算事件概率(557)

题型3.5.3.2已知随机变量取值的概率，估计取值范围(558)

题型3.5.3.3应用列维林德伯格中心极限定理的条件、结论解题(558)

题型3.5.3.4近似计算n个随机变量之和取值的概率(559)

题型3.5.3.5已知n个随机变量之和取值的概率，求个数n(560)

3.6数理统计初步(561)

3.6.1求解与统计量分布有关的问题(561)

题型3.6.1.1求解与统计量分布有关的基本概念问题(561)

题型3.6.1.2求统计量的分布及其分布参数(564)

题型3.6.1.3求统计量取值的概率(569)

题型3.6.1.4求统计量的数字特征(571)

题型3.6.1.5求经验分布函数(572)

3.6.2参数估计(573)

题型3.6.2.1求总体分布中未知参数的矩估计量(值)(574)

题型3.6.2.2求未知参数的极()大似然估计量(值)(577)

题型3.6.2.3判别估计量的无偏性(581)

题型3.6.2.4求正态总体参数的置信区间及其有关参数(584)

3.6.3假设检验(587)

题型3.6.3.1计算简单情形下的两类错误概率(588)

题型3.6.3.2对单个正态总体参数进行假设检验(588)

题型3.6.3.3对两个正态总体参数进行假设检验(590)

题型3.6.3.4用检验方法及其结论做填空题与选择题(591)

附录一经典常考题型同步测试题(593)

附录二习题答案与提示(636)