常微分方程 基础科学 刘兵,刘双,刘敬娜 主编 新华正版
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作者刘兵,刘双,刘敬娜 主编
出版社北京大学出版社
ISBN9787301353837
出版时间2024-08
版次1
装帧平装
开本16
页数208页
字数328千字
定价42元
货号xhwx_1203368493
上书时间2024-09-08
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主编：
本书涵盖常微分方程课程大纲内容，难度适中。配有全套题解答，以及重点难点内容的课程。
目录：
章 绪论 …………………………………………………………………………………… 1
§1.1 常微分方程模型 ………………………………………………………………… 1
§1.2 微分方程的基本概念 …………………………………………………………… 8
1.2.1 常微分方程和偏微分方程 ……………………………………………… 8
1.2.2 线和非线微分方程 ………………………………………………… 9
1.2.3 显式解和隐式解 ………………………………………………………… 9
1.2.4 通解和特解 ……………………………………………………………… 9
1.2.5 积分曲线 ……………………………………………………………… 10
题1.2 ………………………………………………………………………… 11
§1.3 常微分方程发展历史 …………………………………………………………… 12
本章学要点 …………………………………………………………………………… 13
第二章 一阶微分方程的初等积分法 ……………………………………………………… 14
§2.1 变量分离方程 …………………………………………………………………… 14
2.1.1 变量分离方程 ………………………………………………………… 14
2.1.2 显式形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 15
2.1.3 微分形式变量分离方程的解法 ……………………………………… 17
题2.1 ………………………………………………………………………… 17
§2.2 齐次微分方程与变量变换法 …………………………………………………… 18
2.2.1 齐次微分方程 ………………………………………………………… 18
2.2.2 形如dy
dx=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0)的方程 …………………… 20
2.2.3 形如dy
dx=f
a1x+b1y+c1
a2x+b2y+c2 的方程 ………………………………… 21
2.2.4 形如yf(xy)dx+xg(xy)dy=0的方程 …………………………… 23
题2.2 ………………………………………………………………………… 24
§2.3 线微分方程与常数变易法 …………………………………………………… 24
2.3.1 一阶非齐次线微分方程的通解 …………………………………… 25
2.3.2 伯努利方程 …………………………………………………………… 28
题2.3 ………………………………………………………………………… 30
§2.4 恰当微分方程与积分因子 ……………………………………………………… 31
2.4.1 恰当微分方程 ………………………………………………………… 31
2.4.2 积分因子 ……………………………………………………………… 36
题2.4 ………………………………………………………………………… 40
§2.5 一阶隐式微分方程与参数表示 ………………………………………………… 41
2.5.1 可解出y&a;的方程 ……………………………………………………… 41
2.5.2 可解出y(或x)的方程 ……………………………………………… 41
2.5.3 不显含y(或x)的方程 ……………………………………………… 45
题2.5 ………………………………………………………………………… 47
§2.6 一阶微分方程的应用 …………………………………………………………… 47
2.6.1 人问题 ……………………………………………………………… 47
2.6.2 雪球融化问题 ………………………………………………………… 48
2.6.3 动力学问题 …………………………………………………………… 49
2.6.4 化学反应问题 ………………………………………………………… 50
2.6.5 流体混合问题 ………………………………………………………… 51
题2.6 ………………………………………………………………………… 53
本章学要点 …………………………………………………………………………… 53
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 54
第三章 一阶微分方程解的存在定理 ……………………………………………… 55
§3.1 解的存在定理与逐步逼近法 …………………………………………… 55
3.1.1 存在定理 ……………………………………………………… 55
3.1.2 近似计算和误差估计 ………………………………………………… 61
题3.1 ………………………………………………………………………… 62
§3.2 解的延拓 ………………………………………………………………………… 63
3.2.1 解的延拓定理 ………………………………………………………… 63
3.2.2 比较定理 ……………………………………………………………… 66
题3.2 ………………………………………………………………………… 67
§3.3 解对初值的连续和可微定理 ……………………………………………… 68
题3.3 ………………………………………………………………………… 71
§3.4 奇解与包络 ……………………………………………………………………… 72
3.4.1 奇解 …………………………………………………………………… 72
3.4.2 不存在奇解的判别法 ………………………………………………… 73
3.4.3 奇解的求法及包络 …………………………………………………… 73
3.4.4 克莱罗微分方程 ……………………………………………………… 75
题3.4 ………………………………………………………………………… 77
本章学要点 …………………………………………………………………………… 78
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 78
第四章 高阶微分方程 ……………………………………………………………………… 80
§4.1 线微分方程的一般理论 ……………………………………………………… 80
4.1.1 线微分方程的概念和解的存在定理 ……………………… 80
4.1.2 齐次线微分方程的解的质与结构 ……………………………… 81
4.1.3 非齐次线微分方程的解结构和常数变易法 ……………………… 86
题4.1 ………………………………………………………………………… 90
§4.2 常系数线微分方程的解法 …………………………………………………… 91
4.2.1 复值函数与复值解 …………………………………………………… 91
4.2.2 常系数齐次线微分方程 …………………………………………… 93
4.2.3 欧拉方程 ……………………………………………………………… 97
题4.2 ………………………………………………………………………… 98
§4.3 常系数非齐次线微分方程的待定系数法 …………………………………… 99
4.3.1 类型ⅰ:非齐次项为多项式与指数函数之积的情形 ……………… 99
4.3.2 类型ⅱ:非齐次项为多项式与指数函数、 三角函数乘积的情形 …… 102
题4.3 ……………………………………………………………………… 104
§4.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 104
4.4.1 拉普拉斯变换的定义和质 ………………………………………… 105
4.4.2 用拉普拉斯变换求解初值问题 ……………………………………… 107
题4.4 ……………………………………………………………………… 109
§4.5 高阶微分方程的降阶解法 …………………………………………………… 109
4.5.1 方程不显含未知函数y ……………………………………………… 110
4.5.2 不显含自变量x 的方程……………………………………………… 110
4.5.3 恰当微分方程和积分因子 …………………………………………… 111
4.5.4 齐次线微分方程 …………………………………………………… 112
题4.5 ……………………………………………………………………… 114
*§4.6 幂级数解法大意 ……………………………………………………………… 114
题4.6 ……………………………………………………………………… 119
*§4.7 高阶微分方程的应用 ………………………………………………………… 119
4.7.1 数学摆运动 …………………………………………………………… 119
4.7.2 质点振动 ……………………………………………………………… 122
题4.7 ……………………………………………………………………… 127
本章学要点 …………………………………………………………………………… 127
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 128
第五章 微分方程组 ………………………………………………………………………… 129
§5.1 微分方程组的概念及解的存在定理 ………………………………… 129
题5.1 ……………………………………………………………………… 132
§5.2 线微分方程组的一般理论 ………………………………………………… 133
5.2.1 齐次线微分方程组解的结构 ……………………………………… 135
5.2.2 非齐次线微分方程组解的结构和常数变易法 …………………… 141
题5.2 ……………………………………………………………………… 143
§5.3 常系数线微分方程组的解法 ……………………………………………… 145
5.3.1 矩阵指数函数的定义和质 ………………………………………… 145
5.3.2 常系数齐次线微分方程组的基解矩阵 …………………………… 146
5.3.3 基解矩阵的求法 ……………………………………………………… 147
5.3.4 常系数非齐次线微分方程组的求解 ……………………………… 155
题5.3 ……………………………………………………………………… 157
§5.4 拉普拉斯变换法 ……………………………………………………………… 158
题5.4 ……………………………………………………………………… 161
§5.5 微分方程组的消元法和积分法 ………………………………………… 162
5.5.1 微分方程组的消元法 ………………………………………………… 162
5.5.2 微分方程组的积分法 …………………………………………… 164
题5.5 ……………………………………………………………………… 166
本章学要点 …………………………………………………………………………… 166
本章自测题 ……………………………………………………………………………… 167
第六章 定和稳定理论简介 …………………………………………………………… 168
§6.1 稳定概念和例子 …………………………………………………………… 168
题6.1 ……………………………………………………………………… 173
§6.2 李雅普诺夫第二方法 ………………………………………………………… 173
题6.2 ……………………………………………………………………… 178
§6.3 面定理论简介 …………………………………………………………… 178
6.3.1 相面、 轨线与相图 ………………………………………………… 178
6.3.2 面自治系统的基本质 …………………………………………… 180
6.3.3 常点、 奇点、 闭轨 …………………………………………………… 181
6.3.4 面线系统初等奇点附近的轨线分布 …………………………… 181
6.3.5 面非线系统初等奇点附近的轨线分布 ………………………… 187
6.3.6 面自治系统的极限环 ……………………………………………… 188
题6.3 ……………………………………………………………………… 194
题和自测题参 ……………………………………………………………………… 195
参文献 ……………………………………………………………………………………… 197
内容简介：
本书是由鞍山师范学院数学与信息科学学院常微分方程课程组三位教师经多年课程实践，结合当前现有的常微分方程教材编写而成。依据数学与应用数学专业常微分方程课程要求，参照来常微分方程课程改革实践经验和成果，在课程内容，模型背景介绍，方法的应用，知识点归纳梳理，例题题分级等方面做了细心的安排，全书结构清晰，注重定理的叙述和证明的思想方法和知识延拓，内容通俗易懂，同时坚持以产出为导向，关注学科发展沿革，体现学科的、前沿和时代，持续创新内容，拓展课程资源，增强课程内容的亲和力、感染力和说服力，适应当前的本科常微分方程课程的。
本书内容主要包括绍常微分方程的基本概念、一阶常微分方程的初等积分法、一阶常微分方程解的基本定理，高阶微分方程和微分方程组理论（重点是高阶常系数线方程和方程组的求解方法）、非线方程的定和稳定理论简介六个模块共六章内容。 每小节配有知识点讲解的和适量不同难度系数的题；每章配有根据大纲编制的不同类型题目的自测题；同时还编写了题和章节自测题详细的参以及配套的作业本和思题本，用于线下过程中教师及时检测的情况使用。
本书可供师范院校和综合高等院校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业等常微分方程课程的教材，也可作为各高校数学模型课程的参资料。
作者简介：
刘兵
刘兵，鞍山师范学院数学与信息科学学院院长、教授，鞍山师范学院重点建设学科应用数学学科的责任教授。获得省教师1人次，入选辽宁省“百千万人才工程”百人层次人选1人，获辽宁省青年科技奖1人、辽宁省科技工作者1人、校级青年教师奖2人次、校级质量奖1次，1人被认定为鞍山市“钢都英才计划”c类领才，指导参加数学建模大赛、大数学竞赛、和省级大创新创业大赛等，多次获得、省级，。主持产学合作协同育人项目：金课背景下“常微分方程”课程建设研究，“常微分方程”获批辽宁省本科课程（线下），获批鞍山师范学院建设与改革网络资源建设与专项1项校(“常微分方程”课（专业课））。
刘双
刘双，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。
刘敬娜
刘敬娜，鞍山师范学院数学学院教师，长期从事常微分方程课程，主要研究方向为微分方程在种群模型中的应用。
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