文化伟人代表作图释书系：算术研究

图书标准信息

• 作者 [德]卡尔·弗里德里希·高斯
• 出版社 重庆出版社
• 出版时间 2020-04
• 版次 1
• ISBN 9787229146559
• 定价 68.00元
• 装帧 其他
• 开本 16开
• 纸张 轻型纸

【内容简介】

在《算术研究》的序言中，高斯便已明确指明了本书的研究范围：“数学中的整数部分，不包括分数和无理数”。
  《算术研究》的正文则分为七章。*章讨论数的同余；第二章讨论一次同余方程；第三章讨论幂剩余并证明了费马小定理；第四章讨论二次同余方程；第五章系统扩展了二次型的理论（这使得高斯必然地成为了群论的先驱之一）；第六章讨论了前述理论在特殊情况下的运用；第七章讨论了分圆方程，这一章也被认为是本书*精彩的内容。

【作者简介】

作者简介：

卡尔·弗里德里希·高斯（1777－1855年），德国数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的天才美誉。他发现并证明了诸多数学方法和规律（如最小二乘法、正态分布、二次互反律等等），并能时常优雅地加以总结。他还是一个充满热情且工作认真的完美主义者，拒绝发布自己所认为的不完整和有瑕疵的作品，因此并不多产。其著作有：《算术研究》《天体运动论》《曲面的一般研究》《高等大地测量学理论》等。

译者简介：

邵林，男，生于1984年，大连理工大学学士、安徽大学翻译硕士。翻译作品有《钢琴演奏教程》等。

【目录】

导读：高斯——离群索居的王子 / 5

第 1 章 同余数概论（第 1～12 条） / 1

第 1 节 同余的数，模，剩余和非剩余 ?????????? （2）

第 2 节 最小剩余 ???????????????????? （4）

第 3 节 关于同余的基本定理 ??????????????? （5）

第 4 节 一些应用 ???????????????????? （8）

第 2 章 一次同余方程（第 13～44 条） / 9

第 1 节 关于质数、因数等的初步定理 ??????????? （10）

第 2 节 解一次同余方程 ????????????????? （17）

第 3 节 对于给定模求与给定剩余同余的数的方法 ????? （22）

第 4 节 多元线性同余方程组 ???????????????（26）

第 5 节 一些定理 ???????????????????? （29）

第 3 章 幂剩余（第 45～93 条） / 37

第 1 节 首项为 1 的几何数列各项的剩余构成周期序列 ??? （38）

第 2 节 对于模 p（质数），数列周期的项数是数 p-1 的因数????????????????????????? （40）

第 3 节 费马定理 ???????????????????? （42）

第 4 节 有多少数对应于某个项数为 p-1 的因数的周期 ?? （44）

第 5 节 原根，基和指标 ????????????????? （48）

第 6 节 指标的运算 ??????????????????? （49）

第 7 节 同余方程 xn ≡ A 的根 ????????????? （51）

第 8 节 不同系统的指标间的关系 ?????????????（59）

第 9 节 适合特殊目的的基数 ???????????????（62）

第 10 节 求原根的方法 ????????????????? （63）

第 11 节 关于周期和原根的几条定理 ???????????（66）

第 12 节 威尔逊定理 ?????????????????? （67）

第 13 节 模是质数方幂 ????????????????? （72）

第 14 节 模为 2 的方幂 ?????????????????（78）

第 4 章 二次同余方程（第 94～152 条） / 81

第 1 节 二次剩余和非剩余 ????????????????（82）

第 2 节 当模是质数时，小于模的剩余的个数等于非剩余的个数????????????????????????? （84）

第 3 节 合数是不是给定质数的剩余或非剩余的问题，取决于它的因数的性质 ?????????????????? （86）

第 4 节 合数模 ????????????????????? （88）

第 5 节 给定的数是给定质数模的剩余或非剩余的一般判别法????????????????????????? （94）

第 6 节 给定的数作为剩余或非剩余的质数的研究 ????? （95）

第 7 节 剩余为 -1 ??????????????????? （96）

第 8 节 剩余为  2 和 -2 ?????????????????（99）

第 9 节 剩余为  3 和 -3 ??????????????? （103）

第 10 节 剩余为  5 和 -5 ??????????????? （106）

第 11 节 剩余为  7 和 -7 ??????????????? （109）

第 12 节 为一般性讨论做的准备 ???????????? （110）

第 13 节 通过归纳法发现的一般的（基本）定理及其推论???????????????????????? （116）

第 14 节 基本定理的严格证明 ?????????????? （123）

第 15 节 证明条目 114 的定理的类似的方法 ?????? （130）

第 16 节 一般问题的解法 ???????????????? （132）

第 17 节 以给定的数为其剩余或非剩余的所有质数的线性形式???????????????????????? （135）

第 18 节 其他数学家关于这些研究的著作 ???????? （140）

第 19 节 一般形式的二阶同余方程 ???????????? （142）

第 5 章 二次型和二次不定方程（第 153～307 条） / 143

第 1 节 型的定义和符号 ????????????????? （144）

第 2 节 数的表示：行列式 ???????????????? （145）

第 3 节 数 M 由型（a，b，c）表示时所属表达式 ( b2 ac ) -（mod M）的值 ????????????????? （146）

第 4 节 正常等价与反常等价 ?????????????? （150）

第 5 节 相反的型 ???????????????????? （152）

第 6 节 相邻的型 ???????????????????? （154）

第 7 节 型的系数的公约数 ???????????????? （155）

第 8 节 一个给定的型变换为另一个给定的型时所有可能的同型变换的关系 ?????????????????? （157）

第 9 节 歧型 ?????????????????????? （164）

第 10 节 关于一个型既正常又反常地包含于另一个型的情况的定理系 ??????????????????? （165）

第 11 节 关于由型表示数的一般性研究以及这些表示与代换的关系 ???????????????????? （171）

第 12 节 行列式为负的型 ???????????????? （177）

第 13 节 特殊的应用：将一个数拆分成两个平方数，拆分成一个平方数和另一个平方数的两倍，拆分成一个平方

数和另一个平方数的三倍 ???????????? （192）

第 14 节 具有正的非平方数的行列式的型 ???????? （196）

第 15 节 行列式为平方数的型 ?????????????? （237）

第 16 节 包含在与之不等价的型中的型 ????????? （245）

第 17 节 行列式为 0 的型 ??????????????? （250）

第 18 节 所有二元二次不定方程的一般整数解 ?????? （253）

第 19 节 历史注释 ??????????????????? （260）

第 20 节 将给定行列式的型进行分类??????????? （262）

第 21 节 类划分为层 ?????????????????? （266）

第 22 节 层划分为族 ?????????????????? （270）

第 23 节 型的合成 ??????????????????? （281）

第 24 节 层的合成 ??????????????????? （312）

第 25 节 族的合成 ??????????????????? （313）

第 26 节 类的合成 ??????????????????? （317）

第 27 节 对于给定的行列式，在同一个层的每个族中存在相同个数的类 ?????????????????? （321）

第 28 节 不同的层中各个族所含类的个数的比较 ????? （322）

第 29 节 歧类的个数 ?????????????????? （331）

第 30 节 对于给定的行列式，所有可能的特征有一半不属于任何正常原始族 ???????????????? （338）

第 31 节 对基本定理以及与剩余为 -1， 2，-2 有关的其他定理的第 2 个证明 ?????????????? （339）

第 32 节 对不适合任何族的那一半特征的进一步讨论 ??? （342）

第 33 节 把质数分解为两个平方数的特殊方法 ?????? （345）

第 34 节 关于三元型讨论的题外话 ???????????? （347）

第 35 节 如何求出这样一个型，由它加倍可得到给定的属于主族的二元型 ????????????????? （384）

第 36 节 除了在条目 263 和 264 中已经证明其不可能的那些特征外，其他所有的特征都与某个族相对应 ? （386）

第 37 节 把数和二元型分解为三个平方数的理论 ????? （388）

第 38 节 费马定理的证明：任何整数都能分解成三个三角数或者四个平方数 ???????????????? （398）

第 39 节 方程 ax2 by2 cz2＝0 的解 ??????????? （400）

第 40 节 勒让德先生讨论基本定理的方法 ???????? （406）

第 41 节 由三元型表示零 ???????????????? （411）

第 42 节 二元二次不定方程的有理通解 ????????? （414）

第 43 节 族的平均个数 ????????????????? （415）

第 44 节 类的平均个数 ????????????????? （418）

第 45 节 正常原始类的特殊算法：正则和非正则行列式 ?? （423）

第 6 章 前面讨论的若干应用（第 308～334 条） / 433

第 1 节 将分数分解成更简单的分数 ??????????? （435）

第 2 节 普通分数转换为十进制数 ???????????? （437）

第 3 节 通过排除法求解同余方程 ???????????? （444）

第 4 节 用排除法解不定方程 mx2 ny2＝A ???????? （448）

第 5 节 当 A 是负数时，解同余方程 x2≡A 的另一种方法 ? （455）

第 6 节 将合数同质数区分开来并确定它们的因数的两种方法???????????????????????? （459）

第 7 章 分圆方程（第 335～366 条） / 469

第 1 节 讨论把圆分成质数份的最简单情况 ???????? （471）

第 2 节 关于圆弧（它由整个圆周的一份或若干份组成）的三角函数的方程并归为方程 xn-1＝0 的根 ????? （472）

第 3 节 方程 xn-1＝0 的根的理论（假定 n 是质数） ??? （476）

第 4 节 以下讨论的目的之声明 ?????????????? （478）

第 5 节 Ω 中所有的根可以分为某些类（周期） ?????? （480）

第 6 节 关于这些周期的各种定理 ????????????? （482）

第 7 节 由前面的讨论解方程 X＝0 ??????????? （494）

第 8 节 以 n＝19 为例，运算可以简化为求解两个三次方程和一个二次方程 ????????????????? （497）

第 9 节 以 n＝17 为例，运算可以简化为求解四个二次方程????????????????????????? （501）

第 10 节 关于根的周期的进一步讨论——有偶数个项的和是实数 ?????????????????????? （506）

第 11 节 关于根的周期的进一步讨论——把 Ω 中的根分成两个周期的方程 ?????????????????? （507）

第 12 节 证明第 4 章中提到的一个定理 ????????? （510）

第 13 节 把 Ω 中的根分成三个周期的方程 ???????? （512）

第 14 节 把求 Ω 中根的方程化为最简方程 ???????? （517）

第 15 节 以上研究在三角函数中的应用——求对应于 Ω 中每个根的角的方法 ???????????????? （522）

第 16 节 以上研究在三角函数中的应用——不用除法从正弦和余弦导出正切、余切、正割以及余割 ????? （524）

第 17 节 以上研究在三角函数中的应用——对三角函数逐次降低次数的方法 ???????????????? （527）

第 18 节 以上研究在三角函数中的应用——通过解二次方程或者尺规作图能够实现的圆周的等分 ?????? （532）

 

附注 ????????????????????????????? （535）

附表 ????????????????????????????? （537）